Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>29 авг 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>О нормальном распределении простыми словами</h2>

5 Разбираем на практике один из главных законов статистики.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Пишет о сетях, инструментах для разработчиков и языках программирования. Любит готовить, играть в инди‑игры и программировать на Python.

8 При оценке многих жизненных фактов мы часто сталкиваемся с нормальным распределением. Если кровяное давление вашей бабушки находится в пределах нормы для её возрастной группы, это прекрасно. Однако если ваши оценки по математике соответствуют норме обычной общеобразовательной школы, а вы хотите поступить в МФТИ, то это повод напрячься.

9 В обоих случаях мы сравниваем показатели с нормой и её границами. Эти нормы не устанавливаются произвольно - их рассчитывают на основании данных большой группы наблюдений. Если распределить эти показатели на графике, то он будет выглядеть примерно так:

10 Инфографика: Оля Ежак для Skillbox MediaЭто кривая нормального распределения, о которой мы поговорим в статье. Вы узнаете:

11 <ul><li><a>что такое нормальное распределение</a>;</li>

12 <li><a>какие у него есть свойства и формулы</a>;</li>

13 <li><a>где оно применяется</a>.</li>

14 </ul>В статистике часто используют распределения, чтобы понять, как часто происходят разные события. По сути, распределение - это связь между значением величины и вероятностью того, что она примет это значение.

15 Например, если мы наблюдаем температуру в Караганде на протяжении года, то распределение может показать, как часто температура принимает значение в том или ином диапазонах. Например, вероятность того, что температура в определённый день будет 25°C, может составлять 10%, а вероятность температуры 30°C - 5%.

16 Нормальное распределение - это особый тип распределения, при котором большинство значений сосредоточено около среднего. Его также называют гауссовым распределением, законом Гаусса или колоколообразным распределением, а его график - кривой Гаусса, или гауссианой.

17 В терминах статистики, в нормальном распределении большинство значений находятся в пределах одного среднеквадратического отклонения от среднего (68,2%), двух среднеквадратических отклонений (95,4%), трёх среднеквадратических отклонений (99,7%) и так далее.

18 Для наглядности позовём бабулю и её подруг. Возьмём распределение показателей кровяного давления у женщин старше 65 лет. Если собрать данные о кровяном давлении большого числа женщин этого возраста, мы увидим, что большинство значений находится в определённом диапазоне, с небольшим количеством значений, сильно отклоняющихся от этого диапазона:

19 Инфографика: Skillbox MediaУ большинства женщин показатель верхнего давления находится между 125 и 155 - то есть с отклонением в 15 единиц в меньшую или большую сторону от среднего значения, равного 140. Это отклонение называют средним, стандартным или среднеквадратическим отклонением. Его обозначают греческой буквойσ(сигма), а среднее значение обозначают буквойμ(мю):

20 Инфографика: Skillbox MediaСейчас будет немного страшно:

21 Инфографика: Skillbox MediaТак выглядит формула закона нормального распределения. Она может показаться сложной, но всё не так страшно. Начнём с того, что нам известно:

22 <ul><li>x - это наше значение;</li>

23 <li>μ - среднее значение. Его вычислить просто: делим сумму значений на количество;</li>

24 <li>σ - стандартное отклонение. Его вычисляют немного сложнее: нужно найти квадратный корень из среднего значения суммы квадратов разностей между каждым значением и средним.</li>

25 </ul>Если мы возведём стандартное отклонение в квадрат, то получимдисперсию. Дисперсия показывает, насколько далеко от среднего значения расположены наблюдения в рамках того или иного распределения:

26 Инфографика: Skillbox Mediaгде:

27 <ul><li>σ2- дисперсия;</li>

28 <li>x1, x2, x3, … xn- каждое отдельное значение;</li>

29 <li>μ - среднее значение;</li>

30 <li>n - общее количество значений.</li>

31 </ul>Среднее отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

32 <ul><li>π - математическая константа пи (≈ 3,14159), которая представляет собой отношение длины окружности к её диаметру;</li>

33 <li>exp- функция возведения основания натурального логарифмаe(≈ 2,71828) в степень, значение которой указывается в скобках справа.</li>

34 </ul>Проверим справедливость формулы на примере подбрасывания игральных костей. Поскольку у нас нет возможности подбрасывать настоящие кубики, мы смоделируем ситуацию, при которой 10 костей подбрасываются одновременно 10 000 раз. Моделирование будем выполнять на <a>Python</a>с использованием библиотек<a>NumPy</a>и <a>SciPy</a>, а график распределения построим с помощью библиотеки<a>Matplotlib</a>.

35 Если вы умеете работать с Python и его библиотеками, повторите наши действия. Обратите внимание, что в коде используются методы библиотеки NumPy, поэтому ваши конкретные результаты могут немного отличаться. Однако график распределения будет иметь уже знакомую форму - гауссиану:

36 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats as stats # Количество подбрасываний кубика num_throws = 10000 num_dice = 10 # Количество кубиков, подбрасываемых за раз # Моделирование подбрасываний кубика np.random.seed(0) rolls = np.random.randint(1, 7, size=(num_throws, num_dice)) sums = rolls.sum(axis=1) # Расчёт среднего и стандартного отклонения mu = np.mean(sums) sigma = np.std(sums) # Создание массива значений x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 1000) pdf = stats.norm.pdf(x, mu, sigma) # Построение гистограммы и графика нормального распределения plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.hist(sums, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g', label='Гистограмма сумм подбрасываний') plt.plot(x, pdf, label='Нормальное распределение', color='blue') # Добавление вертикальной линии для среднего значения plt.axvline(mu, color='red', linestyle='--', label='Среднее значение') # Добавление легенды plt.legend() # Добавление заголовка и подписей осей plt.title('Распределение сумм 10 подбрасываний кубика') plt.xlabel('Сумма значений') plt.ylabel('Плотность вероятности') # Отображение графика plt.grid(True) plt.show()Результат выполнения кода:

37 Инфографика: Skillbox MediaДавайте проверим формулу. Если у вас нет под рукой ручки и бумаги, воспользуйтесь нашим кодом:

38 import numpy as np num_throws = 10000 num_dice = 10 np.random.seed(0) rolls = np.random.randint(1, 7, size=(num_throws, num_dice)) sums = rolls.sum(axis=1) mu = np.mean(sums) sigma = np.std(sums, ddof=1) print(f"Среднее значение (μ): {mu}") print(f"Стандартное отклонение (σ): {sigma}")Мы получилиμ= 35 и σ= 5,402. Используем калькулятор<a>OwlCalculator</a>для проверки. Подставляем значения в калькулятор, выбрав любое значениеxв пределах от 10 до 60. В нашем примере возьмём значение 32. Калькулятор покажет значение функции плотности вероятности для выбранногоx:

39 Скриншот:<a>OwlCalculator</a>/ Skillbox MediaТочно сказать сложно, но приблизительно это соответствует графику. Построим гистограмму с меньшим масштабом, чтобы проверить:

40 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats as stats num_throws = 10000 num_dice = 10 np.random.seed(0) rolls = np.random.randint(1, 7, size=(num_throws, num_dice)) sums = rolls.sum(axis=1) mu = np.mean(sums) sigma = np.std(sums) x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 1000) pdf = stats.norm.pdf(x, mu, sigma) # Границы корзин для гистограммы с шагом 1 bins = np.arange(sums.min(), sums.max() + 1, 1) # Построение гистограммы и графика нормального распределения plt.figure(figsize=(10, 6)) count, bins, ignored = plt.hist(sums, bins=bins, density=True, alpha=0.6, color='g', label='Гистограмма сумм подбрасываний') plt.plot(x, pdf, label='Нормальное распределение', color='blue') # Добавление вертикальной линии для среднего значения plt.axvline(mu, color='red', linestyle='--', label='Среднее значение') plt.legend() plt.title('Распределение сумм 10 подбрасываний кубика') plt.xlabel('Сумма значений') plt.ylabel('Плотность вероятности') plt.grid(True) plt.show()Здесь мы уже лучше видим, что значение гистограммы примерно соответствует результату из калькулятора:

41 Инфографика: Skillbox MediaЗакон распределения Гаусса хорош своей универсальностью, а примеры его применения можно встретить в различных сферах. Например, в маркетинге. Представьте, что вы менеджер интернет-магазина и хотите понять, как распределяются суммы покупок клиентов. Это поможет вам оптимизировать маркетинговую стратегию и эффективно распределить целевую рекламу.

42 Вы собираете данные о суммах покупок всех клиентов за последний месяц. Допустим, у вас есть данные о 1000 покупок. Теперь рассчитываем среднее значение и стандартное отклонение сумм покупок. В качестве гипотезы предполагаем, что суммы покупок следуют нормальному распределению с рассчитаннымиμи σ.

43 В результате вычислений оказалось, что средний чек равен 5000 рублей, а стандартное отклонение составляет 1000 рублей.

44 Теперь используем эти данные. Установим контрольные границы, например±2σот среднего значения, что охватывает около 95% всех наблюдаемых значений в нормальном распределении. В нашем случае это будут границы от 3000 до 7000 рублей.

45 На основании расчётов дадим отделу маркетинга такие указания:

46 <ul><li>Если клиент тратит больше 7000 рублей, его можно считать высокоценным и стоит направить на него больше маркетинговых усилий.</li>

47 <li>Если клиент тратит меньше 3000 рублей, то это указывает на возможность улучшения маркетинговых стратегий для увеличения среднего чека.</li>

48 </ul>Теперь ребята из отдела маркетинга настроят рекламу так, чтобы большая часть бюджета тратилась на привлечение высокоценных клиентов. Это поможет эффективно использовать рекламные средства и избежать их пустой траты.

49 Маркетингом сфера применения распределения Гаусса не ограничивается. Оно применяется во многих других областях - от финансов до биологии, помогая анализировать данные и принимать решения на основе статистики:

50 <ul><li>в физике - для описания случайных ошибок измерений;</li>

51 <li>в биологии - для описания распределения размеров, веса и других характеристик популяций;</li>

52 <li>в психологии - для описания распределения IQ и других психологических показателей;</li>

53 <li>в экономике - для моделирования распределения доходов, цен и других экономических показателей;</li>

54 <li>в демографии - для анализа роста численности населения;</li>

55 <li>в инженерном деле - для контроля качества продукции;</li>

56 <li>в статистическом контроле процессов - для мониторинга производственных параметров;</li>

57 <li>в исследованиях- для обработки результатов экспериментов и опросов;</li>

58 <li>в методах оценки и аппроксимации- для предсказания значений на основе известных данных и упрощения сложных функций или распределений.</li>

59 </ul><ul><li>Нормальное распределение (распределение Гаусса, колоколообразное распределение) - это тип распределения, при котором большинство значений сосредоточено около среднего значения.</li>

60 <li>Среднее значениеμ(мю) и стандартное отклонениеσ(сигма) определяют форму кривой нормального распределения (гауссианы).</li>

61 <li>По закону нормального распределения 68,2% значений находятся в пределах одногоσот μ, 95,4% - в пределах двухσ, а 99,7% - в пределах трёхσ.</li>

62 <li>Зная среднее значение и стандартное отклонение распределения, можно устанавливать контрольные границы и принимать решения на их основе.</li>

63 <li>Нормальное распределение широко применяется в различных областях: естественных науках (физика, биология), социальных науках (экономика, демография), психологии, производственных процессах, исследованиях и анализе данных.</li>

64 </ul><a>Научитесь: Аналитик данных с нуля Узнать больше</a>