Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>4 сен 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Квадратичная функция и построение параболы: графики, формулы, свойства</h2>

5 Строим параболу и изучаем её свойства.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

8 Понятие "квадратичная функция" может звучать запутанно, но на самом деле это старая добрая парабола. В этой статье рассказываем, как построить график квадратичной функции, разбираемся, в каких сферах эти знания используют, а в качестве бонуса показываем, как автоматизировать построение параболы с помощью<a>Python</a>.

9 Содержание

10 <ul><li><a>Что такое квадратичная функция</a></li>

11 <li><a>Строим параболу</a></li>

12 <li><a>Визуализация на Python</a></li>

13 <li><a>Факты о параболе</a></li>

14 <li><a>Где используются квадратичные функции</a></li>

15 </ul>Функция в математике - это правило, которое сопоставляет каждому значению входной переменной одно-единственное значение выходной переменной. Например, функция может принимать на вход число (аргумент), возводить умножать его на установленный коэффициент и возвращать результат.

16 Функция записывается так:

17 y = f(x)

18 Её можно задать несколькими способами.

19 <ul><li>С помощью математической формулы, например y = x2.</li>

20 <li>С помощью таблицы с заданными парами входных и выходных значений:</li>

21 </ul><ul><li>Используя график на координатной плоскости. Каждая точка на графике соответствует паре значений (x, y), где y - это значение функции при данном x.</li>

22 </ul>График функции y = x2Инфографика: Skillbox Media<ul><li>С помощью словесного описания. Функцию описывают словами, объясняя, как каждое входное значение преобразуется в выходное. Например: "Возвести число в квадрат и вычесть 6" - описание функции y = x2 - 6.</li>

23 </ul>Квадратичная функция - особый вид математических функций, который в виде общей формулы записывается как y = ax2 + bx + c. Где:

24 <ul><li>x - переменная;</li>

25 <li>a, b, c - коэффициенты.</li>

26 </ul>⚠️ Важно

27 Коэффициенты квадратичной функции могут быть любыми числами, кроме коэффициента a, который не должен равняться нулю, иначе функция не будет квадратичной.

28 График квадратичной функции - парабола. Это незамкнутая симметричная кривая, имеющая две однонаправленные ветви, которые напоминают букву U. Через вершину параболы проходит вертикальная линия - ось симметрии.

29 Форма параболы и её расположение на координатной плоскости зависят от коэффициентов квадратичной функции y = ax2 + bx + c, которая её образует.

30 Коэффициент a(старший коэффициент). Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то вниз. С увеличением значения a парабола становится шире, с уменьшением - уже.

31 Графики квадратичных функций с разными старшими коэффициентамиИнфографика: Skillbox MediaКоэффициент b.Определяет положение вершины параболы, которая находится в точке с координатами (-b/2a, y(-b/2a)). Если b = 0, вершина находится на оси Y, как мы видим на предыдущем рисунке. Изменение коэффициента b смещает вершину по оси X. Увеличение b сдвигает параболу вправо, а уменьшение - влево.

32 В примере ниже вершина параболы для функции y = x2 + 2x находится в точке (-1, -1), а для функции y = x2 - 2x - в точке (-1, 1).

33 Графики функций с разными коэффициентами bИнфографика: Skillbox MediaКоэффициент c(свободный член). Определяет точку пересечения параболы с осью Y. При изменении коэффициента c график функции перемещается вдоль вертикальной оси Y, но его форма не меняется. В примере ниже мы видим, что при уменьшении c парабола сдвигается вниз, а при увеличении - вверх.

34 Перемещение графиков функций при изменении свободного членаИнфографика: Skillbox MediaПеред тем как построить параболу, надо найти точки пересечения графика функции y = ax2 + bx + c с осью X. Для этого нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.

35 Количество точек пересечения зависит от дискриминанта уравнения D = b2 - 4ac:

36 <ul><li>Если D > 0, то у графика будет две точки пересечения с осью X.</li>

37 <li>Если D = 0, вершина параболы соприкасается с осью X всего в одной точке.</li>

38 <li>Если D < 0, то парабола не пересекается с осью X.</li>

39 </ul>Чтобы построить график функции y = ax2 + bx + c, нужно:

40 <ul><li>Определить направление параболы, которое зависит от коэффициента a.</li>

41 <li>Найти вершину параболы - она находится в точке с координатами x = -b / (2a) и y = c - (b2) / (4a).</li>

42 <li>Найти ось симметрии - она проходит через вершину параболы параллельно оси Y.</li>

43 <li>Найти точки пересечения параболы с осью X.</li>

44 <li>Найти точку пересечения с осью Y.</li>

45 <li>Для большей точности можно добавить несколько дополнительных точек. Для этого нужно подставить несколько значений x в уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.</li>

46 </ul>Полученные точки нужно нанести на координатную плоскость и соединить между собой плавной линией.

47 Проще всего построить график функции y = x2 - x - 2 c помощью Python. Это быстрее, чем искать все значения вручную. Кроме того, полученный скрипт можно будет переиспользовать.

48 Для нашего кода будем использовать сторонние библиотеки - NumPy и Matplotlib. Первая нужна для некоторых математических функций, а вторая - для построения графика. Можно обойтись без NumPy, но тогда придётся потратить больше времени на реализацию сложных функций.

49 С помощью Python мы закодировали алгоритм построения параболы. Теперь в него можно просто подставить любые значения коэффициентов функции y = ax2 + bx + c и получить визуализацию на экране компьютера:

50 # Импортируем библиотеки import numpy as np import matplotlib.pyplot as pl # Задаём коэффициенты функции a = 1 b = -1 c = -2 # Определяем диапазон значений x x = np.linspace(-3, 3, 400) y = a * x**2 + b * x + c # Находим вершину параболы top_x = -b / (2 * a) top_y = a * top_x**2 + b * top_x + c # Построение графика pl.figure(figsize=(8, 6)) pl.plot(x, y, label='y = x^2 - x - 2', color='blue') pl.scatter([top_x], [top_y], color='red', zorder=5) # Вершина параболы pl.axvline(x=top_x, color='gray', linestyle='--', label='Ось симметрии') # Отметим точки пересечения с осями координат y_intercept = c # Корни уравнения для нахождения точек пересечения с осью x x_intercepts = np.roots([a, b, c]) pl.scatter([0], [y_intercept], color='green', label='Точка пересечения с осью y', zorder=5) pl.scatter(x_intercepts, [0, 0], color='purple', label='Точки пересечения с осью x', zorder=5) # Настройки графика pl.title('График квадратичной функции y = x^2 - x - 2') pl.xlabel('x') pl.ylabel('y') pl.legend() pl.grid(True) pl.axhline(0, color='black',linewidth=0.5) pl.axvline(0, color='black',linewidth=0.5) pl.show()Помимо самого графика, на рисунке автоматически отмечаются точки пересечения, вершина параболы и ось симметрии:

51 График квадратичной функцииИнфографика: Skillbox MediaПарабола представляет собой сечение конуса. Представьте конус с вершиной, направленной вверх. Возьмём плоскость, которая пересекает этот конус параллельно его образующей (линии, образующей боковую поверхность конуса). Линия пересечения конуса и плоскости будет параболой. Это хорошо видно на схеме ниже.

52 Парабола как сечение конусаИнфографика: Оля Ежак для Skillbox MediaВнутри параболы находится специальная точка - фокус. Она обладает интересным свойством: все лучи, параллельные оси симметрии и отражённые от параболы, проходят через эту точку.

53 Представьте себе параболическое зеркало, например отражатель в фонарике. Когда световой луч исходит из фокуса параболы и отражается от её поверхности, он выходит параллельно оси симметрии параболы. Обратное тоже верно: параллельные лучи, попадающие на параболу, будут отражаться в направлении фокуса.

54 Инженеры часто используют фокус параболы в различных областях. Например, спутниковая тарелка собирает сигнал в точке фокуса, в которой находится специальный приёмник. Также параболические зеркала используются в автомобильных фарах, чтобы направить световой луч прямо на дорогу. Аудиоинженеры применяют параболические поверхности в акустике, чтобы звук, отражаясь, сходился в определённой точке.

55 Квадратичные функции часто встречаются в повседневной жизни и в науке. Например:

56 <ul><li>Траектория движения объекта, брошенного под углом, описывается квадратичной функцией. Так, путь, который описывает мяч, брошенный вверх и падающий обратно на землю, имеет форму параболы.</li>

57 <li>Квадратичные функции применяются при проектировании арок и мостов. Им придают параболическую форму, обеспечивающую прочность и устойчивость.</li>

58 <li>Квадратичные функции используются для моделирования доходов и затрат в экономике. Например, функция прибыли часто бывает квадратичной, где максимальная прибыль достигается в вершине параболы.</li>

59 </ul><ul><li>Квадратичная функция - это функция вида y = ax2 + bx + c, где a, b и c - коэффициенты и a ≠ 0.</li>

60 <li>График квадратичной функции - парабола, которая может быть направлена вверх (если a > 0) или вниз (если a < 0).</li>

61 <li>Влияние коэффициентов: a определяет ширину параболы и её направление (вверх или вниз), b влияет на смещение параболы по оси X, c определяет точку пересечения с осью Y.</li>

62 <li>Вершина параболы - это её наивысшая или наинизшая точка.</li>

63 <li>Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы .</li>

64 <li>Пересечение с осью Y находится в точке (0, c).</li>

65 <li>Пересечения с осью X - это корни уравнения ax2 + bx + c = 0.</li>

66 </ul><a>Научитесь: Математика для Data Science Узнать больше</a>