Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 Ранее в курсе мы уже рассматривали разные свойства функций. Сегодня мы разберем еще одно свойство - возрастание и убывание.

2 В этом уроке мы рассмотрим понятие возрастающей и убывающей функций, их свойства, графическое представление, теоремы для проверки возрастающих и убывающих функций, а также примеры для лучшего понимания.

3 <h2>Возрастающие и убывающие функции</h2>

4 Возрастающие и убывающие функции - это функции, для которых значение производной увеличивается и уменьшается соответственно с изменением значения x.

5 Рассмотрим подробнее, что значит это определение. Для проверки поведения возрастающих и убывающих функций используетсяпроизводная функцииf(x). Считается, что:

6 <ul><li>Функция возрастает, если значение f(x) увеличивается с ростом значения x</li>

7 <li>Функция убывает, если значение f(x) уменьшается с ростом значения x</li>

8 </ul>Давайте рассмотрим формальные определения возрастающей и убывающей функции, чтобы понять их смысл.

9 Во всех определениях выше соблюдаются общие условия. Возрастание и убывание функции рассматривается:

10 <ul><li>На интервале I</li>

11 <li>Для любых двух значений x и y в I</li>

12 <li>Если значение x > y</li>

13 </ul>А теперь рассмотрим сами определения:

14 <ol><li>Возрастающая функция- функция f(x) возрастает, если f(x) ≤ f(y)</li>

15 <li>Убывающая функция- функция убывает, если f(x) ≥ f(y)</li>

16 <li>Строго возрастающая функция- функция строго возрастает, если f(x) > f(y)</li>

17 <li>Строго убывающая функция- функция строго убывает, если f(x) > f(y)</li>

18 </ol><h2>Правила проверки функций</h2>

19 Чтобы проверить возрастание и убывание, можно использовать производную функции. Посмотрим, как это работает на практике.

20 Предположим, что функция f(x) дифференцируема на открытом интервале I, тогда она определяется так:

21 <ul><li>Если f'(x) ≥ 0 на I, то функция является возрастающей на I</li>

22 <li>Если f'(x) ≤ 0 на I, то функция является убывающей функцией на I</li>

23 </ul>Чтобы разобраться подробнее, возьмем такой пример:

24 <ol><li>Рассмотрим f(x) = x3, определенную для всех действительных чисел</li>

25 <li>Производная от f(x) = x3 имеет вид f'(x) = 3x2</li>

26 <li>Мы знаем, что квадрат числа всегда больше или равен 0, поэтому f'(x) = 3x2 ≥ 0 для всех x</li>

27 <li>Следовательно, f(x) = x3 - возрастающая функция</li>

28 </ol><h2>Возрастание и убывание на графике</h2>

29 Теперь мы знаем значение и определение возрастающих и убывающих функций. Дальше давайте посмотрим на графическое представление возрастающих и убывающих функций, которое поможет нам понять поведение функций.

30 Кроме производной, есть еще один способ определить возрастание и убывание функции. Можно взглянуть на ее график:

31 <ul><li>Функция возрастает, если график идет вверх по мере продвижения к правой стороне оси x</li>

32 <li>Функция убывает, график идет вниз по мере продвижения к правой стороне оси x</li>

33 </ul>Посмотрите на этот пример:

34 На приведенных выше графиках показано графически представлены все четыре типа функций:

35 <ul><li>Строго возрастающая</li>

36 <li>Строго убывающая</li>

37 <li>Возрастающая</li>

38 <li>Убывающая</li>

39 </ul>Как видно из графиков, возрастающая функция ведет себя по-разному:

40 <ul><li>В одних частях графика есть строго возрастающие интервалы</li>

41 <li>В других частях графика есть интервалы, где функция постоянна</li>

42 </ul>Аналогично, убывающая функция состоит из интервалов, где функция строго убывает и где функция постоянна.

43 <h2>Свойства возрастающих и убывающих функций</h2>

44 Выше вы научились проверять, является ли функция возрастающей или убывающей.

45 Теперь давайте рассмотрим алгебраические свойства возрастающих и убывающих функций. Они помогут вам проводить операции с функциями.

46 Есть два свойства, связанные с суммами:

47 <ul><li>Если функции f и g являются возрастающими на открытом интервале I, то сумма функций f + g также возрастает на этом интервале</li>

48 <li>Если функции f и g - убывающие функции на открытом интервале I, то сумма функций f + g также убывает на этом интервале</li>

49 </ul>Еще два свойства связаны с произведениями:

50 <ul><li>Если функции f и g - возрастающие функции на открытом интервале I и f, g ≥ 0 на I, то произведение функций fg также возрастает на этом интервале</li>

51 <li>Если функции f и g - убывающие функции на открытом интервале I и f, g ≥ 0 на I, то произведение функций fg также убывает на этом интервале</li>

52 </ul>Еще несколько свойств связаны с обратными функциями:

53 <ul><li>Если функция f - возрастающая функция на открытом интервале I, то обратная функция -f убывает на этом интервале</li>

54 <li>Если функция f - убывающая функция на открытом интервале I, то противоположная функция -f - возрастающая на этом интервале</li>

55 <li>Если функция f - возрастающая функция на открытом интервале I, то обратная функция 1/f убывает на этом интервале</li>

56 <li>Если функция f - убывающая функция на открытом интервале I, то обратная функция 1/f возрастает на этом интервале</li>

57 </ul><h2>Выводы</h2>

58 В этом уроке мы узнали, как работают возрастающие и убывающие функции. Теперь мы умеет определять это свойство двумя способами - через производную и по графику. Также мы познакомились со свойствами возрастающих и убывающих функций - они помогут вам проводить операции с функциями.