Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>21 июн 2023</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Теория вероятностей: как научиться предсказывать случайные события</h2>

5 Разбираем основные понятия, решаем задачи и делаем первый шаг на пути к карьере в data science.

6 Фото: Robert Voets / CBS / Getty Images

7 Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.

8 Продолжаем разбираться с математическими концепциями, на которых держится современное IT. Сегодня поговорим о теории вероятностей - разделе математики, который широко используется в машинном обучении, геймдеве, статистике и науке о данных.

9 Из этой статьи вы узнаете:

10 <ul><li><a>Что такое теория вероятностей</a></li>

11 <li><a>Какие понятия в неё входят</a></li>

12 <li><a>Что такое алгебра событий</a></li>

13 <li><a>По каким формулам она работает</a></li>

14 <li><a>Как решать задачи по теории вероятностей</a></li>

15 </ul>Теория вероятностей - это наука, которая изучает мир случайностей и пытается их предсказать. Здесь встречаются такие понятия, как "события" и "вероятности", у которых, в свою очередь, есть свои свойства и операции - о них мы поговорим чуть позже.

16 Проще всего продемонстрировать, как работает теория вероятностей, на примере подбрасывания монетки. В этом случае у нас есть два варианта: орёл или решка, а значит, шанс выпадения каждой из сторон одинаковый и составляет 50%.

17 В Google можно испытать свою удачу, если ввести в поиске "подбрасывание монеты"Изображение:<a>Google</a>Но как убедиться, что это действительно так? Например, я могу подбросить монетку десять раз, и мне магическим образом девять раз подряд выпадет орёл и один раз решка. Значит ли это, что шанс выпадения орла - 90%? Конечно, нет - и у этого есть научное объяснение.

18 Дело в том, что теория вероятностей рассматривает случайные события в рамках бесконечности. Иными словами, если мы будем подбрасывать монетку бесконечное количество раз, то шансы выпадения орла или решки будут приближаться к 50%.

19 В математике такая закономерность называетсязаконом больших чисел, и этот закон - один из фундаментальных для data science. Фишка в том, что чем больше данных мы имеем на руках, тем точнее можно делать предсказания. Подробнее об этом читайте в статье "<a>Математика для джунов</a>".

20 Такая же логика работает и для других случайных явлений - например, шанс выпадания числа 5 на игральном кубике равен 1 к 6, а вероятность того, что молния ударит в одно и то же место дважды - примерно 1 к 500.

21 Как думаете, какая вероятность, что все 15 кубиков выдадут одинаковый результат? Примерно 0,000000000002%, или два шанса из одного триллионаИзображение:<a>Google</a>Теория вероятностей помогает нам предсказывать шанс возникновения различных событий, когда ответ не такой однозначный и на события влияет множество факторов.

22 Мы упомянули слова "событие" и "вероятность", но не рассказали, что они вообще значат в контексте теории вероятностей. Давайте разбираться.

23 Событие - это всё, что может произойти, когда мы совершаем какое-то действие. Например, если мы бросаем монетку, то событие - это выпадение орла или решки. Чтобы обозначать события, используют заглавные буквы латинского алфавита. Например, для орла можем выбрать буквуA, а для решки -B.

24 Существует много разных видов и классификаций событий, но в этой статье мы остановимся на основных четырёх:

25 <ul><li>Достоверные - те, которые точно произойдут. Если бросить стакан на пол, то с вероятностью 100% он полетит вниз.</li>

26 <li>Невозможные - те, которые никогда не произойдут. Если бросить тот же стакан на пол, то он никогда не полетит вверх (мораль: не стоит бросать стаканы на пол, если, конечно, вы не на МКС).</li>

27 <li>Случайные - те, которые могут произойти, а могут и не произойти. Например, если мы бросаем игральный кубик, то не можем с уверенностью сказать, что выпадет число 2.</li>

28 <li>Несовместимые - те, которые исключают друг-друга. Например, при подбрасывании монетки может выпасть либо орёл, либо решка - оба одновременно они выпасть не могут.</li>

29 </ul>Стать экспертом по теории вероятностей очень просто - нужно всего лишь завести кошку и наблюдать за нейИнфографика: Оля Ежак для Skillbox MediaЕсли собрать все несовместимые события вместе, они будут называтьсяполной группой событий. Это множество событий, одно из которых обязательно случится, если мы совершаем действие, а другие - не произойдут никогда. Например, когда мы бросаем игральный кубик, может выпасть только одна из сторон.

30 Вероятность - это число, которое обозначает шанс возникновения события. Например, вероятность выигрыша в лотерею может составлять 1 к 1 000 000.

31 Мы записывали значения вероятностей в процентах и отношениях, но математикам удобнее располагать их в диапазоне от 0 до 1. Если вероятность равна 0, то событие никогда не произойдёт, а если 1 - точно произойдёт. Всё, что посередине, - это случайные события.

32 Самый простой способ вычислить вероятность - поделить число благоприятных событий на общее число возможных событий. Например, если всего в колоде 36 карт, а мы хотим достать короля пик, то вероятность этого события равна 1/36, или 0,03. Если бы нас устроил любой из королей, то вероятность была бы равна 4/36 - то есть 0,1.

33 Начальная вероятность того, что вы наткнётесь на мину в самом начале игры в "Сапёра", - около 20%. С каждой открытой клеткой этот шанс увеличивается. Но это если полагаться только на удачу.К формулам мы ещё вернёмся, а пока отметим, что вероятность - это не всегда точное предсказание, а лишь оценка шанса возникновения события. Как следует из закона больших чисел, если шанс выпадения орла и решки равен 50%, это не означает, что они будут выпадать по очереди.

34 Ещё вероятность может бытьусловной - или зависеть от другого события. Например, если мы хотим вытащить любой туз из колоды карт, шанс равен 4/36. Но если до этого кто-то уже вытащил одного туза, то вероятность будет равна 3/35. Это потому, что в колоде стало на одну карту меньше и количество благоприятных событий тоже уменьшилось.

35 С определениями закончили - теперь давайте узнаем, как событиями можно управлять.

36 Когда мы считаем вероятности, нас может устраивать более чем один результат событий. Или другая ситуация - нам может быть важно, чтобы два события выполнялись вместе. В таких случаях на помощь приходит алгебра событий. Разбираемся, какие действия она позволяет совершать.

37 Дисклеймер:в этом разделе мы не рассматриваем вычитание и дополнение событий, потому что они довольно сложны для первого знакомства с теорией вероятностей. Возможно, скоро мы выпустим о них отдельную статью.

38 Суммадвух событийA + B - это сложное событие, которое произойдёт, если случится или событиеA, или событиеB, или оба одновременно.

39 Допустим, мы хотим вычислить вероятность выпадения на кубике стороны с числами 2 или 4. Обозначим событие "выпадение стороны 2" какA, а событие "выпадение стороны 4" какB. Так как у кубика всего шесть граней, вероятность выпадения каждой из этих сторон равна 1/6.

40 А так как нас интересует либо событиеA, либо событиеB, мы ищем сумму этих событий -A + B. Вычисляем соответствующие вероятности:

41 Изображение: Skillbox MediaПолучается, что шанс выпадения стороны 2 или 4 при броске кубика равен 2 к 6, или 1 к 3, или 33%.

42 Правило сложения можно применять не только к двум событиям, но и к любому их количеству. Например, событиеA + B + C + Dпроизойдёт, если случится хотя бы одно из событийA,B,C,Dили одна из их комбинаций, такая какAи CилиA,Cи D.

43 ПроизведениесобытийAи B - это событиеA × B, которое произойдёт, если случится и событиеA, и событиеB.

44 Допустим, мы бросаем монетку два раза и хотим понять, каков шанс, что оба раза выпадет решка. Напомним, что вероятность выпадения решки - 1/2.

45 Обозначаем события:A - решка выпадает первый раз,B - решка выпадает второй раз. Считаем вероятности:

46 Изображение: Skillbox MediaПолучаем, что шанс выпадения решки два раза подряд - 25%.

47 Как в случае с суммой, произведение событий можно считать для любого количества разных событий. Давайте продолжим пример с монеткой - теперь мы хотим, чтобы она выпала четыре раза подряд.

48 Добавляем два новых обозначения:C - решка выпадает третий раз,D - решка выпадает четвёртый раз. Вероятности всё те же, считаем их произведение:

49 Изображение: Skillbox MediaОтвет - шанс выпадения решки четыре раза подряд равен 1 к 16, или 6,25%.

50 Когда мы говорили о сложении вероятностей, мы использовали несовместимые события, поскольку при броске кубика может выпасть только одна сторона (или ребро, если вам сильно повезёт).

51 Теперь, когда мы познали тонкости вероятностного умножения, можно разобраться с тем, как складыватьсовместимыесобытия. В этом случае из суммы двух событий нужно просто вычесть их произведение. Формула выглядит так:

52 P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A ⋅ B)

53 Примером такого сложения может быть выбор случайных чисел. Допустим, у нас есть набор чисел от 1 до 10 и мы хотим найти вероятность того, что выбранное число будет или нечётным, или делиться на 7 без остатка.

54 Считаем вероятности:

55 <ul><li>СобытиеA - число нечётное. Вероятность выбрать именно его - 5/10.</li>

56 <li>СобытиеB - число делится на 7 без остатка. Вероятность - 1/10.</li>

57 </ul>Так как число 7 удовлетворяет обоим условиям, мы имеем дело с совместимыми событиями - то есть они могут происходить одновременно. Подключаем формулу: сначала находим сумму вероятностей, а потом вычитаем из неё вероятность пересечения. Внимание на экран:

58 Изображение: Skillbox MediaВуаля! Получается, что шанс выполнения одного из двух событий равен 11/20, или 55%.

59 На этом с алгеброй событий закончим и перейдём к более классическим формулам. Но не пугайтесь, мы всё подробно объясним.

60 Для начала - универсальная формула. Выглядит она так:

61 Изображение: Skillbox MediaРазберёмся, что значат все эти буквы:

62 <ul><li>ФункцияPвычисляет вероятность того, что произойдёт событие, которое нас устраивает (A);</li>

63 <li>m обозначает общее число возможных событий;</li>

64 <li>n - число благоприятных исходов.</li>

65 </ul>Например, попробуем вычислить по этой формуле вероятность выпадения решки:

66 Изображение: Skillbox MediaВсё в порядке, формула работает.

67 Давайте усложним задачу: посчитаем вероятность того, что решка выпадет три раза. Для этого нужно разбить событие на несколько уникальных - например, выпадение решки при первом, втором и третьем бросках. Обозначим эти события какB,Cи D.

68 Изображение: Skillbox MediaТак как эти события зависимы друг от друга, нам нужно их перемножить - для этого подставляем в нашу формулу числа:

69 Изображение: Skillbox MediaВсё верно - вероятность посчитали правильно.

70 Из этой формулы можно сделать несколько выводов:

71 <ul><li>Если вероятность равна единице - значит, она достоверная. Смысл в том, что из общего числа событий нам подходят все - то есть событие точно произойдёт.</li>

72 <li>Если вероятность равна нулю - значит, она невозможная. Всё из-за того, что нам не подходит ни одно из имеющихся событий.</li>

73 <li>Если вероятность находится в диапазоне от нуля до единицы - она случайная. Это значит, что общее число результатов больше нуля, но не все из них нам подходят.</li>

74 </ul>Теперь вы знаете достаточно, чтобы решать простые задачи по теории вероятностей, чем мы и займёмся в следующем разделе.

75 При решении задач используйте главную формулу теории вероятностей, а также формулы сложения и произведения вероятности событий.

76 Задача 1.В колоде 52 карты. Мы решили вытащить из неё одну - найдите вероятность того, что это будет туз.

77 Решение:

78 Расклад такой:

79 <ul><li>Число всех возможных событий - 52, так как в колоде 52 карты.</li>

80 <li>Число благоприятных событий - четыре, так как всего в колоде четыре туза.</li>

81 </ul>Вычислим вероятность того, что из всех карт нам попадётся именно туз:

82 Изображение: Skillbox MediaТеперь посчитаем сумму благоприятных событий:

83 Изображение: Skillbox MediaОтвет:4/52, или 1/13.

84 Задача 2.В кармане лежит шесть монет: две рублёвых, две пятирублёвых и две десятирублёвых. Мы по очереди достаём две из них случайным образом. Найдите вероятность того, что они обе будут одного номинала.

85 Решение:

86 Сначала мы достаём первую монету. Это может быть или рубль, или пять, или десять. Получается, вероятность достать монету любого номинала - 1/3.

87 Теперь достаём вторую монету - она должна быть того же номинала, что и первая. Так как только одна из них удовлетворяет нашим критериям, вероятность этого составляет 1/5. А так как наши события связаны друг с другом, перемножаем вероятности обоих:

88 Изображение: Skillbox MediaОтвет:1/15.

89 Задача 3.Вы бросаете игральные кости с шестью сторонами. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 7.

90 Решение:

91 Всего существует шесть различных комбинаций, которые дают сумму 7:

92 <ul><li>1 - 6;</li>

93 <li>2 - 5;</li>

94 <li>3 - 4;</li>

95 <li>4 - 3;</li>

96 <li>5 - 2;</li>

97 <li>6 - 1.</li>

98 </ul>Общее число возможных результатов при бросании двух костей равно6 × 6 = 36. Подставляем наши значения в формулу:

99 Изображение: Skillbox MediaОтвет:6/36, или 1/6.

100 Data Science с нуля: пробуем профессии на практике за 5 дней

101 Вы разберётесь в трёх главных направлениях data science: машинном обучении, разработке на Python и визуализации данных. Решите, какая сфера вам ближе, и выполните 4 реальные задачи с данными.

102 <a>Пройти бесплатно</a>

103 <a>Попробуйте data science на бесплатном курсеПройдите курс по data science и изучите 3 направления в работе с данными. Решите, в какой сфере хотите развиваться дальше, и получите ценные подарки. Пройти курс →</a>