Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>9 янв 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul>Сессия близко! Знакомимся с мощным инструментом для решения диффуров, интегралов и матриц.

5 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

6 Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

7 При решении математических и инженерных задач часто требуется провести аналитические вычисления: найти производную или интеграл, решить систему уравнений или упростить математическое выражение. Сделать это средствами стандартной библиотеки Python довольно тяжело - придётся написать много сложных математических функций.

8 Но зачем, если к проекту можно подключить SymPy? Вот о ней далее и поговорим.

9 Из этой статье вы узнаете:

10 <ul><li><a>что такое SymPy</a>;</li>

11 <li><a>как её установить</a>;</li>

12 <li><a>какие у неё есть функции</a>;</li>

13 <li><a>как в SymPy решать уравнения и системы уравнений</a>;</li>

14 <li><a>что она позволяет делать с матрицами</a>;</li>

15 <li><a>как визуализировать вычисления</a>.</li>

16 </ul><a>SymPy</a> - это бесплатная библиотека для символьных вычислений на языке Python. В символьных вычислениях компьютер работает с уравнениями и выражениями как с последовательностью символов, тогда как в численных оперирует приближёнными числовыми значениями.

17 По сравнению с другими Python-библиотеками для математических вычислений, такими как SageMath и CasADi, у SymPy есть ряд преимуществ.

18 Работа с символьными вычислениями.Как уже было сказано выше, SymPy работает с математическими выражениями и формулами как с последовательностью символов, а не чисел. Это повышает точность математических операций и позволяет сформулировать результаты вычислений в аналитическом виде (с помощью формул, системы выражений и так далее).

19 Поддержка различных разделов математики: геометрии, тригонометрии, логики и других. В SymPy есть функции для алгебраического упрощения выражений, решения уравнений, дифференцирования, интегрирования, манипуляции с полиномами и матрицами и многое другое.

20 Лёгкая интеграция с другими библиотеками Python, такими как<a>NumPy</a>и <a>Matplotlib</a>.Вы можете комбинировать символьные вычисления с численными и визуализировать их без предварительной настройки.

21 Перед тем как начать работу с библиотекой,<a>установите Python на компьютер</a>. Затем откройте терминал или командную строку и установите SymPy с помощью pip:

22 pip install sympyПодождите, пока процесс завершится. Откройте редактор кода или IDE и проверьте установку:

23 import sympy print(sympy.__version__)Если видите на экране номер версии SymPy, значит, библиотека установлена правильно.

24 Если работаете в среде Anaconda, то для установки библиотеки введите в командной строке следующее:

25 conda install -c anaconda sympyВсе функции библиотеки подробно описаны в <a>документации</a>. Мы же пройдёмся по самым часто используемым.

26 Символьные переменныесоздаются с помощью функции symbols():

27 from sympy import symbols # Создаём символьные переменные x, y, z x, y, z = symbols('x y z')Аргумент функции - строка с символами, которые станут именами переменных в выражении. В нашем примере x, y, z - это символьные переменные. Обратите внимание: их имена задаются одной строкой через пробел.

28 Символьныевыражениясоздаются путём комбинирования символьных переменных и арифметических операций:

29 from sympy import symbols # Определение символьных переменных x, y, z = symbols('x y z') # Создание символьного выражения expr = x**2 + 2 * y - zЭтот код создаёт символьные переменные x, y, z и содержащее их символьное выражение expr. Теперь expr можно упрощать, дифференцировать, интегрировать и далее по списку.

30 Внимание!Здесь и далее символы ** означают операцию возведения в степень.

31 Арифметические операции.Библиотека SymPy поддерживает основные арифметические операции с символьными выражениями:

32 from sympy import symbols x, y, z = symbols('x y z') # Сложение expr_sum = x + y + z # Вычитание expr_diff = x - y # Умножение expr_mul = x * y # Деление expr_div = x / y # Возведение в степень expr_power = x**2 # Комбинированные операции expr_combined = (x + y)**2 / (z - 1)Математические константыиспользуются в символьных выражениях для упрощения записи. Разберём несколько из них.

33 Пи (π) - отношение длины окружности к её диаметру:

34 from sympy import pi, symbols # Создание символьной переменной x = symbols('x') # Использование константы π expr_pi = pi * xБесконечность (∞)обозначается двумя символами - oo:

35 from sympy import oo, symbols # Создание символьной переменной x = symbols('x') # Использование бесконечности expr_infinity = x / ooПодстановка.С помощью subs() можно подставлять числа в символьные переменные, чтобы получить значение выражений в конкретных точках:

36 from sympy import symbols # Создание символьных переменных x, y, z = symbols('x y z') # Создание символьного выражения expr = x + y**2 - z # Подстановка значений result = expr.subs({x: 2, y: 3, z: 1}) print(result) # 10В этом примере команда expr.subs({x: 2, y: 3, z: 1}) заменяет x на 2, y на 3 и z на 1 в выражении expr.

37 Функцию subs() также можно использовать для подстановки символьных выражений:

38 from sympy import symbols, sin, pi x, y = symbols('x y') expr = x + sin(y) # Подстановка символьного выражения pi/2 result = expr.subs({x: 2, y: pi/2}) print(result) # 3Здесь expr.subs({x: 2, y: pi/2}) заменит x на 2, y - на символьное выражение π/2.

39 SymPy предоставляет множество функций для работы с математическими выражениями: упрощение, раскрытие скобок, факторизация, сокращение дробей и так далее. Рассмотрим некоторые из них подробнее.

40 Упрощение.Пригодится, когда нужно представить выражение в более удобоваримой форме. Для этого есть функции: simplify, expand, collect и factor.

41 simplify() анализирует выражение на предмет вызова функций, квадратных корней, радикалов и степеней и инициализирует подходящие процедуры упрощения:

42 from sympy import symbols, simplify, sin, cos x = symbols('x') expr = sin(x)**2 + cos(x)**2 # Тождество Пифагора, равное 1 при любом x simplified_expr = simplify(expr) print(simplified_expr) # 1В этом примере simplify() упрощает выражение sin(x)**2 + cos(x)**2 с помощью тождества Пифагора. Обратите внимание, что не мы задаём вариант упрощения - он определяется автоматически.

43 Функция expand() раскрывает скобки:

44 from sympy import symbols, expand, factor x, y = symbols('x y') expr = (x + y)**3 expanded_expr = expand(expr) print(expr, '=', expanded_expr)В этом примере мы раскрыли куб выражения (x + y).

45 Вот какой результат вернул компьютер:

46 (x + y)**3 = x**3 + 3*x**2*y + 3*x*y**2 + y**3Функция collect() группирует переменные в выражениях:

47 from sympy import symbols, collect x, y = symbols('x y') expr = x*y + x**2 + y + x*y**2 collected_expr = collect(expr, x) print(expr, '=', collected_expr)Здесь collect() группирует слагаемые в выражении x*y + x**2 + y + x*y**2 по степеням переменной x.

48 Результат выполнения кода:

49 x**2 + x*y**2 + x*y + y = x**2 + x*(y**2 + y) + yfactor() представляет выражение в виде произведения множителей (факторизует его):

50 from sympy import symbols, factor x, y = symbols('x y') expr = x**3 + 3 * x**2 * y + 3 * x * y**2 + y**3 factored_expr = factor(expr) print(expr, '=', factored_expr)Результат:

51 x**3 + 3*x**2*y + 3*x*y**2 + y**3 = (x + y)**3Все эти методы можно и нужно комбинировать, чтобы получить необходимый результат.

52 В SymPy можно решать уравнения с символьными переменными и их системы - с помощью функций Eq() и solve().

53 Допустим, мы хотим решить уравнение x**2 + y**2 = 1. Чтобы составить его, нам понадобится функция Eq():

54 from sympy import symbols, Eq, solve # Создание символьных переменных x, y = symbols('x y') # Создание уравнения equation = Eq(x**2 + y**2, 1)Решить полученное уравнение можно с помощью функции solve():

55 # Решение уравнения solution = solve(equation, y) print(solution)Код вернёт два решения квадратного уравнения в виде списка:

56 [-sqrt(1 - x**2), sqrt(1 - x**2)]Добавим в нашу программу ещё одну символьную переменную (z) и построим систему уравнений:

57 Изображение: Skillbox MediaДелается это с помощью той же функции Eq():

58 from sympy import symbols, Eq, solve # Создание символьных переменных x, y = symbols('x y') # Создание уравнения equation = Eq(x**2 + y**2, 1) # Создание ещё одной символьной переменной z = symbols('z') # Создание системы уравнений system_of_equations = [Eq(x + y + z, 1), Eq(x - y - z, 0), Eq(x**2 + y**2 - z, 1)]Теперь решим её с помощью уже знакомой функции solve():

59 # Решение системы уравнений solutions = solve(system_of_equations, (x, y, z)) print(solutions)Программа вернёт значения переменных x, y, z, при которых выполняется система уравнений:

60 [(1/2, -1/2 + sqrt(6)/2, 1 - sqrt(6)/2), (1/2, -sqrt(6)/2 - 1/2, 1 + sqrt(6)/2)]С SymPy можно решать даже диффуры. Для этого в ней есть функция dsolve().

61 Давайте познакомимся с её работой на примере уравнения y’ = x**2 - y с начальным условием y(0) = 1:

62 from sympy import symbols, Function, dsolve, Eq # Создание символов и функции x = symbols('x') y = Function('y') # Определение дифференциального уравнения diff_eq = Eq(y(x).diff(x), x**2 - y(x)) # Решение уравнения solution = dsolve(diff_eq, y(x), ics={y(0): 1}) print(solution)На экране увидим результат - символьное выражение:

63 Eq(y(x), x**2 - 2*x + 2 - exp(-x))Есть в SymPy и инструменты линейной алгебры. Например, для создания матриц, сложения, вычитания и прочих действий с ними используют класс Matrix.

64 Для этого создайте объект Matrix, передав в него символы для заполнения матрицы:

65 from sympy import Matrix, symbols # Создание символов a, b, c, d = symbols('a b c d') # Создание матрицы 2x2 matrix_2x2 = Matrix([[a, b], [c, d]]) print("Матрица 2x2:") print(matrix_2x2)Результат работы кода - матрица 2×2:

66 Матрица 2x2: Matrix([[a, b], [c, d]])Арифметические операции над матрицами в SymPy можно производить так же, как и над обычными числами, - используя арифметические операторы +, - и *:

67 from sympy import Matrix, symbols # Создание символов a, b, c, d = symbols('a b c d') # Создание первой матрицы matrix_2x2 = Matrix([[a, b], [c, d]]) # Создание второй матрицы matrix_2x2_2 = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) # Сложение матриц sum_matrix = matrix_2x2 + matrix_2x2_2 # Вычитание матриц diff_matrix = matrix_2x2 - matrix_2x2_2 print("Сумма матриц:") print(sum_matrix) print("\nРазность матриц:") print(diff_matrix)Вот что выведет программа:

68 Сумма матриц: Matrix([[a + 1, b + 2], [c + 3, d + 4]]) Разность матриц: Matrix([[a - 1, b - 2], [c - 3, d - 4]])Продолжим наш код:

69 # Умножение матриц product_matrix = matrix_2x2 * matrix_2x2_2 print("Произведение матриц:") print(product_matrix)Результат выполнения:

70 Произведение матриц: Matrix([[a + 3*b, 2*a + 4*b], [c + 3*d, 2*c + 4*d]])Результаты вычислений, полученных с помощью SymPy, можно визуализировать в виде графиков. Однако сама библиотека подходит для этого плохо, так как ориентирована именно на проведение символьных вычислений. Для визуализации результатов обычно используют другие библиотеки, например Matplotlib.

71 Построим график функции sin(x)/x.

72 import sympy as sp import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Создание символьной переменной x = sp.symbols('x') # Определение функции с использованием SymPy y_expr = sp.sin(x) / x # Преобразование в функцию, пригодную для использования с библиотекой Matplotlib y_func = sp.lambdify(x, y_expr, 'numpy') # Генерация значений x от -10 до 10 x_values = np.linspace(-10, 10, 400) # Вычисление соответствующих значений y y_values = y_func(x_values) # Построение графика с использованием Matplotlib plt.plot(x_values, y_values, label=r'$\frac{\sin(x)}{x}$') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('График функции $y = \\frac{\\sin(x)}{x}$') plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.grid(color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5) plt.legend() plt.show()В этом примере с использованием SymPy создаётся символьная переменная x и определяется функция y = sin(x)/x. Перед тем как построить график с помощью Matplotlib, функцию нужно привести к виду, понятному для библиотеки. Мы сделали это с помощью метода lambdify.

73 Получили такой график:

74 Изображение: Skillbox MediaВсё получилось. График функции соответствует математическим ожиданиям.

75 Подведём итоги и вспомним, что сегодня узнали:

76 <ul><li>Библиотека SymPy используется для символьных вычислений, где формулы - это не только инструменты решения конкретных задач, но также объекты анализа математических структур.</li>

77 <li>В SymPy можно работать с символами и переменными, строить выражения, не привязанные к конкретным числам. Это полезно при работе с матрицами, решении уравнений и выполнении математических преобразований.</li>

78 <li>Библиотека предоставляет средства для символьного дифференцирования и интегрирования: можно находить производные и интегралы сложных функций, решать дифференциальные уравнения. Это важно при решении физических, инженерных, финансовых и других задач.</li>

79 <li>Чтобы визуализировать результаты численных и символьных вычислений, используйте SymPy совместно с библиотеками для построения графиков - Matplotlib, Seaborn и другими.</li>

80 </ul>Python для всех

81 Вы освоите Python на практике и создадите проекты для портфолио - телеграм-бот, веб-парсер и сайт с нуля. А ещё получите готовый план выхода на удалёнку и фриланс. Спикер - руководитель отдела разработки в "Сбере".

82 <a>Пройти бесплатно</a>

83 <a>Бесплатный курс по разработке на Python ➞Пройдите бесплатный курс по Python и создайте с нуля телеграм-бот, веб-парсер и сайт. Спикер - руководитель отдела разработки в "Сбере". Пройти курс</a>