Линейная алгебра и векторы OTUS
2026-03-10 16:54 Diff
https://otus.ru/journal/linejnaya-algebra-i-vektory/

На программистов сегодня учат в технических ВУЗах. Там упор делается на разнообразные информационные и математические науки. Пример – на линейную алгебру. Это значит, что грамотный разработчик должен разбираться не только в основах написания программных кодов, но и в других точных областях. Алгебра здесь находится не на самом последнем месте. .

Далее предстоит выяснить, что собой представляет линейная алгебра. А еще – познакомиться с понятием и определением вектора, научиться искать его длину и другие параметры. Эта информация пригодится как математикам, так и будущим разработчикам, а также специалистам по Data Science. Статья рассчитана на широкий круг лиц и является своеобразным введением в векторный анализ.

Линейная алгебра

Пытаясь понять, что называется вектором, нужно сначала разобраться с математическими основами. Математика – это наука, которая занимается изучением абстрактных объектов и их взаимосвязей. С ее помощью можно производить различные операции: сложение, вычитание, деление, умножение. Математика берет вещественный мир и изучает его абстрактные свойства.

Внутри этой науки имеется алгебра. Простым языком – это когда вместо чисел подставляются буквы и изучаются еще более абстрактные свойства объектов. Пример:

  • a + b = c;
  • a = c — b.

Неизвестно, какие именно цифры стоят на месте a, b, или c, но уже имеется абстрактный закон, подтвержденный практикой.

Внутри алгебры имеется линейная алгебра – она будет заниматься изучением векторных пространств и иных абстрактных понятий, которые относятся к некоторым упорядоченным данным. Примеры – координаты ракеты в космосе, пиксели на картинке, биржевые котировки.

Все указанные варианты – это примеры упорядоченных данных, которые могут быть описаны при помощи специальных элементов. Они называются векторами. Именно их изучением занимается линейная алгебра.

Определение вектора

Вектором называется направленный прямой отрезок. В геометрии он характеризуется отрезком на плоскости или в пространстве, которой имеет направление. Это направление задается:

  • началом;
  • концом.

Измеряется вектор длиной и направлением. Пока эти две характеристики не меняются, элемент способен перемещаться непосредственно в пространстве.

Для обозначения векторов в математике используются строчные латинские буквы. Над ними ставятся небольшие стрелочки. Если известны граничные точки (начало и конец, пример – A и B соответственно), «направленный отрезок» будет обозначаться как AB со стрелкой над буквами, смотрящей вправо.

Нулевой тип

Нулевым вектором называется любая точка на плоскости или в пространстве. Она не имеет фактической длины. Такой элемент может иметь любое направление.

У нулевых векторов концы и начала совпадают. Обычно обозначаются как 0, но сверху ставится горизонтальная черта. Длина у такого элемента равна нулю.

Единичный тип

Единичным вектором называется «направленный отрезок» в пространстве, длина которого равняется единице. Такой элемент также носит название орты.

Форма записи

Что такое вектор в геометрии и линейной алгебре, понятно. Теперь этот элемент необходимо рассмотреть более подробно. Начать рекомендуется с его формы записи.

Существуют несколько способов, помогающих записывать векторы:

  1. В строку. В этом случае вектор обозначается одной латинской буквой и над ней ставится горизонтальная черта. Далее записывается знак равенства, открываются круглые скобки и через запятую записываются имеющиеся координаты.
  2. В столбец. В этом случае координаты берутся в круглые или квадратные скобки.

Строгий порядок записи делает так, что каждый числовой набор создает только один элемент, который называется вектором. А вектор будет ассоциироваться только с одним набором чисел.

Это значит, что при наличии векторных координат путаница между ними исключена. Выше можно увидеть наглядный пример записи рассматриваемых алгебраических компонентов.

Скаляры

Изучая тему векторов и их длин, нужно запомнить еще одно определение. Речь идет о скалярах. Скаляром называется просто одно число. «Направленный отрезок», который включает в себя одну координату.

Изображение

Векторные элементы необходимо грамотно изображать, а не только записывать. Скаляр будет выражаться конкретной точкой на числовой прямой.

Компонент, который называется вектором и состоит из двух чисел – это две точки на плоскостях X и Y. Числа будут задавать координаты рассматриваемого элемента в пространстве. Они представляют собой некоторую инструкцию перемещения от хвоста к стрелке. Первое число – это расстояние, которое отмечается по оси X, второе – по Y. Положительные числа на X указывают движение вправо, отрицательные – влево. В случае с Y положительные параметры – это движение вверх, отрицательные – вниз.

Если координаты три, то изображение осуществляется на плоскостях X, Y, Z. Ось Z будет проводиться перпендикулярно X и Y. Такая форма записи называется трехмерной. Вектор здесь представлен триплетом чисел:

  • первые два указывают на движение по X и Y;
  • третье – куда направляться по оси Z.

Каждый триплет формирует уникальный «направленный отрезок» в пространстве. Каждый компонент, который называется вектором, имеет всего один триплет.

Выше – наглядный пример изображения рассматриваемых математических составляющих в трехмерном пространстве. Обычно в программировании и обучении используются двухмерные пространства и записи.

Длина

Как вектор изображается, понятно. Теперь можно рассмотреть основные параметры этого элемента и действия с ними. Важной характеристикой является длина.

Длина вектора AB – это число, которое больше или равно 0. Оно отражает длину отрезка AB. На письме изображается как модуль.

Векторная длина – это еще и его модуль. Длина нулевого вектора является 0. Это очевидный факт, который необходимо запомнить в математике.

Коллинеарность

Коллинеарными два вектора будут называться, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых.

Неколлинеарными векторы считаются, если они не лежат на одной или параллельных прямых. Нулевые «векторные отрезки» всегда коллинеарны любым другим векторным элементам. Это связано с таким фактом, что нулевые векторы способны принимать любые направления.

Коллинеарные компоненты делятся на два класса:

  • сонаправленные;
  • противоположно направленные.

Сонаправленные «направленные отрезки» – это два коллинеарных вектора a и b, у которых совпадают направления. Они обозначаются как обычные векторные элементы, между которыми ставятся две вертикальные стрелки, направленные вверх.

Противоположно направленными называются векторы, которые являются коллинеарными, но у них не совпадают направления. На письме такие элементы обозначаются двумя вертикальными стрелками. Одна из них смотрит вверх, другая – вниз.

Равные и противоположные

«Направленные отрезки» могут быть разных видов, если сравнивать их по длине:

  • равными;
  • противоположными.

Равные – это сонаправленные векторы, которые имеют одну и ту же длину. Противоположными называются «направленные отрезки», которые имеют разную направленность и одинаковую длину.

Соответствующие понятия помогают рассматривать векторные компоненты без непосредственной привязки к конкретным точкам. Можно заменить вектор, равный ему, отложенным от любой точки на координатной плоскости или в пространстве.

Пусть заданы два произвольных «направленных отрезка» a и b. От некоторой точки O откладываются «отрезки» OA = a и OB = b. Лучи OA и OB будут образовывать угол AOB, который равен α.

Углы

Изучая правила векторов и их длин, нельзя забывать об углах между «направленными отрезками». Угол α = углу AOB и носит название угла между векторами a = OA и b = OB.

Угол между сонаправленными векторными элементами равен 0 градусам (или нулю радиан). Это связано с тем, что «отрезки» располагаются на одной или параллельных прямых, а также обладают одинаковым направлением. Угол между противоположно направленными векторами – 180 градусов.

Перпендикулярными будут характеризоваться два вектора, угол между которыми равняется 90 градусам.

На основании векторов получаются матрицы. Вектором называется «линия», матрицей – плоскость или таблица. Машинное обучение представляет собой матричное перемножение. Изначально у программиста есть матрица данных, которые машина уже знает, но ее необходимо дополнить («доучить»). Все это указывает на то, что векторные величины используются в разработке программного обеспечения и искусственном интеллекте. Лучше разбираться в этих и других направлениях помогают дистанционные компьютерные курсы.

P. S. Большой выбор курсов по машинному обучению есть и в Otus. Есть варианты как для продвинутых, так и для начинающих пользователей. Кроме того, вас может заинтересовать специализированный курс по математике для Data Science.