Треугольник Паскаля: что это такое и в чём его магия
2026-02-21 12:05 Diff
https://skillbox.ru/media/code/treugolnik-paskalya-chto-eto-takoe-i-v-chem-ego-magiya/

#статьи

  • 17 фев 2025
  • 0

Треугольник Паскаля: что это такое и в чём его магия

Рассказываем про простой треугольник с необычными свойствами.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

В математике есть простая фигура, свойства которой используют во многих областях. С её помощью решают комбинаторные задачи, вычисляют вероятности, строят фракталы и даже разрабатывают криптографические алгоритмы. В этой статье рассказываем про треугольник Паскаля — незамысловатую таблицу чисел с большим потенциалом.

Содержание

Треугольник Паскаля — это математическая таблица чисел, в которой значение каждой ячейки равно сумме значений двух ячеек, стоящих над ней. Треугольник назвали в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя свойства похожих таблиц изучали в средневековом Китае, Индии, Италии и Германии.

Треугольник Паскаля — бесконечный, а его первые десять строк выглядят так:

Первые десять строк треугольника Паскаля
Инфографика: Skillbox Media

Треугольник строится по следующим правилам:

  • В самом верху стоит единица — это нулевая строка. Нумерация строк (сверху вниз) и элементов (слева направо) начинается с нуля, а не с единицы, как мы привыкли считать.
  • На рёбрах треугольника также стоят единицы.
  • Каждое число, кроме единиц по бокам, равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Например, число 3 в третьей строке равно сумме 1 и 2 из второй строки.

Всё выглядит легко, но, если внимательно изучить треугольник, можно заметить интересные свойства. Давайте рассмотрим их.

Говоря формально, треугольник Паскаля — это расположение биномиальных коэффициентов для положительных целых чисел n и k. Поэтому число каждой ячейки можно найти с помощью рекуррентной формулы:

В ней:

Если говорить простыми словами, то получится правило, которое мы обозначили выше: каждый элемент равен сумме чисел, стоящих над ним.

Для примера рассмотрим вторую строку треугольника (напоминаем, что нумерация строк начинается с нуля):

Инфографика: Skillbox Media

Применим рекуррентную формулу, о которой говорили выше, чтобы найти число 2:

Формулу нахождения биномиальных коэффициентов можно записать в аналитическом виде:

Это уже не что иное, как формула сочетаний без повторяющихся элементов из комбинаторики. Она показывает, что элемент k-го столбца n-й строки треугольника Паскаля равен количеству способов выбрать k объектов из n без учёта повторений. Больше узнать про комбинаторику и формулы, которые в ней используют, можно в нашей статье.

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребёнок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.

Мартин Гарднер, американский математик и научпоп-писатель

У треугольника Паскаля есть несколько интересных математических свойств. Вот некоторые из них:

  • Если провести прямую вертикальную линию по центру треугольника, то части по левую и правую сторону будут симметричны. Например, в строке 1, 4, 6, 4, 1 числа расположены зеркально относительно прямой.
Инфографика: Skillbox Media
  • Сумма всех чисел в n-й строке равна 2n. Убедимся в этом и сложим все числа пятой строки: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25.
Инфографика: Skillbox Media
  • Помимо степени двойки, в треугольнике Паскаля можно найти и квадратные числа. Для этого надо выбрать ячейку и умножить друг на друга все числа, которые её окружают. Например, 1 × 5 × 15 × 21 × 7 × 1 = 11025 = 1052.
Инфографика: Skillbox Media
  • По диагоналям треугольника Паскаля находятся последовательности чисел. На второй диагонали расположены натуральные числа, на третьей находятся треугольные, а на четвёртой — тетраэдральные. На изображении ниже мы построили диагонали справа налево, однако если поменять направление, то последовательности чисел не исчезнут.
Инфографика: Skillbox Media
  • Если второе и предпоследнее число в строке треугольника — простые, то между ними находятся числа, кратные ему. Например, в седьмой строке числа 21 и 35 делятся на простое 7, которое расположено с двух сторон от них их.
Инфографика: Skillbox Media
  • Сумма чисел диагонали равна числу в следующей строке на противоположной диагонали. Проверим это и посчитаем сумму чисел диагонали, которая начинается в пятой строке: 1 + 6 + 21 + 56 = 84.
Инфографика: Skillbox Media
  • Если из центрального числа строки с чётным порядковым номером вычесть соседнее число той же строки, то мы получим число Каталана.
  • Число каждой ячейки треугольника Паскаля равно количеству способов попасть в эту ячейку из вершины.

Треугольник Паскаля тесно связан с комбинаторикой. С его помощью можно быстро и без всяких формул узнать количество способов выбрать k объектов из n без учёта повторений. Например, чтобы выяснить, сколькими способами можно взять 3 шара из 5, достаточно посмотреть на третье число в пятой строке.

Помимо комбинаторики, свойства треугольника Паскаля используют в других сферах:

  • Алгебра. Выше мы уже говорили о том, что треугольник Паскаля показывает расположение биномиальных коэффициентов. Это значит, что с его помощью можно разложить бином Ньютона.
  • Теория вероятностей. Треугольник Паскаля помогает решать задачи на нахождение вероятности того или иного события. Без него для нахождения промежуточных значений пришлось бы использовать формулы.
  • Криптография. В некоторых системах шифрования применяют биномиальные коэффициенты, например в криптосистеме Пэйе.
  • Фрактальная геометрия. Если построить большой треугольник Паскаля из нескольких десятков строк и закрасить все ячейки с нечётными числами, то получится треугольник Серпинского.
Треугольник Серпинского
Изображение: Samuel Johnson / Wikimedia Commons

Разберём задачи, для решения которых можно использовать треугольник Паскаля.

В кондитерском магазине есть 9 тортов разных видов. Для праздника Ивану надо купить 3 торта. Сколькими способами Иван может выбрать необходимое количество тортов?

Решение:

Нам надо выбрать 3 объекта из 9 возможных. Значит, смотрим в треугольнике Паскаля на третью ячейку в девятой строке, не забывая, что нумерация строк и ячеек начинается с нуля. В ячейке число 84 — это и есть ответ.

Чтобы убедиться, что треугольник нас не подвёл, посчитаем с помощью формулы сочетаний без повторяющихся элементов:

Ответ: у Ивана есть 84 способа выбрать 3 торта из 9.

Разложите выражение (a + b)4.

Решение:

  • Шаг 1. Обратим внимание на степень выражения в скобках: 4. Значит, коэффициентами при разложении будут числа из четвёртой строки треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1.
  • Шаг 2. Разложим выражение с помощью формулы бинома Ньютона:
  • Шаг 3. Подставим значения биномиальных коэффициентов из треугольника:

Ответ:

Какова вероятность того, что в результате пяти подбрасываний монеты два раза выпадет орёл?

Решение:

  • Шаг 1. Сперва найдём число способов получить 2 орла из 5 бросков. Для этого посмотрим на число во второй ячейке пятой строки треугольника Паскаля: 10.
  • Шаг 2. На каждый бросок приходится два варианта исхода событий (орёл или решка), а монету мы подбрасываем пять раз подряд. Значит, общее число исходов равно .
  • Шаг 3. Каждый из исходов, когда выпадает орёл — равновозможен. Следовательно, вероятность выпадения двух орлов при пяти подбрасываниях можно найти так:

Ответ: вероятность, что из пяти бросков выпадет ровно два орла равна , или 0,3125 в десятичной форме.

  • Треугольник Паскаля — математическая таблица, которая показывает расположение биномиальных коэффициентов для положительных целых чисел.
  • Каждое число в треугольнике равно сумме двух чисел над ним.
  • Числа в строках расположены симметрично относительно центральной оси.
  • Сумма чисел в каждой строке равна степени двойки номера строки.
  • Свойства треугольника Паскаля используют в комбинаторике, теории вероятностей, алгебре, фрактальной геометрии и криптографии.

Колледж Skillbox: продолжается приём документов

Освойте востребованные IT-навыки и начните зарабатывать раньше сверстников. Получите диплом о среднем специальном образовании без затрат на переезд, учась по гибкому графику.

Узнать больше

Цифровой колледж Skillbox

Среднее профессиональное образование онлайн
по IT-профессиям.

Продолжается приём документов.

Узнать больше

Цифровой колледж Skillbox →
Востребованные профессии в IT и дизайне. Продолжается приём документов Бесплатная консультация