Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>9 апр 2025</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Возрастание и убывание функции: как понять и простить найти</h2>

5 Определяем интервалы, экстремумы и разбираемся в графиках.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Пишет о сетях, инструментах для разработчиков и языках программирования. Любит готовить, играть в инди‑игры и программировать на Python.

8 Функции - это математический инструмент для описания изменяющихся величин в реальном мире. Температура воздуха, курс валют, скорость интернета - всё это можно выразить с помощью функции. Она может плавно расти, резко падать или несколько раз менять направление.

9 Чтобы работать с такими процессами, нужно научиться анализировать поведение функции: понимать, где она растёт, где убывает и в каких точках достигает крайних значений. Давайте выясним, как это сделать.

10 Содержание

11 <ul><li><a>Что такое функция</a></li>

12 <li><a>Возрастание и убывание функции</a></li>

13 <li><a>Условия возрастания и убывания функции</a></li>

14 <li><a>Экстремумы функции: максимумы и минимумы</a></li>

15 <li><a>Определение промежутков монотонности функции</a></li>

16 </ul>Функция - это правило, которое устанавливает зависимость одной величины от другой. Например, чем сильнее огонь под кастрюлей, тем быстрее закипит вода. В этом случае температура нагрева (независимая переменная) определяет время закипания воды (зависимая переменная).

17 В математике независимую величину обычно обозначают буквой x, а зависимую - буквой y. Запишем эту зависимость с помощью формулы:

18 В этой формуле:

19 <ul><li>f - название функции;</li>

20 <li>x - значение, которое мы подаём на вход функции;</li>

21 <li>y - результат, который функция возвращает после вычисления.</li>

22 </ul>Рассмотрим простой пример<a>линейной функции</a>на основе расчёта зарплаты. Предположим, менеджер по продажам получает базовую ставку 30 000 рублей. Кроме того, за каждую сделку он получает ещё по 5000 рублей. Такую систему можно описать как функцию: зарплата зависит от количества сделок - чем больше сделок, тем выше зарплата. Здесь зарплата - это зависимая переменная, а количество сделок - независимая: S(x) = 30 000 + 5000x. Разберём каждый элемент:

23 <ul><li>S(x) - размер зарплаты, где S означает salary (зарплата), а x - количество сделок;</li>

24 <li>30 000 - базовая ставка в рублях, которую менеджер получает независимо от количества сделок;</li>

25 <li>5000x - бонусная часть, где 5000 - плата за одну сделку, а x - количество сделок.</li>

26 </ul>Если менеджер заключил три сделки за месяц, то его зарплата составит: S(3) = 30 000 + 5000 × 3 = 45 000 рублей.

27 - Функцию можно представить не только с помощью формул, но и с помощью таблиц, графиков, текстового описания, диаграмм и программного кода. Выбор способа представления зависит от конкретной задачи: формулы удобны для вычислений, таблицы наглядно отображают конкретные значения, а графики позволяют увидеть общую картину зависимости.

27 + Функцию можно представить не только с помощью формул, но и с помощью таблиц, графиков, текстового описания, диаграмм и программного кода. Выбор способа представления зависит от конкретной зад��чи: формулы удобны для вычислений, таблицы наглядно отображают конкретные значения, а графики позволяют увидеть общую картину зависимости.

28 Представим нашу функцию зарплаты менеджера в табличном виде:

29 Количество сделок (x)Зарплата S(x) в рубляхРасчёт030 00030 000 + 5000 × 0135 00030 000 + 5000 × 1240 00030 000 + 5000 × 2345 00030 000 + 5000 × 3450 00030 000 + 5000 × 4Как видно из таблицы, при увеличении количества сделок на один зарплата увеличивается на 5000 рублей: это наглядно демонстрирует линейную зависимость между количеством сделок и размером зарплаты.

30 Ниже представлен график этой же функции. На нём мы можем наглядно увидеть зависимость зарплаты от количества сделок: по горизонтальной оси x отмечено количество сделок (независимая переменная), а по вертикальной оси y - размер зарплаты в рублях (зависимая переменная).

31 Линейная функция - это функция, график которой представляет собой прямую линию. В примере с зарплатой каждая дополнительная сделка прибавляет одну и ту же сумму - 5000 рублей. Именно эта постоянная прибавка и создаёт прямую линию на графикеИзображение: Google Colab / Skillbox MediaДля практики<a>сделайте копию файла functions.ipynb</a>и откройте его в Google Colab - в нём собраны примеры функций из этой статьи. Вы можете менять различные параметры и сразу видеть, как это влияет на график.

32 Например, попробуйте в линейной функции зарплаты изменить базовую ставку с 30 000 на 40 000 рублей или увеличить бонус за сделку с 5000 до 7000 рублей - и посмотрите, как изменится прямая на графике.

33 Функция может вести себя по-разному: на одних участках она возрастает, на других - убывает, а где-то остаётся неизменной. Это можно сравнить с изменением температуры в летний день: утром она плавно повышается, днём сохраняется примерно на одном уровне, а к вечеру понижается.

34 Чтобы определить характер поведения функции, нам нужно взять любые две точки на графике - назовём их x₁ и x₂. При этом точка x₁ должна быть левее x₂ (x₁ < x₂). Когда мы сравним значения функции f(x) в этих точках, то сможем понять, как ведёт себя функция. Возможные варианты:

35 <ul><li>Если значения увеличиваются, то функция возрастает: f(x₁) < f (x₂) при x₁ < x₂. Например, если f(1) = 2, а f(2) = 5, то 2 < 5.</li>

36 <li>Если значения уменьшаются - функция убывает: f(x₁) > f(x₂) при x₁ < x₂. Пример убывающей функции: если f(1) = 7, а f(2) = 4, то 7 > 4.</li>

37 <li>Если значения неизменны - функция сохраняет постоянное значение: f(x₁) = f(x₂) при x₁ < x₂. Пример: f(1) = 3, f(2) = 3.</li>

38 </ul>Чтобы наглядно увидеть, как функция изменяет своё поведение на разных участках, рассмотрим f(x) = x². На интервале от минус бесконечности до нуля (-∞, 0) функция убывает, в точке x = 0 достигает минимума, а на интервале от нуля до плюс бесконечности (0, +∞) возрастает. В результате на графике получается знакомая со школы кривая - парабола.

39 График f(x) = x² - это симметричная кривая (парабола) с вершиной в начале координат. Она показывает переход от убывания к возрастаниюИзображение: Google Colab / Skillbox MediaВ этом разделе мы рассмотрели, как визуально определять участки возрастания и убывания функции по её графику. Далее мы познакомимся с более точным методом анализа - с помощью производной функции.

40 Производная функции - это скорость её изменения в каждой точке. Подобно спидометру в движущемся автомобиле, она показывает, как быстро и в каком направлении (вверх или вниз) меняется значение функции в конкретный момент. Поэтому по знаку производной можно определить, как ведёт себя функция: возрастает, убывает или остаётся постоянной. Это называется достаточным условием монотонности.

41 Производная положительна:f'(x) > 0. В этом случае функция строго возрастает на всём промежутке - каждое следующее значение больше предыдущего. Возьмём, например, линейную функцию f(x) = 2x + 1. Её производная равна f'(x) = 2, то есть функция растёт с постоянной скоростью. Поэтому она возрастает при любых значениях x:

42 Изображение: Google Colab / Skillbox MediaПроизводная отрицательна:f'(x) < 0. Когда производная меньше нуля, функция убывает - то есть её значения последовательно уменьшаются. Например, возьмём функцию f(x) = -3x + 10. Её производная f'(x) = -3 остаётся отрицательной при любом x:

43 Изображение: Google Colab / Skillbox MediaПроизводная равна нулю:f'(x) = 0. Если производная равна нулю на всём промежутке, функция остаётся постоянной и не меняет значения. Это хорошо видно на функции f(x) = 5. Её производная f'(x) = 0 при любом x, поэтому график выглядит как горизонтальная прямая:

44 Изображение: Google Colab / Skillbox MediaВажно отметить, что не все функции ведут себя одинаково (монотонно) на всей области определения. Некоторые из них могут менять характер поведения: возрастать на одних интервалах, а убывать на других. Это похоже на движение по холмистой местности - с чередующимися подъёмами и спусками. Такие функции называются немонотонными.

45 Рассмотрим поведение немонотонной функции f(x) = sin(x):

46 <ul><li>она возрастает на (-π, 0), (0, π), (2π, 3π) и так далее - во всех промежутках, где её производная f'(x) = cos(x) положительна;</li>

47 <li>убывает на (0, π), (π, 2π) и других интервалах, где cos(x) принимает отрицательные значения;</li>

48 <li>достигает максимумов и минимумов в точках, где f'(x) = 0.</li>

49 </ul>Производная функции f(x) = sin(x) периодически меняет знак - с положительного на отрицательный и обратно. В результате образуется волнообразный график, где функция поочерёдно возрастает и убывает:

50 Изображение: Google Colab / Skillbox MediaТочка экстремума - это точка на графике функции, в которой меняется направление её движения: с возрастания на убывание или наоборот. В такой точке производная либо равна нулю (если существует), либо не существует вовсе - например, при разрыве или изломе графика.

51 Есть два типа точек экстремума: точки максимума и минимума. Чтобы их определить, нужно выполнить следующие действия:

52 <ul><li>сначала найти производную функции;</li>

53 <li>определить, где производная равна нулю или не существует;</li>

54 <li>после проверить, меняется ли знак производной в этих точках, - именно смена знака укажет на наличие максимума или минимума.</li>

55 </ul>Давайте потренируемся на примере функции f(x) = x³ - 3x² + 2.

56 Вычисляем производную.Поскольку производная суммы равна сумме производных, поэтому мы будем считать по частям:

57 <ul><li>производная от x³ - это 3x²;</li>

58 <li>производная от -3x² - это -6x;</li>

59 <li>производная от константы 2 - это 0.</li>

60 </ul>Складываем полученные выражения: f'(x) = 3x² - 6x .

61 Вынесем общий множитель за скобки, чтобы дальше нам было проще находить нули производной: f'(x) = 3x (x - 2) .

62 Находим критические точки.Производная обращается в ноль, когда выражение 3x(x - 2) равно нулю. То есть нам нужно найти такие значения x, при которых это произведение станет равным нулю: 3x(x - 2) = 0 .

63 В этом выражении есть три множителя: 3, x и (x - 2). Числовой коэффициент 3 можно не учитывать, поскольку он не влияет на результат: произведение равно нулю только в том случае, если хотя бы один из множителей (x или x - 2) равен нулю. Давайте это проверим:

64 <ul><li>x = 0 → первый множитель равен нулю;</li>

65 <li>x - 2 = 0 → отсюда находим x = 2.</li>

66 </ul>Получается, производная равна нулю в двух точках: x = 0 и x = 2.

67 Проверяем изменение знака производной.Теперь определим, как меняется знак производной при переходе через каждую критическую точку, - это поможет установить характер экстремума (максимум или минимум). Для проверки выберем значения x немного меньше и немного больше каждой точки и подставим их в выражение производной:

68 <ul><li>если производная меняется с плюса на минус - это означает, что функция сначала возрастала, а затем начала убывать → максимум;</li>

69 <li>если производная меняется с минуса на плюс - функция сначала убывала, а потом начала возрастать → минимум.</li>

70 </ul>Давайте возьмём значения x, которые чуть меньше и чуть больше найденных точек, и подставим их в производную f'(x) = 3x(x - 2).

71 Начнём с точки x = 0 и выберем для неё значения -1 и 1:

72 <ul><li>подставим x = -1 → f'(-1) = 3 × (-1) × (-1 - 2) = 9;</li>

73 <li>подставим x = 1 → f'(1) = 3 × 1 × (1 - 2) = -3.</li>

74 </ul>Производная меняет знак с положительного (9) на отрицательный (-3). Это значит, что в точке x = 0 функция достигает локального максимума.

75 Перейдём к точке x = 2 и возьмём значения 1 и 3:

76 <ul><li>подставим x = 1 → f'(1) = 3 × 1(1 - 2) = -3;</li>

77 <li>подставим x = 3 → f'(3) = 3 × 3(3 - 2) = 9.</li>

78 </ul>Производная меняет знак с отрицательного (-3)на положительный (9). То есть в точке x = 2 функция достигает своего минимума.

79 График функции f(x) = x³ - 3x² + 2. В точке x = 0 функция достигает максимума, равного f(0) = 2, а в точке x = 2 - минимума, f(2) = -2. На графике эти точки отмечены координатами (0, 2) и (2, -2)Изображение: Google Colab / Skillbox MediaВ предыдущем разделе мы определили точки экстремума (максимума и минимума) и проанализировали поведение функции слева и справа от этих точек. Теперь объединим эти результаты и найдём промежутки монотонности - интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

80 Рассмотрим уже знакомую нам функцию f(x) = x³ - 3x² + 2:

81 <ul><li>производная: f'(x) = 3x(x - 2);</li>

82 <li>критические точки: x = 0 и x = 2;</li>

83 <li>изменение функции на интервалах:</li>

84 </ul><ul><li>(-∞, 0) - функция возрастает, поскольку производная положительна;</li>

85 <li>(0, 2) - функция убывает, производная отрицательна;</li>

86 <li>(2, +∞) - функция снова возрастает.</li>

87 </ul>Наш анализ показывает, что функция возрастает на двух интервалах: (-∞, 0) и (2, +∞), в то время как на интервале (0, 2) функция убывает. Это подтверждается знаком производной на каждом из этих промежутков:

88 Изображение: Google Colab / Skillbox Media📌 Для закрепления материала попробуйте самостоятельно найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x⁴ - 4x². Начните с нахождения производной, затем определите критические точки и проанализируйте знак производной на каждом интервале.

89 <a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>