Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>2 июн 2023</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Простыми словами: что такое бином Ньютона</h2>

5 Бином Ньютона - это совсем не rocket science. Смотрим в глаза страху и раскладываем по полочкам знаменитую формулу.

6 Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media

7 Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.

8 Про бином Ньютона часто говорят, что это настолько сложная штука, что по сравнению с ней всё остальное меркнет. Но на самом деле магия бинома - как раз в простоте и скорости. Например, он сильно упрощает вычисления при разработке<a>нейросетей</a>,<a>сетевых протоколов</a>и <a>алгоритмов шифрования</a>.

9 Поэтому, если видите себя в будущем в data science или криптографии, разобраться с биномом Ньютона будет полезно. А если даже и нет - сможете уверенно отвечать друзьям в духе: "Видал я этот ваш бином, там всё проще пареной репы". Тоже какой-никакой, но профит. А теперь к делу.

10 Бином Ньютона - это формула, которая помогает возвести сумму двух чисел в любую степень. Особенно она полезна, если степень большая.

11 Из уроков математики мы помним такую формулу:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Это тоже бином Ньютона, а точнее - его частный случай для разложения на множители квадрата суммы.

12 Выглядит вроде бы просто. Но представьте, сколько нужно совершить операций умножения, чтобы возвести эту же сумму, например, в седьмую степень. В конечной формуле будет аж восемь слагаемых:

13 Изображение: Skillbox MediaЧтобы упростить этот процесс и не тратить столько времени на простые арифметические операции, как раз и придумали бином Ньютона.

14 Сорвём пластырь сразу - вот как выглядит та самая формула бинома Ньютона:

15 Изображение: Skillbox MediaСразу возникает миллион вопросов: что это за странная большая букваЕ? Что такоеC? И что вообще здесь происходит? Сейчас во всём разберёмся.

16 aи b - это два числа, которые мы складываем, а затем хотим возвести в степеньn. Числа в скобках могут быть любыми - хоть положительными, хоть дробными, хоть отрицательными. А вот степень обязательно должна быть натуральным числом, то есть целым, положительным, не равным нулю.

17 Большая буква, похожая на Е, - это на самом деле "сигма", знак алгебраической суммы. Её используют, чтобы сократить длинные операции сложения. Например, такие:

18 Изображение: Skillbox MediaТо же самое выражение, записанное с помощью сигмы:

19 Изображение: Skillbox MediaЗдесь мы добавляем буквуn, которая представляет собой все числа от 1 до 101 по порядку. Под знаком суммы мы указываем, с какого числа начинаем считать, а сверху - на каком заканчиваем. Получается, это выражение просуммирует все числа от 1 до 101 (ответ: 5151).

20 А вот как выглядит формула бинома Ньютона без знака суммы:

21 Изображение: Skillbox MediaПолучили очень много цифр и букв, в которых легко потеряться. Но не забывайте, что это общая формула, а значит, она может быть запутанной.

22 Теперь переходим к более сложным вещам - биномиальным коэффициентам, которые обозначаются буквойC. Они показывают, на какие числа нужно умножить каждое слагаемое в многочлене. Например, в выраженииa2 + 2ab + b2слагаемыми будутa2,abи b2, а их коэффициентами:1,2и 1.

23 Посчитать биномиальные коэффициенты можно с помощью этой формулы:

24 Изображение: Skillbox MediaЗдесьn - это степень, в которую мы возводим сумму двух чисел.k - номер слагаемого в многочлене (считается с нуля). Восклицательный знак - это символ факториала. Факториал - это произведение всех чисел от 1 до числа, стоящего под знаком факториала. Например, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

25 С определениями закончили, теперь давайте попрактикуемся. Если сейчас что-то непонятно, сначала посмотрите примеры, а затем снова возвращайтесь к формуле.

26 Попробуем применить формулу бинома Ньютона к суммеa + b, возведённой в квадрат. Подставляем значения:

27 Изображение: Skillbox MediaТеперь раскроем знак суммы и выпишем все слагаемые, но пока не будем считать биномиальные коэффициенты:

28 Изображение: Skillbox MediaТеперь давайте немного упростим выражение. По свойствам степеней, если число возводится в нулевую степень, то оно равно единице. Поэтомуb0и a0мы можем заменить на единицы:

29 Изображение: Skillbox MediaСо степенями разобрались - теперь считаем биномиальные коэффициенты с помощью формулы:

30 Изображение: Skillbox MediaОсталось посчитать значения факториалов и сократить дроби. Помним, что факториал нуля равен единице, а одинаковые факториалы можно сокращать:

31 Изображение: Skillbox MediaПодставляем коэффициенты в нашу формулу:

32 Изображение: Skillbox MediaПолучаем наше выражение для квадрата суммы. Всё правильно.

33 Таким же способом можно находить слагаемые для степеней и побольше. Давайте для примера посчитаем по формуле бинома Ньютона сумму двух чисел, возведённую в четвёртую степень:

34 Изображение: Skillbox MediaВычислим сразу коэффициенты:

35 Изображение: Skillbox Media? Обратите внимание

36 Значения биномиальных коэффициентов повторяются. Первый равен последнему, а второй - четвёртому. Поэтому можно считать не все коэффициенты, а только половину (ну и ещё один "посередине", если степень многочлена чётная).

37 Сразу подставляем коэффициенты в сумму и считаем степени слагаемых:

38 Изображение: Skillbox MediaПолучаем нужное нам выражение. Можете проверить это выражение, перемножив все множители друг с другом. Если, конечно, вам хватит терпения ?

39 Треугольник Паскаля - это специальный треугольник чисел, который помогает считать биномиальные коэффициенты. Каждое число в нём равно сумме двух чисел, расположенных над ним. На вершине и по рёбрам треугольника расположены единицы.

40 Первые пять строк треугольника Паскаля выглядят так:

41 Изображение: Skillbox MediaФишка этого треугольника в том, что нам не нужно много раз считать факториалы, чтобы найти биномиальные коэффициенты. Всё, что необходимо, - это сложить несколько чисел.

42 Давайте для примера вычислим коэффициенты для суммы чисел, возведённой в пятую степень:

43 Изображение: Skillbox MediaТеперь подставим их в наше выражение - то есть возведём сумму(a + b)в пятую степень. Для этого используем формулу бинома Ньютона:

44 Изображение: Skillbox MediaРаскладываем на слагаемые, но пока не считаем коэффициенты:

45 Изображение: Skillbox MediaЗаменяем по очереди биномиальные коэффициенты на числа из треугольника Паскаля:

46 Изображение: Skillbox MediaПолучаем нужную формулу. Можете проверить и пересчитать коэффициенты классическим способом - с помощью факториалов.

47 Стоит ли говорить, что чаще всего бином Ньютона используют в математике - вот в каких её разделах он незаменим:

48 <ul><li>Теория вероятностей - чтобы вычислять вероятности нескольких независимых событий. Например, вероятности выпадения решки при подбрасывании монеты пять раз подряд.</li>

49 <li>Комбинаторика- чтобы вычислять количество возможных комбинаций и перестановок для объектов.</li>

50 <li>Статистика - чтобы оценивать вероятность успеха или неудачи в случайных экспериментах. Например, мы можем заранее просчитать, какое количество товаров на фабрике будет бракованным.</li>

51 </ul>Но одной математикой всё не ограничивается - вот несколько сфер науки и техники, где бином Ньютона тоже активно используется:

52 <ul><li>Физика и механика- для вычисления вероятностей результатов экспериментов с частицами и для описания поведения частиц при столкновениях.</li>

53 <li>Инженерные науки- для оценки вероятности отказа компонентов в системе.</li>

54 <li>Программирование - для создания алгоритмов сжатия данных, криптографии и решения задач, связанных с комбинаторикой и вероятностями.</li>

55 <li>Биология и генетика- для анализа частоты определённых генотипов или фенотипов в популяциях. А ещё бином Ньютона незаменим при моделировании результатов генетических кроссов и передачи наследственных характеристик.</li>

56 </ul>В общем виде принцип такой: бином Ньютона используют везде, где нужно просчитывать вероятности и комбинации различных предметов и событий.

57 Будем продолжать разбираться с математическими понятиями, которые используют в комбинаторных алгоритмах и программировании. Ранее мы уже успели познакомиться с <a>факториалами</a> - сейчас на подходе большая статья про теорию вероятностей. В общем, оставайтесь на связи :)

58 <a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>