Введение в математическую логику
2026-02-26 18:57 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/logic/lessons/basics_of_set_theory/theory_unit

За время этого курса мы изучили множество аспектов математической логики. Теперь вы умеете использовать нотации и решать парадоксы, замечать софизмы, работать с эквивалентными высказываниями, предикатами и квантификаторами. Кроме того, вы изучили ПДФ и ПКФ, а также разобрались с правилами вывода.

Все эти инструменты пригодятся вам дальше, когда мы будем изучать дискретную математику.

Далее мы изучим теорию множеств — раздел математической логики о множествах и их свойства. Без понимания множеств будет трудно объяснить другие понятия: отношения, функции, последовательности, вероятности, геометрию и так далее.

Что такое множество

Множество — это коллекция объектов или групп объектов. Множества могут быть связаны с примерами из реальной жизни: через них можно описать количество рек в России или количество цветов в радуге.

А еще множества бывают разных типов. В футбольной команде может быть не более 11 игроков одновременно — это конечное множество*. Но существуют и бесконечные множества. Например, они могут состоять из натуральных, действительных чисел или мнимых чисел.

Для понимания множеств рассмотрим практический пример. По дороге на работу Вася решил записать названия ресторанов, которые попадутся ему по пути.

У него получится такой список:

P_1, P_2, P_3, P_4

Как видите, это коллекция из четырех хорошо определенных объектов — то есть множество.

Обратите внимание на фразу хорошо определенные объекты. Это значит, что любой человек может определить, принадлежит ли объект к данной коллекции или нет. Например, магазин канцелярских товаров не относится к категории ресторанов. Если коллекция объектов четко определена, она называется множеством.

Возвращаясь с работы, Вася захотел подтвердить список, который он составил ранее. На этот раз он снова написал список, только в обратном порядке. Новый список выглядит так:

P_4, P_3, P_2, P_1

Теперь это другой список, но при этом набор объектов не изменился. Можно сделать вывод, что это одно и то же множество, ведь здесь порядок элементов не имеет значения.

Как обозначаются множества

Множества записывают двумя способами:

  1. Форма реестра (табличная форма)
  2. Форма построителя наборов

Форма реестра

В реестровой форме мы перечисляем все элементы множества, разделяем их запятой и заключаем в фигурные скобки {}.

Если множество представляет все високосные годы между 1995 и 2015 годами, то его реестровая форма будет выглядеть так:

A={1996,2000,2004,2008,2012}

В этом примере элементы внутри скобок записываются в порядке возрастания, но их можно записывать по убыванию или произвольно. Порядок не имеет значения для множества, представленного в реестровой форме.

Также при представлении множеств игнорируется кратность. Например, возьмем множество, содержащее все буквы в слове ADDRESS. Оно записывается так:

  • Верная запись: L={A,D,R,E,S}
  • Другая верная запись: L={S,E,D,A,R}
  • Неверная запись: L={A,D,D,R,E,S,S}

Форма построения набора

В форме конструктора множеств все элементы имеют какое-то общее свойство. Это свойство не применяется к объектам, которые в набор не входят.

Например, если множество S имеет все элементы, которые являются четными простыми числами, то оно представляется как:

S={x: x — четное простое число}

  • x — это символическое представление, которое используется для описания элемента
  • : означает «такой, что...»
  • {} означает «множество всех»

Таким образом, S={x: x — четное простое число} читается как «Множество всех x таких, что x — четное простое число».

Реестровая форма для этого множества S будет S = 2. Это множество содержит только один элемент. Такие множества называются одиночными или единичными.

Возьмем другой пример:

Множество в форме построения набора:
F = {p: p — множество двузначных совершенных квадратных чисел}

Похожее множество, только в реестровой форме:
F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}

В примере выше видно, что:

  • 16 — квадрат 4
  • 25 — квадрат 5
  • 36 — квадрат 6
  • 49 — квадрат 7
  • 64 — квадрат 8
  • 81 — квадрат 9

Обратите внимание, что 4, 9, 121 также являются совершенными квадратами, но они не входят в множество F, потому что оно ограничено только двузначными совершенными квадратами.

Какими бывают множества

Мы уже изучили конечные, бесконечные и единичные множества. Кроме того, бывают такие множества:

  • Пустое множество без элементов
  • Равное множество, которое имеет одинаковые элементы с другим множеством
  • Эквивалентное множество, которое имеет одинаковое количество элементов с другим множеством
  • Универсальное множество, которое содержит все рассматриваемые множества
  • Подмножество: Если все элементы множества A принадлежат множеству B, то A — подмножество B
  • Мощное множество, состоящее из всех возможных подмножеств

С первого взгляда множества могут показаться довольно абстрактной темой, но на самом деле без них наша жизнь была бы абсолютно другой. Все, что вы наблюдаете вокруг себя создано с помощью математических моделей, функций и множеств.

Выводы

Этим уроком мы завершаем курс по математической логике. Здесь мы познакомились с множествами — следующей ступенью в дискретной математике. Теперь вы знаете, что:

  • Множество — это коллекция объектов или групп объектов. При этом важно, чтобы множество состояло из хорошо определенных объектов. Это значит, что любой человек может определить, принадлежит ли объект к коллекции или нет
  • Для множества не имеет значения порядок элементов и их кратность
  • Множества записываются в двух формах
    • Реестровая форма выглядит так: F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}
    • Форма построения набора выглядит так: F = {p: p — множество двузначных совершенных квадратных чисел}
  • Множества бывают конечными, бесконечными, единичными, пустыми, мощными, равными, эквивалентными и универсальными. Также существуют подмножества: если все элементы множества A принадлежат множеству B, то A — подмножество B

Подробнее о теории множеств, ее применении, символах и формулах мы поговорим уже в следующем курсе.