Двоичная арифметика: сложение, умножение, вычитание, деление бинарных чисел
2026-02-21 18:43 Diff
https://skillbox.ru/media/code/dvoichnaya-arifmetika/

#статьи

  • 4 дек 2025
  • 0

Двоичная арифметика: сложение, умножение, вычитание, деление бинарных чисел

Учимся складывать, вычитать, умножать и делить двоичные числа — работаем с фундаментальными законами современной цифровой электроники.

Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media

Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.

Мы привыкли считать всё в десятичной системе, потому что у нас десять пальцев — и это удобно. Но если бы у нас было больше пальцев, например 12, то система могла бы быть двенадцатиричной и мы бы воспринимали её как обычную.

Когда дело доходит до двоичной системы счисления, сложно вот так сразу переключиться на её арифметику — хотя, казалось бы, принципы такие же, как для десятичной. Ведь там есть все привычные операции: сложение, вычитание, умножение, деление. Единственное отличие: в двоичных числах используются всего две цифры — ноль и единица.

Давайте избавимся от страха и наконец узнаем, как проводить знакомые нам математические операции в двоичной системе.

Содержание

Правила сложения двоичных чисел похожи на привычные нам: сложение происходит поразрядно справа налево, при этом важно помнить о переносе чисел в новый разряд.

В десятичной системе у нас всего десять цифр: от 0 до 9. Когда мы складываем 1 и 9, у нас получается переполнение, так как больше 9 в одном разряде нельзя записать. Поэтому мы переносим единицу в следующий, получаем 10.

Двоичная система работает аналогично: чтобы понять, как складывать числа, нужно помнить об этом переполнении. Всего в двоичной системе две цифры — 0 и 1. Если сложить 1 и 1, мы получим переполнение, а значит, единица пойдёт в следующий разряд, результатом станет 10 (только не «десять», а «один-ноль»).

Если представить правила сложения двоичных чисел в общем виде, получим такую таблицу.

Изображение: Skillbox Media

Но лучше разобраться на примерах.

Пример 1. Давайте сложим 1100 и 101.

Изображение: Skillbox Media

Рассмотрим пример подробнее. Как мы уже упоминали ранее, сложение происходит справа налево. Разряды считаются тоже справа налево:

  • Первый: 0 + 1 = 1.
  • Второй: 0 + 0 = 0.
  • Третий: 1 + 1 = 10 — переполнение, единица переходит в следующий разряд.
  • Четвёртый: 1 + 0 + 1 = 10 — добавляем единицу из прошлого разряда, получаем переполнение, единица переходит в следующий разряд.
  • Пятый: 0 + 0 + 1 = 1 — единица пришла из предыдущего разряда.

Пример 2. Сложим 1111 и 111.

Изображение: Skillbox Media

Теперь поразрядно:

  • Первый: 1 + 1 = 0 — единица переходит в следующий разряд.
  • Второй: 1 + 1 + 1 = 1 — единица переходит в следующий разряд.
  • Третий: 1 + 1 + 1 = 1 — единица переходит в следующий разряд.
  • Четвёртый: 1 + 0 + 1 = 0 — единица переходит в следующий разряд.
  • Пятый: 0 + 0 + 1 = 1.

Вроде бы пока несложно. Так что попробуйте сами сложить 1101 и 1011, чтобы закрепить знания.

Ответ

1101 + 1011 = 11000.

Умножение двоичных чисел

Умножение в двоичной системе, как в десятичной, основано на сложении — и умении считать в столбик.

Сведём в таблицу правила умножения двоичных чисел.

Изображение: Skillbox Media

Давайте теперь посмотрим на реальных примерах, как правильно умножать двоичные числа.

Пример 1. Умножим 110 на 10.

Изображение: Skillbox Media

Здесь мы воспользуемся привычным школьным «столбиком»: сначала умножаем верхнее число, 110, на 0, затем на 1, а потом складываем полученные два и получаем результат.

По сути, если мы умножаем число на ноль, то оно превращается в ноль, а если на единицу — остаётся неизменным, но сдвигается на число разрядов, равное номеру разряда этой единицы, как в обычном умножении:

  • 110 × 0 = 000;
  • 110 × 1 = 110.

Сдвигаем 110 на один разряд влево и складываем результаты промежуточных умножений:

  • 000 + 1100 = 1100.

Мы получили 1100, потому что сместили результат умножения 110 × 1 на один разряд влево, а затем добавили один 0 справа — как в обычном умножении.

Пример 2. Давайте теперь умножим 101 на 101.

Изображение: Skillbox Media

Не пугайтесь, что у нас получилось три числа, которые нужно сложить: правила остаются теми же. Ещё можно приписывать дополнительные нули туда, где находится пустое пространство — это поможет не запутаться.

Разберём пошагово:

  • 101 × 1 = 101;
  • 101 × 0 = 000;
  • 101 × 1 = 101.

Снова сдвигаем влево промежуточные результаты и складываем:

  • 101 + 0000 + 10100 = 11001.

Попробуйте сами умножить 1101 на 111.

Ответ

1011011.

Правила двоичного вычитания тоже ничем не отличаются от десятичного. Мы также вычитаем поразрядно и, если нужно, занимаем единицу из старшего разряда.

Таблица вычитания выглядит так.

Изображение: Skillbox Media

Заметьте, что 0 − 1 = 1. Это всё потому, что мы занимаем единицу из старшего разряда и получаем 10, или 2 в десятичной системе, а если вычесть из 10 число 1, получим 1 (ведь 2 − 1 = 1).

Перейдём к примерам, чтобы понять, как вычитать одно число из другого.

Пример 1. Вычтем из 1100 число 11.

Изображение: Skillbox Media

Разберём подробнее поразрядно:

  • Первый: 0 − 1 = 1 — занимаем единицу из старшего разряда.
  • Второй: 1 − 1 = 0 — так как отсюда заняли единицу, но у нас её не было, мы взяли её из следующего разряда и вычли единицу из этого.
  • Третий: 0 − 0 = 0 — из этого разряда единица ушла в первый.
  • Четвёртый: 1 − 0 = 1 — здесь всё нормально.

Всё то же знакомое нам вычитание.

Пример 2. Вычтем из 1011 число 101.

Изображение: Skillbox Media

Тот же алгоритм по разрядам:

  • Первый: 1 − 1 = 0.
  • Второй: 1 − 0 = 1.
  • Третий: 0 − 1 = 1 — заняли единицу из следующего разряда.
  • Четвёртый: 0 − 0 = 0 — отдали единицу в предыдущий разряд.

Кажется, что всё несложно. Попробуйте теперь сами вычесть из 11010 число 1111.

Ответ

1011.

Вы удивитесь, но правила деления двоичных чисел похожи на деление десятичных. Рисуем привычный «столбик», умножаем, вычитаем, получаем результат.

Таблицы тут нет, потому что она бессмысленна — давайте сразу на примерах разбирать, как делить двоичные числа.

Пример 1. Поделить 1100 на 10.

Изображение: Skillbox Media

У нас есть только два варианта: умножить делитель на 1 или на 0. Поэтому алгоритм будет таким:

  • Смотрим на делимое, видим, что первые две его цифры — 11. Умножаем делитель на 1 и вычитаем из 11 число 10.
  • Получили 1, дописываем справа следующую по порядку цифру — 0. Теперь 10 равно делителю, значит, тоже умножаем его на 1 и вычитаем.
  • Получаем 0. Но у нас ещё остался один 0 у делимого — дописываем его справа от полученного 0.
  • Число 0 меньше, чем 10, поэтому умножаем делитель на 0. Получаем конечный ответ — 110.

Пример 2. Поделить 10010 на 110.

Изображение: Skillbox Media

Пошаговый алгоритм:

  • Первые три числа делимого меньше, чем делитель — значит, умножаем делитель на 0 и вычитаем. Получаем 100.
  • Дописываем 1 справа от 100, видим, что 1001 больше, чем 110, поэтому умножаем делитель на 1 и вычитаем его из 1001. Получаем 11.
  • Дописываем 0 справа. Полученное 110 равно делителю, поэтому тоже умножаем его на 1, получаем конечный результат.

Попробуйте сами теперь поделить 10100 на 100.

Ответ

101.

Мы подготовили небольшую шпаргалку, чтобы вам было проще запомнить, как работают основные математические операции в двоичной системе счисления. Таблицу ниже можно распечатать, и подсматривать в ней, когда нужно.

Операция Принцип Пример Сложение Складываем справа налево по одному разряду. Когда получается 1 + 1, записываем 0 и переносим 1 в следующий разряд 1100 + 101 = 10001 Умножение Алгоритм как в десятичной системе: умножение на 0 даёт 0, а на 1 — исходное число со сдвигом влево. Затем складываем все промежуточные результаты 110 × 10 = 1100 Вычитание Вычитаем справа налево. Если в текущем разряде 0, а нужно вычесть 1, записываем 1 и заимствуем единицу из следующего разряда 1100 − 11 = 1001 Деление Используем деление столбиком. На каждом шаге умножаем делитель на 1 (если делимое больше или равно делителю) или на 0 (если делимое меньше делителя). После вычитаем результат и переходим к следующему разряду 1100 ÷ 10 = 110

Что запомнить

Двоичная арифметика во многом похожа на десятичную: мы так же можем складывать, вычитать, делить и умножать числа столбиком. Правда, в двоичной системе всего две цифры: 0 и 1 — поэтому привычные математические операции в ней могут показаться немного странными. К счастью, в основе двоичной арифметики лежат простые принципы, которые нужно запомнить.

Курс с трудоустройством: «Профессия Разработчик + ИИ» Узнать о курсе