Функции
2026-02-26 19:05 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/functions/lessons/increasing/theory_unit

Ранее в курсе мы уже рассматривали разные свойства функций. Сегодня мы разберем еще одно свойство — возрастание и убывание.

В этом уроке мы рассмотрим понятие возрастающей и убывающей функций, их свойства, графическое представление, теоремы для проверки возрастающих и убывающих функций, а также примеры для лучшего понимания.

Возрастающие и убывающие функции

Возрастающие и убывающие функции — это функции, для которых значение производной увеличивается и уменьшается соответственно с изменением значения x.

Рассмотрим подробнее, что значит это определение. Для проверки поведения возрастающих и убывающих функций используется производная функции f(x). Считается, что:

  • Функция возрастает, если значение f(x) увеличивается с ростом значения x
  • Функция убывает, если значение f(x) уменьшается с ростом значения x

Давайте рассмотрим формальные определения возрастающей и убывающей функции, чтобы понять их смысл.

Во всех определениях выше соблюдаются общие условия. Возрастание и убывание функции рассматривается:

  • На интервале I
  • Для любых двух значений x и y в I
  • Если значение x > y

А теперь рассмотрим сами определения:

  1. Возрастающая функция — функция f(x) возрастает, если f(x) ≤ f(y)
  2. Убывающая функция — функция убывает, если f(x) ≥ f(y)
  3. Строго возрастающая функция — функция строго возрастает, если f(x) > f(y)
  4. Строго убывающая функция — функция строго убывает, если f(x) > f(y)

Правила проверки функций

Чтобы проверить возрастание и убывание, можно использовать производную функции. Посмотрим, как это работает на практике.

Предположим, что функция f(x) дифференцируема на открытом интервале I, тогда она определяется так:

  • Если f'(x) ≥ 0 на I, то функция является возрастающей на I
  • Если f'(x) ≤ 0 на I, то функция является убывающей функцией на I

Чтобы разобраться подробнее, возьмем такой пример:

  1. Рассмотрим f(x) = x3, определенную для всех действительных чисел
  2. Производная от f(x) = x3 имеет вид f'(x) = 3x2
  3. Мы знаем, что квадрат числа всегда больше или равен 0, поэтому f'(x) = 3x2 ≥ 0 для всех x
  4. Следовательно, f(x) = x3 — возрастающая функция

Возрастание и убывание на графике

Теперь мы знаем значение и определение возрастающих и убывающих функций. Дальше давайте посмотрим на графическое представление возрастающих и убывающих функций, которое поможет нам понять поведение функций.

Кроме производной, есть еще один способ определить возрастание и убывание функции. Можно взглянуть на ее график:

  • Функция возрастает, если график идет вверх по мере продвижения к правой стороне оси x
  • Функция убывает, график идет вниз по мере продвижения к правой стороне оси x

Посмотрите на этот пример:

На приведенных выше графиках показано графически представлены все четыре типа функций:

  • Строго возрастающая
  • Строго убывающая
  • Возрастающая
  • Убывающая

Как видно из графиков, возрастающая функция ведет себя по-разному:

  • В одних частях графика есть строго возрастающие интервалы
  • В других частях графика есть интервалы, где функция постоянна

Аналогично, убывающая функция состоит из интервалов, где функция строго убывает и где функция постоянна.

Свойства возрастающих и убывающих функций

Выше вы научились проверять, является ли функция возрастающей или убывающей.

Теперь давайте рассмотрим алгебраические свойства возрастающих и убывающих функций. Они помогут вам проводить операции с функциями.

Есть два свойства, связанные с суммами:

  • Если функции f и g являются возрастающими на открытом интервале I, то сумма функций f + g также возрастает на этом интервале
  • Если функции f и g — убывающие функции на открытом интервале I, то сумма функций f + g также убывает на этом интервале

Еще два свойства связаны с произведениями:

  • Если функции f и g — возрастающие функции на открытом интервале I и f, g ≥ 0 на I, то произведение функций fg также возрастает на этом интервале
  • Если функции f и g — убывающие функции на открытом интервале I и f, g ≥ 0 на I, то произведение функций fg также убывает на этом интервале

Еще несколько свойств связаны с обратными функциями:

  • Если функция f — возрастающая функция на открытом интервале I, то обратная функция -f убывает на этом интервале
  • Если функция f — убывающая функция на открытом интервале I, то противоположная функция -f — возрастающая на этом интервале
  • Если функция f — возрастающая функция на открытом интервале I, то обратная функция 1/f убывает на этом интервале
  • Если функция f — убывающая функция на открытом интервале I, то обратная функция 1/f возрастает на этом интервале

Выводы

В этом уроке мы узнали, как работают возрастающие и убывающие функции. Теперь мы умеет определять это свойство двумя способами — через производную и по графику. Также мы познакомились со свойствами возрастающих и убывающих функций — они помогут вам проводить операции с функциями.