Как найти длину вектора: разбираем 3 способа
2026-02-21 14:49 Diff
https://skillbox.ru/media/code/kak-nayti-dlinu-vektora-razbiraem-3-sposoba/

#статьи

  • 9 авг 2024
  • 0

Вычисляем по координатам, точкам и теореме косинусов.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

Эта статья для новичков, которые хотят познакомиться с векторами. Вы узнаете, что такое вектор, как он обозначается и как рассчитывается его длина. Мы рассмотрим три способа и дополним их формулами, примерами и задачами для закрепления материала.

Содержание

Вектор — это направленный отрезок, который имеет начало и конец. Его можно представить как стрелку на карте, указывающую путь от одного города к другому. Расстояние между городами будет длиной вектора, а направление стрелки — его направлением.

Вектор может обозначаться двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой сверху или одной строчной латинской буквой. Например, или . Если вектор обозначается двумя заглавными буквами, то первая буква указывает на его начало, а вторая — на конец. Ещё есть нулевой вектор, который обозначается как ноль со стрелкой сверху: . Его начальная и конечная точки совпадают, а длина равна нулю.

Длина, или модуль, вектора — это расстояние между его началом и концом, которое обозначают одной или двумя вертикальными чертами по бокам от его названия. Так, длину вектора можно записать как или , а длину вектора как или .

Модуль вектора может понадобиться для решения различных задач:

  • В физике он помогает проанализировать скорость и движение объектов, определить, насколько быстро и куда они движутся.
  • В инженерии длина вектора позволяет рассчитать силу и степень её воздействия на объекты, что критично при проектировании и оценке нагрузок.
  • В компьютерной графике модуль необходим для определения расстояний между элементами, что важно для их точного отображения и анимирования.

Длину вектора можно определить несколькими способами:

  • по координатам вектора:
  • по координатам точек: .
  • по теореме косинусов: .

В следующих разделах мы подробно рассмотрим каждую формулу и на примерах потренируемся вычислять длину вектора.

Графическое представление вектора  — это направленный отрезок с начальной точкой, конечной точкой и длиной
Иллюстрация: Skillbox Media

Для определения положения точки в пространстве с помощью чисел используется система координат, которая показывает расстояние до определённой оси в этой системе. В двумерной системе координат есть две оси: горизонтальная ось X и вертикальная ось Y. В трёхмерной системе добавляется ось Z, перпендикулярная осям X и Y. Оси служат ориентирами для измерения координат и обычно пересекаются в начальной точке, образуя прямоугольную сетку.

Расположим точку A вектора в начале координат, то есть в точке (0, 0) в двумерном пространстве. Точку B разместим в любом другом месте системы координат. Эта точка B будет определять конец вектора и его координаты.

Если мы проведём перпендикуляры из точки B на оси X и Y, то получим два прямоугольных треугольника. На рисунке ниже они будут обозначаться как и . Мы можем работать с любым из этих треугольников, но для примера выберем треугольник . В этом треугольнике гипотенузу образует вектор , а катеты — отрезки длиной a и b.

Вектор   — гипотенуза прямоугольного треугольника
Иллюстрация: Skillbox Media

К прямоугольному треугольнику мы можем применить теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: . Теперь мы можем вычислить длину вектора , взяв квадратный корень из суммы квадратов его координат:

Предположим, у нас есть вектор с координатами (3, 4). Подставим их в формулу:

Модуль вектора равен 5.

Изменим координаты вектора на (7, 24). Попробуйте самостоятельно посчитать, чему теперь равна длина вектора.

Решение

В предыдущем разделе мы находили длину вектора, исходя из начала координат. Теперь рассмотрим случай, когда вектор задаётся двумя произвольными точками в пространстве.

Предположим, у нас есть некий вектор с начальной точкой (x1, y1) и конечной точкой (x2, y2 ). Чтобы определить длину вектора, сначала нужно найти разность между координатами конечной и начальной точки:

  • для координаты X: ;
  • для координаты Y: .

Разности Δx и Δy будут длинами катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого и будет длиной нашего вектора.

Теперь мы можем вычислить длину вектора по знакомой формуле, основанной на теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: .

Вычислим длину вектора с начальной точкой (2, 3) и конечной точкой (7, 15). Для начала найдём разницу между координатами:

  • для координаты X: = 7 − 2 = 5;
  • для координаты Y: = 15 − 3 = 12.

Подставляем значения в формулу:

Если нам нужно определить модуль вектора в трёхмерном пространстве, то мы выполняем те же действия, но учитываем дополнительную координату. Попробуйте сами. Пусть у нашего вектора начальная точка (2, 3, 4), а конечная точка (6, 7, 9).

Решение

Определяем разницу между координатами:

  • = 6 − 2 = 4;
  • = 7 − 3 = 4;
  • = 9 − 4 = 5.

Подставляем результаты в формулу:

Иногда мы можем столкнуться с ситуацией, когда несколько векторов образуют треугольник и этот треугольник не является прямоугольным. Если необходимо найти длину вектора, координаты которого нам неизвестны, мы можем использовать теорему косинусов. Это возможно, если нам известны длины двух других векторов и угол между ними.

Теорема косинусов звучит так: «Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними».

Таким образом, чтобы найти длину одной из сторон треугольника, нам необходимо:

  • рассчитать сумму квадратов длин двух других сторон;
  • вычесть из этой суммы удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними;
  • извлечь квадратный корень из полученного числа.

Пусть у нас есть треугольник , образованный векторами , , . Углы этого треугольника обозначим следующим образом:

  • угол α находится напротив стороны ;
  • угол β находится напротив стороны ;
  • угол γ находится напротив стороны .

Найдём длину вектора с использованием теоремы косинусов. Формула в данном случае будет выглядеть так:

Треугольник , образованный тремя векторами, длину одного из которых мы можем вычислить по теореме косинусов.
Иллюстрация: Skillbox Media

Допустим, у нас есть следующие данные: модуль вектора равен 5, модуль вектора  — 7, а угол α — 60°.   Сначала определим значение косинуса угла α. В нашем примере это . Подставим все значения в формулу и вычислим модуль вектора :

Попробуйте решить подобную задачу самостоятельно. Исходные данные: модуль вектора равен 8, модуль вектора равен 6, а угол α между ними равен 45°. Нам нужно найти длину вектора , который соединяет концы векторов и .

Решение

Смотрим значение косинуса угла α, который в нашем случае будет таким:
. Подставим все значения в формулу теоремы косинусов и найдём модуль вектора . Вот формула:

Вычисления:

Научитесь: Математика для Data Science Узнать больше