Введение в дата-аналитику
2026-02-26 17:10 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/data-analytics-basics/lessons/math-for-analytics/theory_unit

Современные технологии позволяют человеку автоматизировать рутинные расчеты. Например, аналитики данных чаще всего подсчитывают проценты. Раньше это приходилось делать вручную, а сейчас можно просто сказать компьютеру, как именно мы хотим обработать поток данных.

Но здесь может проявиться человеческий фактор. Всегда есть вероятность, что мы дадим компьютеру неправильную инструкцию. Чтобы находить такие ошибки, можно проверять расчеты вручную. Для этого нам потребуется умение работать с процентами и знание математики в целом.

Именно поэтому в этом уроке мы подробно поговорим о процентах и научимся рассчитывать их на примере разных практических задач.

Что такое проценты

Процент — это одна сотая доля от чего-то целого. Для примера возьмем апельсин:

  • Весь апельсин — это одно целое
  • Если разрезать его на четыре части, получится четыре дольки
  • Каждая долька — это четверть, то есть одна доля из четырех

То же самое можно выразить дробями:

То же можно выразить в процентах:

Возьмем более практическую задачу — подсчет налогов. Представим, что мы пришли в магазин в Нью-Йорке купить 1 килограмм бананов за 1 доллар. При этом в американских магазинах ценники не включают в себя налог — он подсчитывается отдельно на кассе. Другими словами, кассир добавит к покупке еще 20% налога.

Подсчитаем, во сколько обойдется такая покупка. Налог считается в виде доли от стартовой цены товара, поэтому нужно умножить цену за 1 килограмм на 20%, а затем прибавить получившуюся сумму к стартовой цене бананов:

Рассмотрим еще одну практическую задачу — конвертацию валюты.

Представим, что мы хотим обменять 500 долларов на евро на таких условиях:

  • Курс обмена — 1 доллар = 0,85 евро
  • Комиссия за услуги банка — 2,5% от общей суммы обмена

Выясним, сколько евро мы получим. Для начала выразим 500 долларов в виде искомой суммы — их мы потратим на покупку евро и уплату банковской комиссии. Назовем эту искомую сумму переменной x. Составим уравнение и решим его:

Начинаем решать уравнение:

Далее мы можем найти переменную x:

Теперь мы знаем, что на покупку евро мы потратим примерно 487 долларов. Далее посчитаем комиссию банка. Для этого возьмем искомую сумму 500 долларов и вычтем из нее переменную x, а затем переведем это число в евро:

На этом шаге выяснилось, что за услуги банка мы заплатим примерно 12 долларов. Осталось только выяснить, сколько евро мы получим. Умножаем количество долларов на курс обмена:

Задача решена: мы получим около 414,6 евро.

Как искать процент

Подобные задачи можно решать так, как мы показали выше. Но есть и другие способы, которые мы рассмотрим далее. Можно выделить два способа найти процент.

Первый способ — математический. Сначала вычисляем 1% от числа, а потом умножаем его на нужную цифру процентов. Для примера найдем 5% от 200. Для этого вычисляем 1% и умножим его на 5:

Второй способ — бытовой. По опыту мы все знаем, каким дробям равны некоторые проценты:

  • 5% — одна двадцатая
  • 10% — одна десятая
  • 20% — одна пятая
  • 25% — одна четвертая

Так можно не вычислять проценты, а просто умножить число на дробь. Решим этим способом пример выше:

Пока все еще выглядит просто и интуитивно понятно, но бывают и неочевидные задачи. Например, такая:

Представим, что на овощебазу завезли 100 килограмм свежих огурцов. Изначально в них содержалось 99% воды. Спустя некоторое время, огурцы начали портиться — содержание воды в них стало 98%. Сколько стали весить огурцы?

Попробуем решить эту задачу. В свежих огурцах было 99% воды, а оставшийся 1% приходился на сухое вещество. Другими словами, в 100 килограммах огурцов был 1 килограмм сухого вещества. Затем содержание воды снизилось на 1%. Количество сухого вещества не изменилось, но изменилась доля — 1 килограмм теперь составляет 2% от общей массы. Зная все это, мы приходим к таким выводам:

  • 2% = 1 килограмм сухого вещества
  • 98% = X килограммов воды

Узнаем, на сколько нужно умножить 1 килограмм сухого вещества, чтобы получить эквивалент 98% массы воды:

Затем прибавляем массу оставшегося на месте сухого вещества:

Результат выглядит контринтуитивно — содержание воды снизилось всего на 1%, а огурцов стало в два раза меньше. Эта задача показывает, что с процентами в реальном мире все не так очевидно.

Сложные проценты

В жизни городского жителя подсчет массы огурцов кажется не самой важной задачей. Но есть и более актуальные вопросы, связанные с процентами — например, сколько денег вы заплатите по кредиту или получите по вкладу в банке.

Есть два типа процентов — простые и сложные. Они зависят от того, будет ли прибавляться доход от процентов к общей сумме вклада, на которую начисляется итоговая выручка.

Представим, что доход от процентов не прибавляется. Тогда это вклад с простым процентом. Будущий доход вычисляется так:

  • x — стартовая сумма депозита
  • n — количество лет, в течение которых деньги лежат на вкладе
  • i — годовая ставка в процентах

Если доход от процентов прибавляется, то это вклад со сложным процентом. Формула изменится:

  • x — стартовая сумма депозита
  • n — количество лет, в течение которых деньги лежат на вкладе
  • i — годовая ставка в процентах

Эти формулы актуальны в случае, если проценты начисляются один раз в год. Если нет, то формула сложных процентов меняется таким образом:

  • x — Стартовая сумма депозита
  • m — Количество выплат в год
  • n — Количество лет, в течение которых деньги лежат на вкладе
  • i — Годовая ставка в процентах

Продумывая новое предложение для клиентов, банки предполагают, как часто клиенты будут снимать средства со вклада. В зависимости от этого они предлагают простую или сложную процентную ставку.

Это связано с ожидаемой доходностью банка при манипуляциях со средствами со счета. Например, банк сравнивает двух клиентов: один кладет деньги на год и не снимает, а другой постоянно выводит заработанные проценты. Со вторым клиентом банк не уверен, что он получит ожидаемую доходность, аналогичную прибыли от первого клиента. Подробнее об этом можно прочитать в статье Рассчитываем проценты по вкладу.

На практике могут встречаться разные задачи, связанные с процентами. Например, мы хотим посчитать, через какое время удвоится сумма на вкладе со сложным процентом.

Чтобы решить эту задачу, можно переставить местами переменные в формуле выше. А еще можно воспользоваться правилом 72 — разделить 72 на годовую процентную ставку и узнать срок удвоения суммы на вкладе.

Задача с банковским вкладом

Выбирая вклад, важно учитывать, какой процент вам предлагают — простой или сложный. От этого зависит ожидаемая доходность. Для примера представим, что мы хотим вложить 10000 рублей на 5 лет с годовой процентной ставкой 10%. Рассчитаем, сколько мы заработаем по вкладу с простым и сложным процентом.

Если проценты начисляются по простым процентам, то доход можно вычислить по формуле:

  • P=10000 — первоначальная сумма вклада
  • r=10%=0.1 — процентная ставка в долях
  • t=5 — срок вклада в годах

На вкладе с простым процентом мы заработаем 5000 рублей:

Если проценты начисляются по сложным процентам с ежемесячным начислением процентов, то доход можно вычислить по формуле:

  • P=10000 — первоначальная сумма вклада
  • r=10%=0.1 — процентная ставка в долях
  • n=12 — количество начислений процентов за год
  • t=5 — срок вклада в годах

В этом случае мы заработаем около 6453 рублей:

Другие математические темы, полезные для аналитиков

В этом уроке мы изучили всего одну тему — проценты. Но существует еще много тем из школьной и высшей математики, которые помогают аналитику данных решать свои типовые задачи. Еще в этот список можно включить темы из:

  1. Линейной алгебры — векторы и матрицы
  2. Математического анализа — предел, логарифм, интеграл, функция нескольких переменных
  3. Математической статистики — медиана, мода, среднее, квартили, дисперсия