Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>3 сен 2025</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Как решать линейные уравнения: правила, примеры и пошаговые алгоритмы</h2>

5 Ищем неизвестные переменные и уравниваем выражения.

6 Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media

7 Онлайн-журнал для тех, кто влюблён в код и информационные технологии. Пишем для айтишников и об айтишниках.

8 Линейные уравнения звучат скучно только в школьных задачниках. На деле они встречаются повсюду: от простых покупок до сложных моделей в программировании и науке. Например, вы покупаете в магазине 3 шоколадки по 50 рублей. Попытка найти общую сумму покупки - уже уравнение.

9 В этой статье рассказываем всё про линейные уравнения: какие они бывают, сколько в них может быть неизвестных, что называют корнем уравнения и как его найти.

10 Содержание

11 <ul><li><a>Что такое линейное уравнение</a></li>

12 <li><a>Виды линейных уравнений</a></li>

13 <li><a>Свойства линейных уравнений</a></li>

14 <li><a>Решение линейных уравнений</a></li>

15 <li><a>Частые ошибки при решении линейных уравнений</a></li>

16 <li><a>Где применяются линейные уравнения</a></li>

17 </ul>Линейное уравнение - это уравнение, в котором переменная не умножается сама на себя и не находится под корнем или в знаменателе.Переменная - это неизвестное число.

18 Простейшее линейное уравнение выглядит так:

19 Инфографика: Skillbox MediaВ линейном уравнении выше a и b - это числа, а x - неизвестная переменная. Переменную ещё называют корнем уравнения, а в математике часто можно встретить задачу"найти корень уравнения".

20 Корень линейного уравнения - это число, которое уравнивает две стороны уравнения - a * x и b. Например, если b = 2, то и a * x тоже должно равняться 2. Но если никак не получается уравнять две стороны, то обычно говорят:корней нет.

21 Инфографика: Skillbox MediaЛинейные уравнения бывают разных видов: с множеством чисел, с одной или несколькими переменными (корнями) и другие. Рассмотрим самые известные из них.

22 Простое представление линейного уравненияс одной переменной:

23 Инфографика: Skillbox MediaФормула решения такого уравнения выглядит так:

24 Инфографика: Skillbox MediaВажно учесть, что, так как мы b делим на a, a не должно быть равно нулю, потому чтона 0 делить нельзя.

25 Это применимо и к следующей расширенной вариации линейного уравнения с двумя числами и нулём:

26 Инфографика: Skillbox MediaНайти корень такого уравнения можно с помощью следующей формулы:

27 Инфографика: Skillbox MediaФормула похожа на предыдущую, но мы делим отрицательное число b на a, потому что при решении такого уравнения b переносится из левой в правую часть и меняет свой знак на противоположный.

28 Существует общее линейное уравнение с тремя числами a, b, c и одной переменной x. Такое уравнение называютлинейным уравнением общего вида:

29 Инфографика: Skillbox MediaФормула для его решения выглядит так:

30 Инфографика: Skillbox MediaСпособы решений и свойства линейных уравнений с одной неизвестной переменной тесно перекликаются. Из всего, что сказано выше, можно вынести следующие правила:

31 <ul><li>Если a ≠ 0, то уравнение имеет одно решение x = b / a.</li>

32 <li>Если a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений.</li>

33 <li>Если a = 0, а b ≠ 0, то уравнение не имеет решений.</li>

34 </ul>Кроме того, у линейных уравнений есть следующие свойства:

35 <ul><li>В линейном уравнении нет корней или степеней - переменная x всегда представлена в первой степени. То есть переменная не может иметь следующий вид: x², √x, 1/x.</li>

36 <li>При переносе элементов с одной стороны в другую через знак равенства знак меняется на противоположный. Например: 2x + 4 = 6 → 2x= 6 - 4.</li>

37 <li>Обе части линейного уравнения можно разделить или умножить на одно и то же число, при этом корень уравнения не изменится.</li>

38 <li>Любое линейное уравнение с одной неизвестной переменной можно привести к виду ax = b.</li>

39 </ul>Все изученные свойства мы далее применим на практике.

40 Пример 1

41 Найдите корень уравнения 2x = 6.

42 Решение

43 Решением этого уравнения будет формула x = b / a:

44 x = 6 / 2

45 Если 6 разделить на 2, то получится 3 - это и есть корень уравнения.

46 x = 3

47 Проверим равновесие сторон, подставив в x полученное число 3:

48 2 × 3 = 6

49 6 = 6

50 Левая и правая части равны, значит, линейное уравнение решено верно.

51 Как мы сказали выше в свойствах - левую и правую часть можно разделить или умножить на одно и то же число, чтобы упростить выражение. В этом примере мы можем разделить 2 и 6 на 2.

52 Инфографика: Skillbox MediaЕсли разделить 2x на 2, то мы получим 1x, то есть просто x. Если разделим 6 на 2, то получим 3. С помощью этого метода можно упрощать более сложные линейные уравнения.

53 Пример 2

54 Найдите корень уравнения 0x = b.

55 решение

56 Корнем такого уравнения может быть любое число. Какое бы число мы ни подставили в x, оно умножится на 0, и уравнение превратится в запись 0 = 0.

57 В таких случаях обычно говорят, что решений уравнения бесконечно много.

58 Пример 3

59 Найдите корень уравнения 0x = 5.

60 решение

61 При любом x стороны не будут равны. Проверим это, подставив в уравнение любое число, например 128.

62 0 × 128 = 5

63 0 ≠ 5

64 Ход решения верный, но ноль не равен пяти. Значит, у такого уравнения нет корней.

65 Пример 4

66 Найдите корень уравнения 2x + 3 = 11.

67 решение

68 Для уравнивания сторон сначала перенесём все числа в одну сторону, а все неизвестные переменные оставим в противоположной стороне:

69 2x = 11 - 3

70 2x = 8

71 Мы получили уравнение вида ax = b. Далее подставляем значения в формулу x = b / a

72 x = 8 / 2

73 x = 4

74 Проверим решение. Для этого заменим x в исходном уравнении на 11:

75 2 × 4 + 3 = 11

76 8 + 3 = 11

77 11 = 11

78 Стороны равны, а значит, у уравнения один корень - 11.

79 Пример 5.

80 Найдите корень уравнения 3x - 5 = 2x + 4.

81 решение

82 Для начала перебросим числа к числам, а "иксы" к "иксам":

83 3x - 2x = 4 + 5

84 Посчитаем левую и правую часть:

85 3x - 2x = 1x

86 Теперь перейдём к правой части:

87 x = 4 + 5

88 x = 9

89 Проверим решение. Для этого заменим x на корень, который мы нашли:

90 3 × 9 - 5 = 2 × 9 + 4

91 27 - 5 = 18 + 4

92 22 = 22

93 Всё сходится, значит, мы правильно нашли корень уравнения.

94 Рассмотрим распространённые ошибки, которые новички часто допускают при решении линейных уравнений.

95 При переносе чисел и переменных из одной части уравнения в другую знак меняется на противоположный. Например, в уравнении x - 5 = 10 при переносе отрицательное -5 станет положительным 5.

96 x - 5 = 10

97 x = 10 + 5

98 x = 15

99 15 - 5 = 10

100 10 = 10

101 В уравнении 2(x + 3) = 4x + 6 можно ошибочно сначала разделить левую и правую часть, а потом раскрыть скобки и решить уравнение вот так:

102 2(x + 3) = 4x + 6

103 x + 3 = 2x + 3

104 x = 0

105 Значение корня уравнения верное, но ход решения - нет. Даже если в этом случае мы случайно пришли к верному значению, в другом примере такая логика поломает весь пример и приведёт к путанице.

106 Правильно сначала раскрыть скобки, а потом уже делить все стороны. То есть вот так:

107 2(x + 3) = 4x + 6

108 2x + 6 = 4x + 6

109 2x = 0

110 x = 0

111 В уравнении выше можно сделать и другую ошибку. Допустим, вы правильно раскрыли скобки:

112 2(x + 3) = 4x + 6

113 2x + 6 = 4x + 6

114 После этого можно сократить запись, разделив обе части уравнения на одно число. Здесь лучше всего разделить на 2, так как все числа разделятся без остатка.

115 В этом случае надо внимательно производить деление, чтобы ничего не пропустить.

116 Рассмотрим, где применяют линейные уравнения:

117 <ul><li>В математике линейные уравнения - базовая часть алгебры. Их используют повсеместно, а уравнения с одной переменной - фундамент для более продвинутых тем: линейных уравнений с несколькими переменными, систем уравнений, графиков, функции и других.</li>

118 <li>Во многих алгоритмах в основе логики лежат линейные уравнения вида ax + b = c.</li>

119 <li>В быту с помощью линейных уравнений можно найти неизвестные данные. Представьте, что вы купили две футболки и отдали за них 3000 рублей. Одна футболка стоит 1200 рублей, а цену второй можно узнать с помощью уравнения.</li>

120 <li>В бизнесе с помощью линейных уравнений рассчитывают цены на товары и услуги. Например, клиент сдаёт в службу доставки x коробок. Доставка каждой коробки стоит 50 рублей, и надо ещё заплатить комиссию 2000 рублей. С помощью уравнения можно узнать, сколько всего коробок сможет отправить клиент на определённую сумму.</li>

121 </ul>Колледж Skillbox: продолжается приём документов

122 Освойте востребованные IT-навыки и начните зарабатывать раньше сверстников. Получите диплом о среднем специальном образовании без затрат на переезд, учась по гибкому графику.

123 <a>Узнать больше</a>

124 Цифровой колледж Skillbox

125 Среднее профессиональное образование онлайн по IT-профессиям.

126 Продолжается приём документов.

127 <a>Узнать больше</a>

128 <a>Цифровой колледж Skillbox →Востребованные профессии в IT и дизайне. Продолжается приём документов Бесплатная консультация</a>