Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>19 май 2023</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Что такое факториал и как его вычислить</h2>

5 Статья, после которой вы начнёте щёлкать факториалы как орешки.

6 Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media

7 Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.

8 Даже если вы уже давно окончили школу, факториалы всё равно могут доставить немало приятных флешбэков - например, если вы обучаетесь программированию и <a>знакомитесь с задачками на рекурсию</a>или комбинаторику. Поэтому мы решили максимально просто объяснить, что такое факториал, как его вычислять и зачем он вообще нужен.

9 Эта статья будет полезна как опытным программистам, которые хотят освежить знания, так и тем, кто ещё учится: школьникам, студентам и совсем зелёным джунам.

10 Содержание:

11 <ul><li><a>Что такое факториал</a></li>

12 <li><a>Для чего он нужен</a></li>

13 <li><a>Основные свойства и формулы</a></li>

14 <li><a>Шпаргалка: таблица факториалов</a></li>

15 <li><a>Решаем задачи на факториалы</a></li>

16 <li><a>Что запомнить</a></li>

17 </ul>Факториал числа n - это произведение всех натуральных чисел от единицы до n. Обозначается факториал символом восклицательного знака: !.

18 Это определение из учебника, и оно пока звучит сложновато - неясно, зачем эти факториалы вообще нужны и как они могут пригодиться в науке и технике. Но об этом чуть позже - для начала давайте посмотрим на примеры факториалов:

19 Изображение: Skillbox MediaЧтобы вычислить их, нам нужно перемножить все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала - так гласит определение. Получаем выражения:

20 Изображение: Skillbox MediaЕщё в математическом определении сказано, что факториал не может быть отрицательным или дробным - то есть вот такие факториалы вычислить нельзя:

21 Изображение: Skillbox MediaФакториалы незаменимы там, где нужно быстро посчитать количество комбинаций и сочетаний разных предметов. В математике этому посвящён даже целый раздел - комбинаторика. Её методы используют много где: от лингвистики до криптографии и анализа ДНК. И во всех этих сферах факториал помогает упрощать сложные вычисления.

22 Разберём на примере, как это работает.

23 Допустим, у вас есть пять шоколадок и вы решили раздать их пяти друзьям - каждому по одной. Задача - выяснить, сколько существует способов раздать эти шоколадки. Начинаем размышлять:

24 <ul><li>первую шоколадку можно отдать одному из пяти друзей;</li>

25 <li>вторую - одному из четырёх друзей, потому что один уже получил свою шоколадку;</li>

26 <li>третью - одному из трёх, потому что двое уже наслаждаются своими шоколадками;</li>

27 <li>четвёртую - одному из двух;</li>

28 <li>пятую - последнему другу.</li>

29 </ul>Получается, что способов раздать первую шоколадку - 5, вторую - 4, третью - 3, четвёртую - 2, а пятую - всего 1. По правилам математики, чтобы выяснить общее количество всех вариантов, нужно перемножить их между собой. Ну а кто мы такие, чтобы с этими правилами спорить?

30 Изображение: Skillbox MediaСмотрим на выражение выше и понимаем: ведь оно идеально вписывается в определение факториала - произведение натуральных чисел от одного до n (в нашем случае n равно 5). Следовательно, это выражение можно коротко и изящно записать в виде факториала:

31 Изображение: Skillbox MediaВыходит, что всего способов раздать пять шоколадок пяти друзьям существует 120. Вот как может выглядеть один из них:

32 Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox MediaКонечно, в жизни вам вряд ли придётся считать количество способов раздать друзьям шоколадки. Но, например, в статистике, теории вероятностей, матанализе и программировании факториалы используют сплошь и рядом. Так что, если видите себя в будущем на матмехе или, на худой конец, в IT, то лучше познакомиться с ними хотя бы бегло.

33 Так как факториалы используются в разных областях математики, свойств у них довольно много - каждая область привносит какие-то свои методы вычислений. Одно из свойств вы уже знаете:факториал - это всегда целое положительное число. Вот ещё несколько, которые стоит запомнить:

34 <ul><li>Факториал нуля равен единице - 0! = 1.</li>

35 <li>Факториал единицы тоже равен единице: 1! = 1.</li>

36 <li>Рекурсия: n! = (n - 1)! × n. Это основное свойство факториалов, о нём мы чуть подробнее поговорим дальше.</li>

37 </ul>Мы видим, что каждое свойство описывается какой-то формулой - и некоторые из этих формул могут быть весьма полезны. Они позволяют нам находить факториалы проще и быстрее, чем простым перемножением натуральных чисел. Разберём эти формулы тоже.

38 Чтобы вычислить факториал, не используя так много операций умножения, придумали формулу Стирлинга. Вот как она выглядит:

39 Изображение: Skillbox MediaВыглядит страшно, но на самом деле она очень полезная. Её используют, когда хотят приблизительно узнать факториал большого числа. Обычным способом это будет сделать сложно даже мощному компьютеру - например, попробуйте посчитать в онлайн-калькуляторе факториал числа 10 024 (спойлер: это может занять несколько часов и даже дней).

40 Онлайн-калькулятор не справился с вычислением такого большого числа, как факториал 10 024Скришнот:<a>"Контрольная работа РУ - калькуляторы онлайн"</a> / Skillbox MediaДавайте попробуем вычислить факториал числа 6 по этой формуле:

41 Изображение: Skillbox MediaЧислоeпримерно равно 2,71, а π - 3,14. Подставляем их в выражение и получаем ответ:

42 Изображение: Skillbox MediaПолучили приближённое значение настоящего факториала, который равен 720. Но можно сделать ответ и более точным. Для этого нужно добавить больше знаков после запятой всем переменным - например, если взять 20 знаков, то ответ будет таким:

43 Изображение: Skillbox MediaЭто уже больше похоже на правду. Хотя погрешность всё равно есть.

44 Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал числа n, основываясь на факториале предыдущего числа - (n - 1). Выглядит она так:

45 Изображение: Skillbox MediaВ целом рекуррентная формула не приносит нам большой пользы, так как всё равно приходится вычислять факториал предыдущего числа. Если он равен какому-то большому числу (например, 100), то использование формулы теряет смысл - слишком уж много вычислений это потребует.

46 Рекуррентная формула основана на главном свойстве факториалов - рекурсии: n! = (n - 1)! × n. Это свойство особенно полезно при решении задач по комбинаторике: так мы можем быстро сокращать факториалы и упрощать выражения.

47 Однако рекуррентная формула хорошо подходит для алгоритмов - в частности, для программирования. Мы можем задать начальное значение: например, что 0! = 1 или 1! = 1, а затем считать следующие факториалы по формуле:

48 Изображение: Skillbox MediaПолучим алгоритм для вычисления факториалов. Не очень эффективный, но простой.

49 Давайте вычислим по этой формуле факториал числа 4. Сначала распишем рекуррентную формулу до базового значения - факториала числа 1:

50 Изображение: Skillbox MediaМожно записать это и в сокращённом виде:

51 Изображение: Skillbox MediaТеперь последовательно подставляем значение факториала, которое мы уже знаем, и вычисляем результат:

52 Изображение: Skillbox MediaПолучили ответ - 24. Ничего сложного, просто перемножаем числа.

53 Кстати, всю эту формулу можно обернуть в реально работающую функцию на языке Python:

54 def factorial(n): # Определяем функцию if n == 0 or n == 1: # Базовый случай return 1 else: # Рекуррентный случай return factorial(n-1) * n # Вызываем эту же функцию, но с меньшим аргументом print(factorial(4)) # Печатаем факториал 4 # Вывод: # 24Можете попробовать запустить её в <a>онлайн-интерпретаторе</a>и посмотреть, как работает. Тут есть один нюанс: Python не даст вам посчитать факториал числа больше 998, так как у него есть ограничение на количество вызовов функции - в программировании это называется глубиной рекурсии.

55 Чтобы быстро находить, чему равен факториал, можно запомнить или сохранить в заметки вот такую табличку. Она рассчитана всего на 12 чисел, но для большинства учебных задач этого хватит.

56 1!12!23!64!245!1206!7207!50408!40 3209!362 88010!3 628 80011!39 916 80012!479 001 600С теорией вроде разобрались - теперь попробуем решить несколько задач с факториалами, чтобы закрепить знания на практике.

57 Задача:перемножить два факториала.

58 Изображение: Skillbox MediaРешение:

59 Сперва нужно вычислить значения факториалов, а затем перемножить полученные значения:

60 Изображение: Skillbox MediaОбратите внимание: во второй строке мы применили рекуррентную формулу, чтобы быстрее вычислить факториал числа 7.

61 Задача:вычесть из одного факториала другой.

62 Изображение: Skillbox MediaРешение:

63 Используем тот же подход, что и в предыдущей задаче: сначала вычисляем факториалы, а затем получаем ответ на всё выражение.

64 Изображение: Skillbox MediaВроде бы ничего сложного, главное - не запутаться в умножении.

65 Задача:умножить один факториал на другой:

66 Изображение: Skillbox MediaРешение:

67 Вычисляем факториалы, потом перемножаем их значения:

68 Изображение: Skillbox MediaВо второй строке мы воспользовались<a>таблицей выше</a>и быстро нашли значение факториала от числа 8.

69 Задача:сократить дробь и вычислить её значение.

70 Изображение: Skillbox MediaРешение:

71 Здесь мы воспользуемся рекуррентной формулой для вычисления факториала и разложим верхний факториал на множители:

72 Изображение: Skillbox MediaВ первой строке мы применили рекуррентную формулу два раза, а во второй - просто сократили одинаковые факториалы в числителе и в знаменателе.

73 Задача:сократить дробь.

74 Изображение: Skillbox MediaРешение:

75 Хотя здесь нет конкретных чисел, но принцип решения остаётся таким же: используем рекуррентную формулу и сокращаем одинаковые значения в числителе и знаменателе.

76 Изображение: Skillbox MediaГлавное - не запутаться и правильно применить рекуррентную формулу.

77 <ul><li>Факториал - это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 будет равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.</li>

78 <li>Его используют во многих областях науки - например, комбинаторике, теории вероятностей и математическом анализе.</li>

79 <li>Помимо стандартной формулы для вычисления факториала можно использовать формулы Стирлинга и рекуррентную формулу.</li>

80 <li>Формула Стирлинга нужна для того, чтобы посчитать факториал без большого числа операций умножения.</li>

81 <li>Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал на основе предыдущего факториала.</li>

82 </ul><a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>