Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>15 ноя 2023</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Фракталы: что это такое и какие они бывают</h2>

5 Начнём с того, что это не только красивые психоделические картинки, но и универсальный способ описать геометрию живой природы.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, музыкант. Знает Java, C# и Unity3D, но не собирается останавливаться на достигнутом.

8 Есть в математике вещи, настолько завораживающие своей красотой, что на них можно смотреть вечно. Одно из таких чудес - фракталы. Это фигуры, которые рекурсивно воспроизводят сами себя, создавая причудливые узоры в двух- и трёхмерном пространствах. Но дело не только в узорах: за этими картинками кроется целый подход к исчислениям и описанию живого мира.

9 Содержание

10 <ul><li><a>Что такое фрактал</a></li>

11 <li><a>Виды фракталов</a></li>

12 <li><a>Геометрические фракталы</a></li>

13 <li><a>Алгебраические фракталы</a></li>

14 <li><a>Стохастические фракталы</a></li>

15 <li><a>Фрактальные изображения</a></li>

16 <li><a>Фракталы в физике</a></li>

17 <li><a>Фракталы в природе</a></li>

18 </ul>Фрактал - это фигура, обладающая свойством самоподобия. Объект называют самоподобным, если одна или более его частей похожа на его целое. При этом количество повторяющихся частей у фрактала стремится к бесконечности - этим он отличается от самоподобных геометрических фигур с конечным числом звеньев (предфракталов).

19 Дерево Пифагора - пример фрактала, о котором мы расскажем далееИзображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaТермин "фрактал" ввёл в 1975 году американский математик Бенуа Мандельброт. За основу он взял латинское словоfractus, означающее "разделённый на части". Позже Мандельброт выпустил книгу "Фрактальная геометрия природы" (The Fractal Geometry of Nature), в которой представил новый метод описания сложных природных объектов на основе фракталов. Обычные, или евклидовы, фигуры с этой задачей не справлялись, ведь в природе не существует прямых линий, треугольников, квадратов кругов и так далее.

20 Однако о концепции фракталов было известно задолго до первых работ Мандельброта. Первую такую фигуру, которая вошла в историю как "множество Кантора" (позже мы расскажем про неё подробнее), открыл Георг Кантор в 1883 году. На её основе математик продемонстрировал и самоподобие, и рекурсию.

21 Позже учёные обнаружили рекурсию в объектах живой природы: деревьях, молниях, облаках и других. Оказалось, что структура таких объектов подобна структуре их частей, а значит, их можно описать неким математическим законом и не пытаться изобразить квадратами, кругами и другими классическими геометрическими фигурами.

22 Сегодня модели на основе фракталов применяются в физике, биологии, медицине и других науках. А учёные продолжают находить закономерности, связанные с ними, в самых разных явлениях нашей Вселенной.

23 Фракталы принято делить на геометрические, алгебраические и стохастические.

24 Геометрические- строятся на основе исходной фигуры, которая определённым образом делится и преобразуется на каждой итерации.

25 Алгебраические- строятся на основе алгебраических формул.

26 Стохастические - образуются в том случае, если в итерационной системе случайным образом изменяется один или несколько параметров.

27 Далее мы подробно разберём каждый класс.

28 Эти фигуры основаны на прямых линиях, квадратах, кругах, многоугольниках и многогранниках. Рассмотрим несколько примеров от самого простого к сложному.

29 В 1883 году Георг Кантор - немецкий математик, автор теории множеств - придумал множество, которое повторяло само себя снова и снова. Кантор взял произвольный отрезок и разделил его на две части, потом каждую - ещё на две и так далее:

30 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaКаждый этап деления прямых на две части называется итерацией.

31 Итерация - это повторение одного и того же действия, или, по аналогии с программированием, одно прохождение тела цикла. На первой итерации у нас был один отрезок, на второй мы получили два, на третьей - четыре и так далее. Если повторять это несложное действие бесконечное количество раз и увеличить масштаб изображения, то мы увидим ту же самую картину, что и в самом начале. Это и есть визуальное воплощение самоподобия:

32 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaИзображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaШведский математик Хельге Фон Кох в 1904 году описал кривую, воспользовавшись треугольником и методом самоподобия, в результате чего получилась фрактальная снежинка.

33 Ниже показаны четыре итерации построения такой фигуры. Слева изображены исходные кривые, а справа - получившаяся из этих кривых снежинка. Нетрудно заметить, что в снежинки идеально вписывается как равносторонний треугольник, так и сама кривая:

34 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaНа какой бы итерации мы ни увеличили масштаб изображения, мы всегда сможем увидеть знакомый паттерн, как и с множеством Кантора. Посчитать периметр такой снежинки невозможно, потому что она может разрастаться всё дальше и дальше… Это ещё одно свойство фракталов -бесконечность.

35 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaПольский математик Вацлав Серпинский брал за основу фрактала не только кривую, но и квадрат с треугольником.

36 Для начала рассмотрим, как "размножается" кривая Серпинского. При каждой итерации количество её копий увеличивается в четыре раза, а рисунок становится сложнее:

37 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaТреугольник же на каждом шаге дробится на три равные части:

38 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaКвадрат, или ковёр, Серпинского получается так же, как и треугольник, но исходная фигура делится на восемь квадратов. Уже на пятой итерации становится тяжело разглядеть отдельные квадраты:

39 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaИзображение: Blender / Лев Сергеев для Skillbox MediaКак уже говорилось ранее: геометрические фракталы могут строиться на основе многогранников, то есть быть объёмными.

40 Ковёр Серпинского в трёхмерном пространстве превратится в кубический многогранник. Такой фрактал называют губкой Менгера:

41 Изображение: Blender / Лев Сергеев для Skillbox MediaЕсли бы мы влетели внутрь такого фрактала и попытались приблизиться к любой из сторон, то заблудились бы и никогда из него не выбрались, потому что внутри губки Менгера скрыто бесконечное пространство! По такому же принципу можно смоделировать и трёхмерный треугольник Серпинского.

42 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaСледующую рекурсивную фигуру построил математик Альберт Босман в 1942 году. В её основе лежит знаменитая теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Полученный геометрический фрактал напоминает дерево, поэтому его и назвали деревом Пифагора.

43 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaЗнакомым с алгоритмами читателям дерево Пифагора может напомнить другое, бинарное дерево. В целом, бинарный поиск напоминает принцип Кантора, где на каждой итерации получается вдвое больше разветвлений (отрезков). Всё это - ещё одна иллюстрация самоподобия, о котором мы говорили ранее.

44 Алгебраические фракталы, в отличие от геометрических, основываются на формуле, а не на фигурах, но также рекурсивно итерируются. Выглядят они ещё более причудливо, чем те, что мы рассмотрели выше.

45 В 1905 году французский математик Пьер Фату описал множество, которое в 1970-х было впервые смоделировано Бенуа Мандельбротом (с ним мы уже знакомы) с помощью компьютера на комплексной плоскости:

46 В основе такого множества лежит формула:

47 гдеZи C -комплексные числа.

48 Остановимся на комплексных числах. Вы наверняка знаете, что извлекать квадратный корень из отрицательных чисел нельзя - это следует из того, что любое отрицательное число в квадрате является положительным.

49 Логика железная и справедливая, но лишь длядействительных чисел. Если не переходить на строгий математический язык, то к действительным относят все целые и дробные числа (в том числе периодические), которыми мы пользуемся в повседневных расчётах: 1, 0, -56,7, 1/3, 5/6, и так далее.

50 Помимо действительных, в математике есть ещё большее множество комплексных чисел, которые имеют следующий вид:

51 гдеaи b - это вещественные числа,

52 а i - мнимая единица, равная√-1.

53 Вот здесь-то и ломается привычная арифметика.

54 "Что за ересь?! Нас ведь с пятого класса учили, что из отрицательных чисел квадратный корень не извлечь", - скажете вы и будете правы! Да, такая запись на первый взгляд кажется парадоксальной, и многие математики на первых порах с подозрением относились к подобной "магии". Но именно она в XVI веке помогла решить некоторые проблемные кубические уравнения. А потом комплексные числа нашли применение и в других областях, например в тригонометрии.

55 Возвращаемся к нашему Мандельброту. Небольшая шпаргалка, чтобы напомнить, о чём шла речь:

56 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaСуть фрактала Мандельброта та же, что и у предыдущих: на каждой новой итерации мы используем значение функции из предыдущего шага. В результате получаются невероятные картины!

57 Приближаясь к любым координатам множества Мандельброта, вы увидите всё новые и новые бесконечные узоры, которые напоминают изначальный вариант. Рассматривать и изучать такие фракталы можно бесконечно.

58 Ниже пример, на котором мы приблизились всего лишь к одной точке фрактала Мандельброта:

59 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaМножество, созданное французом Гастоном Жюлиа, также основывается на формуле Фатуf (z) = z² + cи напоминает фрактал Мандельброта, но имеет некоторое математическое отличие, что влияет на конечный результат:

60 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaЕсли не углубляться в математические тонкости, можно сказать, что множество Мандельброта на каждой итерации использует новое значение параметраC, а Жюлиа оставил это значение на каждом новом цикле фиксированным. Поэтому при разных значенияхC, фрактал Жюлиа можно визуализировать по разному, например так:

61 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaЕсли в геометрических и алгебраических фракталах формула постоянна, то в стохастических она меняется - и не один раз. Изменение может проходить как по конкретному закону, так и произвольно, но в обоих случаях это приводит к фантастическому визуальному эффекту!

62 Следующее изображение основано на нескольких фрактальных формулах:

63 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaС помощью сложных стохастических законов учёные могут воспроизводить структуры объектов живой природы. Добавляя отклонения на различных итерациях к таким фракталам, как дерево Пифагора, или снежинка Коха, мы можем получить изображение наклонившейся листвы или сгенерировать сколько угодно неповторимых снежинок.

64 На принципе самоподобия основано целое направление в компьютерной графике. При таком подходе компьютер хранит не готовый объект, а лишь формулу его отрисовки, что значительно экономит память.

65 Таким образом, появляется возможность рисовать конкретные объекты и абстрактные 3D-модели, описывая лишь часть итогового изображения. Например, можно сгенерировать известный папоротник Барнсли, указав формулу для построения одной ветви, количество итераций и добавив хаотичные изменения на последующих итерациях:

66 Закон, описывающий папоротник БарнслиИзображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaИзображение, сгенерированное по формуле БарнслиИзображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaПринципы построения фракталов используются в физике, в таких разделах, как гидродинамика, физика плазмы, электродинамика и радиоэлектроника. Одно из самых заметных изобретений в этой области - фрактальная антенна,которая была разработана американским инженером Натаном Коэном в 1995 году.

67 Главное преимущество такой антенны заключается в её широком диапазоне рабочих частот. А ещё она занимает намного меньший размер, чем аналоги классической формы, и может выступать в качестве основы для подводных антенн.

68 Конструкция Коэна напоминает снежинку Коха:

69 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaВ 2000-х подобные антенны размером 30 × 40 мм стали использовать в мобильных устройствах. А чуть позже инженеры научились строить антенны на основе фракталов Серпинского, кривых Пеано и того же фрактала Коха.

70 Как уже было сказано ранее, стохастические фракталы подарили науке новый подход к описанию природных объектов и явлений. А всё потому, что горы, облака, молнии, реки, растения, клетки живых организмов и даже галактики обладают общим свойством самоподобия.

71 Вот, например, один из самых красивых фракталов в природе - капуста Романеско:

72 Капуста романескоФото: Reissaamme /<a>Pixabay.com</a>В реальной жизни фракталы встречаются практически на каждом шагу - достаточно выйти во двор оглядеться вокруг. Скажем, дерево Пифагора неслучайно получило своё название, ведь ветви деревьев ярче всего демонстрируют принцип самоподобия:

73 Фото: Лев Сергеев для Skillbox MediaВот ещё несколько примеров стохастических фракталов в листьях и растениях:

74 Фото: Лев Сергеев для Skillbox MediaСегодня фракталы широко используются в самых разных областях - от математики до искусства:

75 <ul><li>С их помощью описывают различные явления классической механики, гидродинамики, электродинамики и геофизики.</li>

76 <li>В телекоммуникациях они позволяют моделировать электромагнитные поля в сотовой и спутниковой связи.</li>

77 <li>В биологии - точно описывать структуру природных объектов, моделировать и предсказывать их поведение.</li>

78 <li>Медицина использует фракталы для исследования внутренних процессов в организме человека, изучения сердечного ритма, работы кровеносных сосудов и нервной системы.</li>

79 <li>В экономике на основе фракталов проводят анализ рынков и выявляют закономерности в поведении цен.</li>

80 <li>В трёхмерной графике их используют для создания сложных текстур и моделей, таких как деревья, облака и морские волны.</li>

81 <li>В искусстве и дизайне - когда нужно создать нестандартную "психоделическую" композицию, погрузить зрителя в новые измерения.</li>

82 </ul>Это лишь одни из многих способов применения фракталов. Область математики, которая занимается их изучением, довольно молодая, поэтому мы продолжаем наблюдать новые открытия по сей день.

83 <a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>