Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>15 ноя 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Производные для чайников: учимся измерять скорость изменения функции</h2>

5 Погружаемся в основы дифференциального исчисления.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

8 При создании игр разработчики используют дифференциальное исчисление для моделирования движения персонажей. Например, когда персонаж прыгает или бросает предмет, оно помогает рассчитать траекторию с учётом скорости, ускорения и других факторов. Это позволяет создать реалистичную физику и более естественное поведение объектов.

9 Дифференциальное исчисление - это<a>раздел математического анализа</a>, который изучает скорость изменения функций и их производные. Такое исчисление широко используется в физике, экономике, инженерии и других областях для моделирования и анализа динамических процессов.

10 Одной из ключевых концепций дифференциального исчисления являются производные функции. Из этой статьи вы узнаете, что они собой представляют, какой у них смысл и как их правильно вычислять.

11 Содержание

12 <ul><li><a>Что такое производная</a></li>

13 <li><a>В чём смысл производной</a></li>

14 <li><a>Таблица производных функции</a></li>

15 <li><a>Как найти значение производной</a></li>

16 </ul>Чтобы понять тему производной функции, давайте сначала вспомним понятие функции. Представьте, как вы катаетесь на велосипеде: разгоняетесь, тормозите и едете с постоянной скоростью. Скорость велосипеда меняется с течением времени - это и есть пример функции времени.

17 Функция - это математическое правило, которое принимает на вход число (аргумент) и возвращает определённый результат. В нашем примере результатом будет скорость велосипеда, а аргументом - время движения.

18 Если представить зависимость скорости от времени в виде формулы, она примет следующий вид: V = f(t). Распишем значения этой формулы:

19 <ul><li>Скорость велосипеда (V)- зависимая переменная, которая изменяется с течением времени. Например, в начале поездки она может быть 0 км/ч, через 5 минут - 20 км/ч, а через 10 минут - 30 км/ч.</li>

20 <li>Время (t)- независимая переменная, которую мы задаём самостоятельно. Она служит аргументом функции.</li>

21 <li>Функцияf(t)описывает зависимость скорости от времени. Например, f(t) = 3t + 2. Эта функция означает, что каждую минуту скорость увеличивается на 3 км/ч, начиная с 2 км/ч в момент старта. Получается, через 5 минут скорость будет равна 3 × 5 + 2 = 17 км/ч.</li>

22 </ul>Построим график изменения скорости велосипеда в двумерной системе координат X и Y. По горизонтальной оси X будем откладывать время движения, а по вертикальной оси Y - скорость велосипеда:

23 График изменения скорости велосипеда во времениИнфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaМы вспомнили понятие функции, и теперь давайте рассмотрим изменение скорости велосипеда в разные промежутки времени. Для этого разберём два понятия: приращение аргумента и приращение функции.

24 Отметим на графике точки A и B, опустим из них перпендикуляры на оси X и Y. Точки пересечения этих перпендикуляров с осями будут координатами точек A и B. Пусть точка A имеет координаты (x₁, y₁), а точка B - (x₂, y₂):

25 График функции с отмеченными точками A (x₁, y₁) и B (x₂, y₂), а также их проекциями на оси координатИнфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaНа графике в момент времени x₁ скорость велосипеда равна y₁, а в момент времени x₂ она становится равной y₂. За промежуток времени Δx = x₂ - x₁ скорость изменяется на следующую величину Δy = y₂ - y₁.

26 Разность между двумя значениями аргумента называетсяприращением аргумента. В нашем случае это изменение времени между двумя точками измерения скорости: если мы измеряем скорость в начале движения и через 5 минут, приращение аргумента составит 5 минут. В системе координат XY оно обозначается как Δx, где Δ (дельта) - символ приращения.

27 - С изменением аргумента изменяется и сама функция. Это изменение называетсяприращением функции. В нашем примере это изменение скорости между двумя точками измерения. Например, если скорость в начале движения была 0 км/ч, а через 5 минут стала 20 км/ч, приращение функции составит 20 км/ч. В системе координат XY оно обозначается как Δy.

27 + С изменением аргумента изменяется и сама функция. Это изменение называетсяприращением функции. В нашем примере это изменение скорости между двумя точками измерения. Например, если скорость в начале движения была 0 км/ч, а через 5 минут стала 20 км/ч, приращение функци�� составит 20 км/ч. В системе координат XY оно обозначается как Δy.

28 Для функции y = f(x) приращение будет равно Δy = f(x + Δx) - f(x):

29 <ul><li>f(x) - значение функции в исходной точке;</li>

30 <li>f(x + Δx) - значение функции в точке, смещённой на Δx;</li>

31 <li>Δx - приращение аргумента;</li>

32 <li>Δy - приращение функции.</li>

33 </ul>Приращение аргумента и приращение функции позволяют определить скорость изменения функции. Это помогает понять динамику движения велосипеда в любой момент времени. Если скорость изменения функции положительная - велосипед ускоряется, если отрицательная - замедляется, а если равна нулю - движется с постоянной скоростью.

34 Скорость изменения функции относительно изменения её аргумента вычисляется как отношение приращения функции к приращению аргумента. Точность этого значения увеличивается при уменьшении приращения аргумента. Для наиболее точного результата необходимо рассматривать это отношение при малых изменениях аргумента.

35 Представьте, что нам нужно узнать скорость велосипеда в конкретный момент, а не среднюю скорость за некоторый промежуток времени. Для этого нужно рассмотреть такой короткий интервал времени, что он почти сводится к точке. В математике это выражается через понятие<a>предела</a>. Вот именно здесь мы и сталкиваемся с понятием производной функции.

36 Производная - это предельное значение скорости изменения функции при стремлении изменения аргумента к нулю. То есть это мгновенная скорость изменения функции в заданной точке. Вот формула производной:

37 Элементы формулы:

38 <ul><li>f'(x) - производная функции f в точке x;</li>

39 <li>lim - предел выражения при стремлении Δx к нулю;</li>

40 <li>Δx - приращение аргумента;</li>

41 <li>f(x + Δx) - значение функции в точке x + Δx;</li>

42 <li>f(x) - значение функции в точке x.</li>

43 </ul>В примере с велосипедом производная функции скорости по времени показывает мгновенное ускорение. Это значение позволяет:

44 <ul><li>Определять, как быстро изменяется скорость велосипеда в любой момент времени.</li>

45 <li>Понять, когда велосипедист ускоряется, замедляется или движется с постоянной скоростью.</li>

46 <li>Рассчитать время для достижения определённой скорости.</li>

47 <li>Оптимизировать маршрут, учитывая изменение скорости на разных участках пути.</li>

48 </ul>В следующем разделе мы ещё обсудим предназначение производной, когда на примерах будем рассматривать её физический смысл.

49 Геометрический и физический смысл производной - это два различных подхода, позволяющие понять значение этого математического понятия.

50 Геометрический смысл производнойможно понять через график функции. Рассмотрим график y = f(x). Отметим на нём точки A (x₁, y₁) и B (x₂, y₂), а затем проведём из них перпендикуляры к осям X и Y. Если теперь мы соединим точки A и B, то образуем прямоугольный треугольник ABC.

51 В этом треугольнике отношение приращения функции Δy к приращению аргумента Δx равно<a>тангенсу угла</a>ABC, который образован секущей линией AB и положительным направлением оси X. Если мы начнём сближать точки x₁ и x₂, расстояние между ними (Δx) также будет уменьшаться, пока секущая постепенно не превратится в касательную - прямую, соприкасающуюся с графиком функции в одной точке.

52 Эта касательная и определяет значение производной в данной точке. Поэтому геометрический смысл производной можно сформулировать так: значение производной функции в точке x₀ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

53 Геометрический смысл производной: касательная к графику функции в конкретной точке отражает значение производной в этой точкеИнфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaРассмотрим, как меняется производная для различных типов функций, чтобы лучше понять, как она отражает поведение функции на графике. Разберём три основных случая: возрастающую функцию, убывающую функцию и функцию в точке экстремума.

54 Производная возрастающей функции.У возрастающей функции значения y увеличиваются с увеличением x. Производная такой функции всегда положительна: f′(x) > 0. Это означает, что у касательной к графику функции положительный наклон, а график функции направлен вверх.

55 Производная убывающей функции.У убывающей функции значения y уменьшаются с увеличением x. Производная убывающей функции всегда отрицательна: f′(x) < 0. В этом случае наклон касательной отрицательный, а график функции направлен вниз.

56 Производная в точке экстремума.Экстремум - это точка, в которой функция достигает локального максимума или минимума. В этой точке производная функции равна нулю: f′(x) = 0. Это означает следующее:

57 <ul><li>В точке локального максимума функция меняет направление с возрастающей на убывающую.</li>

58 <li>В точке локального минимума функция меняет направление с убывающей на возрастающую.</li>

59 </ul>Анализ производной функции помогает понять её поведение. Представьте, что вы едете на велосипеде по холмистой местности. График вашего пути можно интерпретировать как функцию, где ось X - это пройденное расстояние, а ось Y - высота над уровнем моря.

60 Рассмотрим производную на разных участках пути:

61 <ul><li>Когда вы поднимаетесь в гору, производная положительна - функция возрастает.</li>

62 <li>Когда вы спускаетесь с горы, производная отрицательна - функция убывает.</li>

63 <li>На вершине холма или в низине долины производная равна нулю - это точки экстремума.</li>

64 </ul>Значение производной в каждой точке отображает крутизну подъёма или спуска. И чем больше абсолютное значение производной, тем круче склон.

65 Теперь рассмотримфизический смысл производной - её интерпретацию в контексте реальных процессов и явлений. Производная позволяет точно описать, как быстро изменяется одна физическая величина относительно другой во времени или в зависимости от иных параметров.

66 Вот несколько примеров:

67 <ul><li>Сила тока - производная электрического заряда по времени. Она характеризует скорость прохождения заряда через проводник: чем быстрее проходит заряд, тем больше сила тока.</li>

68 <li>Скорость нагрева или охлаждения тела - это производная температуры по времени. Она отражает интенсивность изменения температуры объекта: чем быстрее меняется температура, тем выше скорость нагрева или охлаждения.</li>

69 <li>Предельная прибыль в экономике - производная общей прибыли по объёму производства. Она показывает, как изменяется общая прибыль при изменении объёма производства: чем выше предельная прибыль, тем выгоднее наращивать производство.</li>

70 <li>Темп роста популяции- производная численности популяции по времени. Она показывает, как быстро изменяется количество особей в популяции: положительное значение указывает на рост, отрицательное - на сокращение численности.</li>

71 <li>Скорость передачи данных- это производная объёма переданной информации по времени. Она определяет, как быстро передаётся информация: чем выше скорость, тем больший объём данных передаётся за единицу времени.</li>

72 </ul>Производные для многих математических функций уже вычислены и собраны в таблице. Разберёмся, что это за таблица и как её использовать.

73 <a>Таблица производных</a> - это справочный инструмент, содержащий производные основных математических функций:<a>степенных</a>,<a>тригонометрических</a>,<a>показательных</a>и <a>логарифмических</a>. Она помогает сэкономить время при решении задач на дифференцирование и позволяет быстро проверять правильность уже вычисленных значений.

74 В левом столбце таблицы находится исходная функция, а в правом - её производная. Для примера возьмём функцию f(x) = x² и найдём её производную по таблице:

75 <ul><li>Функция f(x) = x² - это степенная функция со степенью n = 2.</li>

76 <li>Используя формулу из таблицы для xⁿ, получаем: f'(x) = n · xⁿ⁻¹.</li>

77 <li>Подставляем значение n = 2 в формулу: f'(x) = 2 · x²⁻¹ = 2 · x¹ = 2x.</li>

78 </ul>Получается, производная функции x² равна 2x. Это означает, что скорость изменения функции x² в любой точке пропорциональна 2x.

79 f(x)f'(x)Пояснениеc0Производная<a>константы</a>всегда равна нулю, так как константа не меняется.x1Скорость изменения<a>переменной</a>x относительно самой себя всегда равна единице, независимо от значения x.xⁿn · xⁿ⁻¹Степень уменьшается на 1, а<a>коэффициент</a>умножается на начальную степень.√x1 / (2√x)Это частный случай степенной функции, где n = 1/2.sin xcos xПроизводная синуса равна косинусу.cos x-sin xПроизводная косинуса - это минус синус.tg x1 / cos²xПроизводная тангенса выражается через квадрат косинуса.ctg x-1 / sin²xПроизводная котангенса выражается с минусом через квадрат синуса.eˣeˣ<a>Экспонента</a>- единственная функция, равная своей производной.ln x1 / xПроизводная<a>натурального логарифма</a>обратно пропорциональна x.Таблица производных охватывает только основные функции. Для более сложных выражений необходимо выполнять расчёты самостоятельно, используя правила дифференцирования сложных функций.

80 Правила дифференцирования - это принципы, позволяющие находить производные сложных функций путём разложения их на более простые составляющие. Существует много таких правил, и для их углублённого изучения рекомендуются ресурсы<a>Wolfram Alpha</a>и <a>Khan Academy</a>. В этом разделе мы рассмотрим основные правила и разберём их на примерах.

81 Производная суммы функцийравна сумме производных этих функций.

82 <ul><li>Правило: (u + v)' = u' + v'</li>

83 <li>Условие: y = x² + 3x</li>

84 <li>Решение: y' = (x²)' + (3x)' = 2x + 3</li>

85 </ul>Производная произведения функций.Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции.

86 <ul><li>Правило: (u · v)' = u' · v + u · v'</li>

87 <li>Условие: y = x · sin(x)</li>

88 <li>Решение: y' = 1 · sin(x) + x · cos(x) = sin(x) + x · cos(x)</li>

89 </ul>Производная частного двух функцийпредставляется дробью. В числителе - разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя. В знаменателе - квадрат знаменателя.

90 <ul><li>Правило: (u/v)' = (u' · v - v' · u) / v²</li>

91 <li>Условие: y = x / (x + 1)</li>

92 <li>Решение: y' = (1 · (x + 1) - 1 · x) / (x + 1)² = 1 / (x + 1)²</li>

93 </ul>Производная любой константыравна нулю.

94 <ul><li>Правило: (c)' = 0</li>

95 <li>Условие: y = 5</li>

96 <li>Решение: y' = 0</li>

97 </ul>Производная степенной функции.При дифференцировании степень уменьшается на единицу, а показатель степени становится множителем.

98 <ul><li>Правило: (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹</li>

99 <li>Условие: y = x³</li>

100 <li>Решение: y' = 3x²</li>

101 </ul><a>Научитесь: Математика для Data Science Узнать больше</a>