Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>7 ноя 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Что такое действительные числа и для чего они нужны</h2>

5 Числа, которыми можно измерить всё.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Онлайн-журнал для тех, кто влюблён в код и информационные технологии. Пишем для айтишников и об айтишниках.

8 Почти всё вокруг нас можно посчитать, измерить, закодировать и представить в виде чисел. В математике есть множество чисел, которыми можно описать практически все окружающие нас предметы и явления. Они называются действительными, или же вещественными.

9 В этой статье рассказываем, что такое действительные числа, откуда они взялись, где применяются, чем они отличаются от других и как представлены в памяти компьютера.

10 Содержание

11 <ul><li><a>Определение действительных чисел</a></li>

12 <li><a>Координатная прямая и действительные числа</a></li>

13 <li><a>Представление действительных чисел</a></li>

14 <li><a>Вещественные числа в памяти компьютера</a></li>

15 </ul>Действительные (вещественные) числа - это все числа, которые можно представить на числовой прямой. К ним относятся:

16 <ul><li>Натуральные числа (N) - это числа, которые мы используем во время порядкового счёта: 1, 2, 3, 4, 5, …</li>

17 <li>Целые числа (Z) - все натуральные числа, отрицательные числа и ноль: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …</li>

18 <li><a>Рациональные числа</a>(Q) - это дроби, которые можно записать как отношения двух целых чисел: ½, 0,5, -0,3333, …</li>

19 <li><a>Иррациональные числа</a>(I) - это числа с бесконечным не повторяющимся значением после запятой - например, число π, √2.</li>

20 </ul>Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Посмотрите на схему ниже и обратите внимание, как одно множество связано с другими:

21 Схема множеств чисел, которые входят во множество действительных чиселИнфографика: Skillbox MediaЭту схему можно записать в виде математического выражения N ∈ Z ∈ Q ∈ R, где ∈ означает "относится". То есть натуральное множество относится к целому, целое - к рациональному, а рациональное - к действительному.

22 По сути, действительные числа - это все числа, которые мы используем в повседневных и научных расчётах. Их как раз и придумали для того, чтобы измерять физические и геометрические величины - а ещё они нужны для извлечения корня, вычисления логарифмов, исследования функций и решения алгебраических уравнений.

23 Наглядно представить действительные числа можно с помощью координатной прямой.

24 Координатная прямая - это своеобразная карта, показывающая расположение чисел на горизонтальной прямой. Её используют для демонстрации расположения чисел друг относительно друга.

25 У координатной прямой есть несколько важных особенностей:

26 <ul><li>Точка отсчёта.По центру координатной прямой есть точка, которая обозначается как ноль (0). Это отправная точка, относительно которой отмечают другие числа. Слева находятся числа, которые меньше нуля, справа - больше.</li>

27 <li>Направление.Числа на координатной прямой увеличиваются слева направо.</li>

28 <li>Равные расстояния.Все числа на координатной прямой располагаются с равными промежутками друг между другом. Например, между 0 и 1 расстояние будет такое же, как между -1 и 0.</li>

29 <li>Дроби и иррациональные числа.На координатной прямой можно отобразить не только целые числа, но и дробные (0,75, ½), а также иррациональные (√2, π).</li>

30 </ul>На координатной прямой можно отобразить только действительные числа. Комплексные числа на прямой разместить не получится, потому что у них есть дополнительная, "мнимая" часть, которая требует отдельной оси.

31 Для примера отобразим некоторые действительные числа на координатной прямой:

32 Действительные числа на координатной прямойИнфографика: Skillbox MediaЕсть несколько способов представления действительных чисел. Чаще всего встречается десятичное представление - когда число записывают в десятичной форме с использованием целой и дробной части.

33 Десятичное представление бывает конечным или бесконечным. В первом случае после запятой есть фиксированное количество чисел, а во втором - числа после запятой никогда не заканчиваются.

34 Например, число 3,14159265… - десятичное представление числа π (Пи).

35 Десятичное представление числаИнфографика: Skillbox MediaРациональные числа действительного множества можно записать в виде дроби. В общем виде дробь записывается как отношение двух целых чисел m и n: . Число m называется числителем, а n - знаменателем.

36 Например, рациональное число 0,5 можно перевести в дробный вид. Получится дробь . А вот иррациональное число 3,14159265… записать в виде дроби не выйдет.

37 Дробное представление числаИнфографика: Skillbox MediaБольшие действительные числа можно записать в экспоненциальном виде - это представление числа в виде мантиссы и порядка. Такой способ позволяет сократить запись числа, например, если в нём много нулей.

38 Рассмотрим, как формируется экспоненциальная запись на примере числа 1 000 000 (один миллион):

39 <ul><li>Старший разряд в 1 000 000 - единица (1). Это и есть мантисса числа.</li>

40 <li>Теперь разложим 1 000 000 как степень десяти. Получится 1 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106. Степень указывает на количество нулей после мантиссы.</li>

41 <li>Объединим два этих числа в экспоненциальной записи и получим 1 000 000 = 1 × 106.</li>

42 </ul>Проверка: если возвести 10 в 6-ю степень и умножить на 1, получим 1 000 000. Следовательно, записи 1 × 106 и 1 000 000 - идентичны.

43 Экспоненциальное представление числаИнфографика: Skillbox MediaВсе числа в памяти компьютера хранятся в двоичном виде, то есть состоят из нулей и единиц. В языках программирования для хранения вещественных чисел предусмотрены типы данных float и double. Они представляют числа с помощью экспоненциальной записи. Если перевести число в битовый вид, получится запись, состоящая из трёх частей: положительного или отрицательного знака, порядка (экспоненты) и мантиссы.

44 Экспоненциальное представление битов в памяти компьютераИнфографика: Skillbox MediaЧтобы быстрее это понять, разберём, как хранится в памяти компьютера округлённая до сотых запись числа Пи (3,14).

45 Для начала заполним знаковый бит. Если число положительное, то он будет равен нулю, если отрицательное - единице. 3,14 - положительное число, значит, в 31-й индекс вписываем 0:

46 Знаковый бит числа ПиИнфографика: Skillbox MediaТеперь вычислим двоичную мантиссу. Для этого сначала переведём целую часть в двоичное представление: 310 = 112. То же самое сделаем с дробной частью: 0,1410 = 0,00100011110101110000112.

47 Получившееся значение переведём в экспоненциальный вид - так, чтобы в целой части была одна единица. После преобразований число 11,00100011110101110000112 превратится в 1,100100011110101110000112 × 21.

48 1,10010001111010111000011 - это мантисса, а основание равно двум, потому что мы имеем дело с двоичной системой счисления. Откидываем целую часть, а всё остальное вписываем в индексы с 22-го по 0-й:

49 Двоичная мантиссаИнфографика: Skillbox MediaОсталось найти двоичную экспоненту - то, на что умножается наша мантисса. Для этого складываем степень основания 1 с числом 127: 1 + 127 = 128. 127 - это константное значение смещения экспоненты. Оно прибавляется, чтобы не тратить бит на знак степени у экспоненты.

50 Теперь переводим получившееся значение в двоичный вид и вписываем его в оставшиеся индексы - с 30-го по 23-й: 12810 = 100000002.

51 В итоге получим 0 10000000 10010001111010111000011. Именно так число 3,14 хранится в памяти компьютера.

52 Двоичная экспонентаИнфографика: Skillbox MediaПредыдущий пример - обобщённый. Он нужен для понимания того, как компьютер работает с вещественными числами. В реальности при работе компьютера с действительными числами часто возникают погрешности.

53 Например, если в языке Java сложить числа 0,2 и 0,1, то консоль выдаст такой результат:

54 0,30000000000000004Но постойте, мы ведь точно знаем, что 0,1 + 0,2 = 0,3. В чём же дело? Такой странный ответ получился из-за особенностей двоичной арифметики.

55 Перед тем как сложить числа 0,2 и 0,1, компьютер сначала переводит их в двоичный вид. При этом у некоторых десятичных чисел нет точного значения в двоичной системе счисления. 0,2 и 0,1 - как раз из таких чисел:

56 <ul><li>0,210 = 0,00110011001100…2;</li>

57 <li>0,110 = 0,00011001100110…2.</li>

58 </ul>Так как нет возможности хранить в памяти бесконечное количество цифр, компьютер округляет числа - поэтому при сложении получаются неожиданные результаты.

59 Этой проблемы можно избежать, если использовать специальные типы данных, которые предназначены специально для десятичных чисел. Например, в Java для этого есть класс BigDecimal. Эти типы данных требуют больше памяти и работают медленнее стандартных типов float и double, но зато результат всегда будет предсказуемым.

60 Из-за этой особенности банковские приложения вовсе не используют десятичные числа для учёта денег, а хранят все данные в целочисленных копейках. Например, если на счету пользователя лежит 100,6 рублей, то в коде приложения эта сумма будет равна 10 060 копейкам. Благодаря этому пользователи банковского приложения могут быть уверены, что при выполнении арифметических операций содержимое их счёта не округлится в меньшую сторону.

61 Сегодня вы узнали, что такое множество действительных (вещественных) чисел. Повторим изученное:

62 <ul><li>Действительные (вещественные) числа - это все целые, натуральные, рациональные и иррациональные числа.</li>

63 <li>Ноль - тоже действительное число.</li>

64 <li>Термины "действительные числа" и "вещественные числа" - синонимы.</li>

65 <li>На координатной прямой находятся все действительные числа.</li>

66 <li>Разные множества действительных чисел можно представить в десятичной, целой, дробной или экспоненциальной форме.</li>

67 <li>Экспоненциальная форма - это значимая часть, называемая мантиссой, умноженная на основание системы счисления в определённой степени, называемой порядком, где порядок - это показатель сдвига плавающей запятой.</li>

68 <li>В памяти компьютера числа хранятся в экспоненциальной двоичной форме. Она состоит из знакового бита, двоичной экспоненты и мантиссы.</li>

69 <li>При работе с действительными числами на компьютере будьте аккуратны, чтобы соблюсти точность вычислений.</li>

70 </ul><a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>