65 added
1 removed
Original
2026-01-01
Modified
2026-02-26
1
-
error code: 502
1
+
<p>За время этого курса мы изучили множество аспектов математической логики. Теперь вы умеете использовать нотации и решать парадоксы, замечать софизмы, работать с эквивалентными высказываниями, предикатами и квантификаторами. Кроме того, вы изучили ПДФ и ПКФ, а также разобрались с правилами вывода.</p>
2
+
<p>Все эти инструменты пригодятся вам дальше, когда мы будем изучать дискретную математику.</p>
3
+
<p>Далее мы изучим<strong>теорию множеств</strong>- раздел математической логики о множествах и их свойства. Без понимания множеств будет трудно объяснить другие понятия: отношения, функции, последовательности, вероятности, геометрию и так далее.</p>
4
+
<h2>Что такое множество</h2>
5
+
<p>Множество - это коллекция объектов или групп объектов. Множества могут быть связаны с примерами из реальной жизни: через них можно описать количество рек в России или количество цветов в радуге.</p>
6
+
<p>А еще множества бывают разных типов. В футбольной команде может быть не более 11 игроков одновременно - это<strong>конечное множество</strong>*. Но существуют и<strong>бесконечные множества</strong>. Например, они могут состоять из натуральных, действительных чисел или мнимых чисел.</p>
7
+
<p>Для понимания множеств рассмотрим практический пример. По дороге на работу Вася решил записать названия ресторанов, которые попадутся ему по пути.</p>
8
+
<p>У него получится такой список:</p>
9
+
<p>P_1, P_2, P_3, P_4</p>
10
+
<p>Как видите, это коллекция из четырех хорошо определенных объектов - то есть множество.</p>
11
+
<p>Обратите внимание на фразу<strong>хорошо определенные объекты</strong>. Это значит, что любой человек может определить, принадлежит ли объект к данной коллекции или нет. Например, магазин канцелярских товаров не относится к категории ресторанов. Если коллекция объектов четко определена, она называется множеством.</p>
12
+
<p>Возвращаясь с работы, Вася захотел подтвердить список, который он составил ранее. На этот раз он снова написал список, только в обратном порядке. Новый список выглядит так:</p>
13
+
<p>P_4, P_3, P_2, P_1</p>
14
+
<p>Теперь это другой список, но при этом набор объектов не изменился. Можно сделать вывод, что это одно и то же множество, ведь здесь порядок элементов не имеет значения.</p>
15
+
<h2>Как обозначаются множества</h2>
16
+
<p>Множества записывают двумя способами:</p>
17
+
<ol><li>Форма реестра (табличная форма)</li>
18
+
<li>Форма построителя наборов</li>
19
+
</ol><h3>Форма реестра</h3>
20
+
<p>В реестровой форме мы перечисляем все элементы множества, разделяем их запятой и заключаем в фигурные скобки {}.</p>
21
+
<p>Если множество представляет все високосные годы между 1995 и 2015 годами, то его реестровая форма будет выглядеть так:</p>
22
+
<p>A={1996,2000,2004,2008,2012}</p>
23
+
<p>В этом примере элементы внутри скобок записываются в порядке возрастания, но их можно записывать по убыванию или произвольно. Порядок не имеет значения для множества, представленного в реестровой форме.</p>
24
+
<p>Также при представлении множеств игнорируется кратность. Например, возьмем множество, содержащее все буквы в слове ADDRESS. Оно записывается так:</p>
25
+
<ul><li>Верная запись: L={A,D,R,E,S}</li>
26
+
<li>Другая верная запись: L={S,E,D,A,R}</li>
27
+
<li>Неверная запись: L={A,D,D,R,E,S,S}</li>
28
+
</ul><h3>Форма построения набора</h3>
29
+
<p>В форме конструктора множеств все элементы имеют какое-то общее свойство. Это свойство не применяется к объектам, которые в набор не входят.</p>
30
+
<p>Например, если множество S имеет все элементы, которые являются четными простыми числами, то оно представляется как:</p>
31
+
<p>S={x: x - четное простое число}</p>
32
+
<ul><li>x - это символическое представление, которое используется для описания элемента</li>
33
+
<li>: означает "такой, что..."</li>
34
+
<li>{} означает "множество всех"</li>
35
+
</ul><p>Таким образом, S={x: x - четное простое число} читается как "Множество всех x таких, что x - четное простое число".</p>
36
+
<p>Реестровая форма для этого множества S будет S = 2. Это множество содержит только один элемент. Такие множества называются<strong>одиночными</strong>или<strong>единичными</strong>.</p>
37
+
<p>Возьмем другой пример:</p>
38
+
<p>Множество в форме построения набора: F = {p: p - множество двузначных совершенных квадратных чисел}</p>
39
+
<p>Похожее множество, только в реестровой форме: F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}</p>
40
+
<p>В примере выше видно, что:</p>
41
+
<ul><li>16 - квадрат 4</li>
42
+
<li>25 - квадрат 5</li>
43
+
<li>36 - квадрат 6</li>
44
+
<li>49 - квадрат 7</li>
45
+
<li>64 - квадрат 8</li>
46
+
<li>81 - квадрат 9</li>
47
+
</ul><p>Обратите внимание, что 4, 9, 121 также являются совершенными квадратами, но они не входят в множество F, потому что оно ограничено только двузначными совершенными квадратами.</p>
48
+
<h3>Какими бывают множества</h3>
49
+
<p>Мы уже изучили конечные, бесконечные и единичные множества. Кроме того, бывают такие множества:</p>
50
+
<ul><li><strong>Пустое множество</strong>без элементов</li>
51
+
<li><strong>Равное множество</strong>, которое имеет одинаковые элементы с другим множеством</li>
52
+
<li><strong>Эквивалентное множество</strong>, которое имеет одинаковое количество элементов с другим множеством</li>
53
+
<li><strong>Универсальное множество</strong>, которое содержит все рассматриваемые множества</li>
54
+
<li><strong>Подмножество</strong>: Если все элементы множества A принадлежат множеству B, то A - подмножество B</li>
55
+
<li><strong>Мощное множество</strong>, состоящее из всех возможных подмножеств</li>
56
+
</ul><p>С первого взгляда множества могут показаться довольно абстрактной темой, но на самом деле без них наша жизнь была бы абсолютно другой. Все, что вы наблюдаете вокруг себя создано с помощью математических моделей, функций и множеств.</p>
57
+
<h2>Выводы</h2>
58
+
<p>Этим уроком мы завершаем курс по математической логике. Здесь мы познакомились с множествами - следующей ступенью в дискретной математике. Теперь вы знаете, что:</p>
59
+
<ul><li>Множество - это коллекция объектов или групп объектов. При этом важно, чтобы множество состояло из хорошо определенных объектов. Это значит, что любой человек может определить, принадлежит ли объект к коллекции или нет</li>
60
+
<li>Для множества не имеет значения порядок элементов и их кратность</li>
61
+
<li>Множества записываются в двух формах<ul><li>Реестровая форма выглядит так: F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}</li>
62
+
<li>Форма построения набора выглядит так: F = {p: p - множество двузначных совершенных квадратных чисел}</li>
63
+
</ul></li>
64
+
<li>Множества бывают конечными, бесконечными, единичными, пустыми, мощными, равными, эквивалентными и универсальными. Также существуют подмножества: если все элементы множества A принадлежат множеству B, то A - подмножество B</li>
65
+
</ul><p>Подробнее о теории множеств, ее применении, символах и формулах мы поговорим уже в следующем курсе.</p>