Все о векторах OTUS
2026-03-10 23:58 Diff
https://otus.ru/journal/vse-o-vektorah/

Математика – наука, которая связана с разнообразными сферами жизни человека. Она встречается не только в школе и физике, но и в IT. Особенно это касается разработки программного обеспечения. Некоторые задачи решаются при помощи различных математических элементов и операций. Именно поэтому хороший разработчик – это тот, кто разбирается не только в языках программирования, но и в точных науках.

Далее предстоит ознакомиться с векторами. Они часто встречаются в линейной алгебре. В информатике, IT и программировании эти элементы тоже используются, но чуть реже, преимущественно для сложных и специфичных приложений. Предстоит выяснить, что собой представляет вектор, как можно определить его координаты. Также нужно познакомиться с наиболее распространенными операциями над ними. Предложенная информация рассчитана на широкую публику. Она подойдет для изучения как IT-специалистами различных направлений, так и обычными людьми.

Определение

Вектор – это направленный отрезок. Он представляет собой прямую линию с тем или иным направлением. Вектор состоит из нескольких точек с координатами – начала и конца.

Перед более детальным изучением этого элемента необходимо запомнить одно понятие – прямоугольная система координат. Она также называется декартовой системой. Это прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в заданном пространстве. Обозначается такая система как Oxy.

При помощи введения прямоугольной системы координат в пределах плоскости или в трехмерном пространстве можно описывать различные геометрические фигуры, а также их свойства. Делается это при помощи специальных неравенств и уравнений.

В декартовой системе вектор – это отрезок, имеющий то или иное направление. Графически этот математический элемент изображается в качестве стрелки с установленными координатными данными. Она будет направлена в пределах пространства и иметь всего два параметра:

  • длину;
  • направление.

Вектором называется прямой отрезок, характеризующийся численным значением или направлением. На письме этот элемент линейной алгебры изображается как маленькая (строчная) латинская буква. Над ней рисуется небольшая стрелочка, смотрящая вправо.

Определенные координаты и границы вектора обозначаются прописными латинскими буквами (двумя). Над ними тоже необходимо ставить стрелочку при записи.

Как можно записывать векторы

Перед более детальным изучением векторов, его координат и доступных операций с рассматриваемыми элементами необходимо выяснить, как они могут быть записаны.

Векторы – это направленные отрезки в пространстве или на плоскости. Они записываются несколькими методами:

  1. В строку. Такой формат записи является наиболее распространенным. В соответствующей ситуации вектор обозначается одной буквой с чертой над ней. Далее в круглых скобках через запятую требуется прописать координаты вектора.
  2. В столбец. Принцип обозначения вектора останется точно таким же, как в уже рассмотренной форме выражения векторов. Соответствующие координаты должны быть просто записаны в скобках – круглых или квадратных. Не рекомендуется в одном документе использовать сразу оба варианта.

Благодаря строгому порядку записи удается добиться того, чтобы каждый числовой набор формировал только один единственный вектор, а каждый «направленный отрезок» ассоциировался с одним единственным набором чисел. Это значит, что при уточнении координат векторов не получится их перепутать.

Чтобы лучше понять, как правильно записывать векторы и их координаты, рекомендуется обратить внимание на изображение выше. Оно наглядно демонстрирует обе формы интерпретации на практике.

Скаляр

Математика – точная наука, в которой людям предстоит сталкиваться со множеством понятий и определений. При работе с «направленными отрезками» часто приходится видеть так называемый скаляр.

Скаляром называется одно простое число. Это вектор, состоящий всего из одной координаты. При помощи скалярных величин можно описать любое состояние из физики. Пример – температуру. Векторные величины используются еще и для характеристики направлений.

Изображение

Геометрическая интерпретация векторов разнообразна. Здесь все зависит от типа «направленного отрезка» и количества известных человеку координат.

Вектор из одного числа (скаляр) изображается в качестве точки. Она ставится на заданной числовой прямой. Запись осуществляется в круглых скобках:

При наличии у вектора сразу двух координат, необходимо пользоваться двумерной координатной плоскостью с осями X и Y. Рассматриваемый элемент линейной алгебры будет тоже изображаться в качестве точки.

При помощи чисел удается задать координаты вектора в пространстве. Они выполняют роль своеобразной инструкции, по которой необходимо перемещаться от хвоста к стрелке «направленного отрезка». Первое число в записи координат указывает на расстояние, необходимое для откладывания по оси X, второе – по оси Y. Здесь рекомендуется запомнить следующие принципы построения векторов:

  • положительные числа по X – это движение вправо;
  • отрицательные числа по оси X – движение влево;
  • положительные числа по Y – смещение точки вверх;
  • отрицательные значения по оси Y – передвижение точки вниз.

Разобравшись с соответствующими принципами и правилами у каждого получится изобразить вектор с двумя координатами на двумерной плоскости. Пример – «направленный отрезок» с координатами -5 и 4. Для того, чтобы обнаружить необходимую точку, сначала необходимо по оси X «пройти» 5 шагов, а по оси Y «подняться» на 4. Выглядеть соответствующий процесс будет следующим образом:

Иногда разработчикам, физикам и математикам предстоит иметь дело с тремя координатами. В этом случае необходимо воспользоваться плоскостями X, Y, Z. Ось Z проводится перпендикулярно X и Y. Так получается трехмерное измерение. «Направленный отрезок» представляет собой упорядоченный триплет чисел:

  • первое число – используется для движения по X;
  • второе число – показывает, как двигаться по оси Y;
  • третье число – демонстрирует принцип передвижения по оси Z.

Каждый триплет формирует уникальный вектор в пространстве, а каждый «направленный отрезок» предусматривает наличие всего одного триплета.

Векторы из 4-х и более координат (чисел) встречаются крайне редко, но строятся они по аналогичному принципу: необходимо взять заданные координаты, построить N-мерное пространство и отложить в нем ту или иную точку. Подобные ситуации очень сложные. Для обучения и выполнения большинства задач соответствующие операции не пригодятся. В основном программистам и ученым приходится иметь дело с двумерным пространством.

Ключевые понятия

Что означают координаты вектора, понятно. Перед более детальным их изучением требуется запомнить еще несколько ключевых понятий и правил:

Два вектора будут называться координатными для заданной системы координат.

  1. Разложение вектора a по координатным векторам i и j на заданном пространстве называется представление вида a = ax * i + ay * j.
  2. Коэффициенты ax и ay – это координаты вектора в заданной системе координат. Они записываются в круглых скобках через запятую. Порядок записи координат имеет огромное значение. Если написать их в другом порядке, человек получит совершенно другой «направленный отрезок». Данный параметр определяет длину отрезка, который формирует вектор.
  3. Два вектора называются равными, если их координаты равны. У них будет одна и та же длина.

Эта информация пригодится для более полного понимания координат, а также видов векторов.

Разновидности векторов

Перед тем как считать координаты и выполнять различные математические действия с «направленными отрезками», необходимо выяснить, какими они бывают. От этого будут зависеть особенности расчетов и свойства изучаемого элемента.

На данный момент можно выделить следующие виды векторов:

  1. Коллинеарные. Это векторы, лежащие на одной или параллельных прямых.
  2. Неколлинеарные. Векторы одной и той же длины, но расположенные не на одной или не на параллельных прямых.
  3. Нулевые. Любые точки на заданной плоскости или в пространстве. Таким способом обычно описываются скаляры.
  4. Сонаправленные. Два коллинеарных вектора a и b с одним и тем же направлением. На письме обозначаются при помощи строчных (маленьких) латинских букв со стрелками над ними. Между выражаемыми «направленными отрезками» необходимо нарисовать две стрелки, смотрящие вверх.
  5. Противоположно направленные – коллинеарные векторы с несовпадающим направлением. Они противоположно направлены относительно друг друга. На письме интерпретация точно такая же, как и в случае с сонаправленными векторами, но первая стрелка будет смотреть вверх, а вторая – вниз.
  6. Противоположные – это противоположно направленные векторы с одинаковыми длинами.

Еще одно значимое определение – это понятие угла между несколькими «направленными отрезками». У сонаправленных векторов угол составляет 0 градусов. Это связано с тем, что они располагаются на одной или параллельных прямых и предусматривают одно и то же направление. У противоположно направленных векторов угол составляет 180 градусов. Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равняется 90 градусам.

Основные операции

Рисунки некоторых векторов и их координат уже были представлены. Эта информация поможет лучше понять, как изобразить «направленный отрезок» на заданной плоскости или в пространстве. Далее предстоит познакомиться с наиболее распространенными операциями над векторами.

Обнаружение координат

Пусть будет дан вектор AB. Чтобы найти его координаты, необходимо из координат конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A). Полученные значения – это и есть интересующий параметр.

Выше можно увидеть формулы, которые помогут определить координаты вектора в том или ином случае.

Сложение

Для сложения двух векторов a и b необходимо из произвольной точки отложить вектор AB, который будет равен a, а из нее – BC, равный b. Соединив точку, из которой выходит C и BC, получится новый отрезок – AC. Это сумма первоначально заданных значений. Данный принцип – это так называемое правило треугольника.

Для коллинеарных векторов актуальны следующие принципы:

Сложение нескольких векторов

Ранее предложенное правило распространяется на любое количество «направленных отрезков»: два, три, четыре и более. Чтобы получить итоговую сумму нескольких векторов, каждый последующий соответствующий элемент требуется прибавлять к ранее вычисленному результату.

В качестве примера можно взять одну простейшую задачу: пусть будут даны векторы a, b, c. Из произвольной точки A на заданной плоскости сначала необходимо отложить отрезок, который будет равен a. От его конца – отложить b и так далее. Пользуясь соответствующим алгоритмом, можно изобразить необходимые векторы. Конечная точка последнего отложенного «направленного отрезка» – это отрезок AB. Он отражает векторную сумму. Соответствующее правило называется правилом многоугольника:

Для вычитания отсутствуют специальные отдельные алгоритмы. Разность векторов a и b – это вектор, сумма которого с вектором b равняется a. Для нее справедливо равенство: a — b = a + (-b).

Умножение

Следующая операция над векторными величинами – это умножение. Чтобы умножить вектор на некоторое число k, нужно запомнить такие правила и принципы выполнения математических действий:

  • когда модуль k > 1 – вектор растягивается в k-раз;
  • если модуль 1 > k > 0 – вектор сожмется в 1/k-раз;
  • когда k = 1 – «направленный отрезок» остается неизменным;
  • если k < 0 – меняется направление отрезка, а также применяются ранее указанные правила умножения;
  • если один из имеющихся множителей нулевой или это число, равное 0, результатом умножения выступит нулевой вектор.

Вот наглядный пример графического изображения произведения векторных величин:

В заданном примере предусматривается a и некоторое число k = 2, а также b и число k = -1/3.

Свойства над векторами

Формулы, помогающие найти координаты вектора, уже известны. Теперь необходимо запомнить несколько свойств, характерных для «направленных отрезков». Некоторые из них являются очевидными, а какие-то требуют обоснования с геометрической точки зрения:

  1. Если к тому или иному вектору прибавляется нулевой, никаких изменений не осуществляется.
  2. Если даны два вектора, которые требуется сложить, их допустимо отложить от одной и той же точки. Получившаяся фигура после этого должна быть дорисована до параллелограмма. Сумма заданных ранее векторов – это диагональ параллелограмма.
  3. Правило ассоциативности: (a + b) + c = a + (b + c). Соответствующий принцип может называться еще и сочетательным законом. Он позволяет решать разнообразные задачи, связанные со сложением векторов.
  4. Использование нейтрального элемента в процессе нахождения произведения: a = a * 1.
  5. У любого вектора a существует противоположный –a. Для них характерно свойство a + (-a) = нулевой вектор.

Теперь ясно, как определить начало заданного вектора, векторную сумму или произведение, а также их разность. Рассмотренный математический элемент применяется в самых разных сферах жизни.

Области применения и их необходимость

Векторы используются в самых разных сферах деятельности человека. Они нужны для:

  1. Математических, физических и других вычислений: от расчетов импульсов до рядов Фурье.
  2. Графического и математического представления некоторых действий и явлений. Примером может послужить перенос объекта с одного места на другое.
  3. Организованного хранения большого количества числовых данных и выполнения различных операций над ними.
  4. Представления числового множества в виде единого и понятного человеку объекта. Этот момент может иметь особое значение для разработки программного обеспечения.
  5. Описания многомерных структур: вектор может иметь не два-три измерения как у обычного геометрического объекта, а их бесконечно большое количество.
  6. Информационного анализа. Данные могут быть собраны в векторные структуры, сгруппированы и проанализированы.

Специальные компьютерные курсы помогут разобраться с векторами и научат применять их в IT-сфере и разработке программного обеспечения. Занятия рассчитаны на срок от нескольких месяцев до года. В конце курса каждый получит сертификат, подтверждающий приобретенные навыки.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!