Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>16 июн 2023</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Числа Фибоначчи: для чего нужны и почему так популярны</h2>

5 Их проходят почти на каждом курсе по программированию, но не объясняют, зачем они нужны. Пришло время в этом разобраться.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.

8 Тысячу лет назад люди увлекались вовсе не нейросетями, а числами и их свойствами. Так, в XII веке главным трендом были загадочные числа Фибоначчи, следы которых и сейчас можно найти практически везде: от расположения лепестков на дереве до формы ураганов и галактик.

9 Давайте узнаем, откуда появились эти числа, зачем они нужны и что нам с ними делать.

10 Числа Фибоначчи - это последовательность чисел, которые задаются по определённому правилу. Оно звучит так: каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Первые два числа заданы сразу и равны 0 и 1.

11 Вот как выглядит последовательность Фибоначчи:

12 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, … , ∞

13 Длиться этот числовой ряд может бесконечно, но для большинства задач обычно хватает первых десяти чисел:

14 <ul><li>первое - 0;</li>

15 <li>второе - 1;</li>

16 <li>третье - 1;</li>

17 <li>четвёртое - 2;</li>

18 <li>пятое - 3;</li>

19 <li>шестое - 5;</li>

20 <li>седьмое - 8;</li>

21 <li>восьмое - 13;</li>

22 <li>девятое - 21;</li>

23 <li>десятое - 34.</li>

24 </ul>Ну умеем мы складывать числа друг с другом, и что с того? Можно придумать ещё несколько таких же последовательностей - например, где следующее число будет равно сумме трёх или четёрых предыдущих. Как это пригодится в науке и технике? Но обо всём по порядку.

25 Для начала - заберёмся чуть глубже в историю.

26 Первым эту последовательность описал итальянский учёный Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи. Он жил в XII веке и усердно изучал работы античных и индийских математиков. В них Леонардо нашёл много полезных знаний - например, что десятичная система удобнее, чем<a>римская нотация</a>, и что по ней проще считать.

27 Портрет Леонардо ПизанскогоИзображение: I benefattori dell’umanita. L. Ducci e C., 1850 / National Library of Naples / Icas94 / DeAgostini / Getty ImagesПолученные знания Леонардо систематизировал в своём главном труде - "<a>Книге абака</a>". Там же появилось и первое упоминание о числах Фибоначчи - как ни странно, в контексте решения задачи о кроликах:

28 Задача о размножении кроликов

29 В огороженный загон посадили двух кроликов - самку и самца. Каждый месяц пара являет миру ещё одну пару кроликов. Вопрос: сколько пар кроликов будет в загоне через год?

30 Конечно, решить эту задачу не так просто, потому что на размножение кроликов влияет много факторов - например, они могут умереть или убежать. Поэтому Леонардо ограничил задачу такими условиями:

31 <ul><li>кролики не могут умереть;</li>

32 <li>они достигают половой зрелости за месяц;</li>

33 <li>самки беременны ровно месяц;</li>

34 <li>кролики всегда рождаются парами: самка + самец.</li>

35 </ul>Теперь задачу вполне можно решить: ответом на неё как раз будет последовательность Фибоначчи. Логика такая: каждая взрослая пара кроликов будет создавать ещё одну пару через месяц после рождения. Эти кролики-дети будут расти месяц, а потом размножаться с другими кроликами. И так двенадцать месяцев.

36 Чуть лучше этот процесс можно представить с помощью этой схемы:

37 Инфографика: Magicleaf / Shutterstock / Майя Мальгина для Skillbox MediaСмотрите, первая пара кроликов ещё совсем молодая, поэтому пока не может дать потомство. Но уже через месяц кролики подрастут и смогут размножаться - соответственно, на третий месяц пар будет уже две. Дальше количество пар будет равняться сумме пар за два предыдущих месяца, и последовательность примет уже знакомый нам вид:

38 Изображение: Skillbox MediaПолучаем ответ на задачу: 233 пары кроликов.

39 И в этом весь смысл чисел Фибоначчи - считать кроликов в загоне? Нет! Оказывается, Леонардо лишь приоткрыл дверь в возможности этой последовательности. Основное применение она нашла в математике, архитектуре и искусстве.

40 Архитекторы античных и средневековых городов много времени уделяли идеальным пропорциям. Они хотели создавать красивые постройки, которыми бы наслаждались все жители города. Так появилось понятие золотого сечения.

41 Золотое сечение - это число, которое помогает делить вещи на красивые части. Оно равно примерно 1,618. Золотое сечение можно найти так: если взять два отрезка чего-то, то большой отрезок должен быть в 1,618 раза больше маленького отрезка, а вся вещь должна быть в 1,618 раза больше большого отрезка. Это число называется "фи" и пишется так: φ.

42 Если коротко, когда мы слышим о золотом сечении - речь идёт о чём-то привлекательном и пропорциональном. Например, с помощью золотого сечения спроектированы знаменитые архитектурные сооружения прошлого:

43 Храм Парфенона на Акрополе в Афинах имеет гармоничные пропорции между различными элементами - например, между колоннами, фронтоном и педиментомИзображение: Dimitris Koskinas / Shutterstock / Skillbox MediaПирамида Хеопса в Гизе тоже построена на основе золотого сечения. Например, отношение высоты пирамиды к её основанию равно примерно 1,618Изображение: Anton Belo / Shutterstock / Skillbox MediaВернёмся к числам Фибоначчи. Оказывается, отношение каждого числа к предыдущему примерно равно значению золотого сечения. Правда, на первых числах последовательности этого не будет заметно:

44 Изображение: Skillbox MediaНо если мы возьмём, например, тридцать первое число и поделим на тридцатое, то получим следующее:

45 Изображение: Skillbox MediaИ ещё пара тысяч знаков после запятой. Оно очень похоже на значение золотого сечения, но всё же не равно ему точно. А чем дальше мы идём по числам, тем ближе к нему будет приближаться это отношение.

46 Золотое сечение используется не только в архитектуре, но и, например, в фотографии, живописи и дизайне. Даже некоторые интерфейсы сайтов сделаны по этим принципам:

47 Лендинг одного сайта, который сделан по принципам золотого сеченияИзображение:<a>tubik</a>/ DribbbleНо и на этом применение последовательности Фибоначчи не заканчивается. Дальше мы узнаем, как эти числа использует сама природа и какое применение они нашли в программировании.

48 Числа Фибоначчи нашли своё применение не только в математике, но и в других науках и даже в творчестве. Они описывают природные явления и помогают людям больше зарабатывать на акциях. Давайте посмотрим поближе на всё это.

49 Первое, на чём можно проследить последовательность Фибоначчи, - это растения, а конкретно - подсолнух. Скорее всего, вы видели его в детстве и, возможно, даже пробовали жарить семечки на сковородке.

50 Оказывается, семена внутри цветка расположены в виде двух рядов спиралей - коротких и длинных. Первые наклонены по часовой стрелке, а вторые - против. Смысл в том, что количество коротких спиралей в подсолнухе равно 21, а длинных - 34. А это как раз соседние числа в последовательности Фибоначчи.

51 По часовой стрелке семян - 34 штуки, а против - 21Фото: NataBystrova / ShutterstockИзображение: NataBystrova / Shutterstock / Skillbox MediaЕщё числа Фибоначчи можно встретить, если посмотреть на стебли и ветви деревьев. Каждая ветвь создаёт новые ветви, количество которых равно следующему числу в последовательности Фибоначчи.

52 Количество стеблей на ветвях дерева равно следующему числу в последовательности чисел ФибоначчиИнфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaЕсли говорить о золотом сечении, то по нему закручиваются панцири улиток, вихри ураганов и даже некоторые галактики. Если ещё не убеждены, что мы живём в матрице, то вот доказательства:

53 По принципу золотого сечения закручиваются ураганыИзображение: NASA / Skillbox MediaИ даже галактики!Изображение: NASA / Skillbox MediaКак видите, природа прямо-таки пронизана магией чисел Фибоначчи, причём на всех уровнях: от семян подсолнуха до далёких галактик. Поэтому не стоит удивляться, если вдруг встретите эту последовательность где-нибудь в привычном для вас месте.

54 Мы уже рассказали, как некоторые архитекторы древности и античности использовали числа Фибоначчи для создания известных построек. Давайте теперь поговорим и о других сферах искусства.

55 Часто художники используют золотое сечение, чтобы эстетично располагать объекты на картине и создавать гармоничные образы. Фотографы пользуются такими же хитростями:

56 Такой кадр может сделать любой человек - и изображение получится пропорциональным и приятным глазуИзображение: lehic / Shutterstock / Skillbox MediaЕщё числа Фибоначчи помогают создавать более пропорциональные лица, фигуры людей и другие элементы. Так картины приобретают реалистичный вид:

57 Фреска Микеланджело "Сотворение Адама" - наверное, одна из самых популярных картин, созданных по принципам золотого сечения. Написана около 1511 годаИзображение: Микеланджело Буонарроти, "Сотворение Адама", около 1511 г. /<a>Vatican Museums</a>Дизайнеры тоже подхватили эту идею и начали использовать золотое сечение в своих макетах. Например, по этим правилам можно создавать более приятные глазу логотипы. В той же Apple, к слову, давно поняли, что золотое сечение - это круто. В её фирменном знаке как раз используются повторяющиеся спирали, навеянные числами Фибоначчи.

58 Изображение: AppleДревние греки одними из первых углубились в эту тему. Для них золотое сечение было символом красоты и гармонии. На этих принципах они даже разработали понятие канонических пропорций, которые легли в основу, например, известных античных скульптур богов, героев и атлетов.

59 Самый яркий пример - статуя Давида работы Микеланджело.

60 Идеальное тело по мнению древних греков: высота головы должна относиться к длине туловища, как длина ноги относятся к высоте всего телаИзображение: Jörg Bittner Unna / Wikimedia Commons / Skillbox MediaОднако золотое сечение - это вовсе не панацея и универсальный канон красоты. Хотя некоторые исследования<a>показывают</a>, что существует сходство между золотым сечением и аспектами человеческого тела, такими как пропорции лица и тела. Но прямых доказательств нет, потому что красота - неизмерима.

61 А теперь давайте разберёмся, как последовательность Фибоначчи себя чувствует в естественной среде обитания - то есть в сферах, связанных с логикой и вычислениями.

62 Финансы и биржевая торговля.Трейдеры используют числа Фибоначчи для анализа изменений на рынке. Они помогают определить, когда цена акции может вырасти или упасть.

63 В финансах и так всё сложно, а тут ещё и числа ФибоначчиКадр:<a>Warrior Trading</a>/ YouTubeТрейдеры применяют эту последовательность в виде так называемых Фибоначчи-уровней, которые строятся на графике, чтобы определить потенциальные возможности для роста и падения стоимости акции.

64 Уровни Фибоначчи помогают трейдерам определить места, где цена может расти или падать. Чаще всего это происходит на трёх уровнях - 38,2%, 50% и 61,8%. Однако это работает не всегда точно, потому что на цену могут повлиять случайные факторы - например, внезапная пандемия.

65 Программирование.Здесь последовательность Фибоначчи используют для создания криптографических алгоритмов и 3D-моделей. А ещё, конечно же, лекторы часто добавляют в свои курсы задачки на нахождение этих чисел ?

66 Вот как алгоритм выглядит на языке Python. Функция принимает на вход номер числа в последовательности, а выдаёт - само число Фибоначчи.

67 def fib(n): if n in (1, 2): return 1 return fib(n - 1) + fib(n - 2) print (fib(10)) # Выведет 55Работает функция так:

68 <ul><li>Получает на вход номер числа в последовательности Фибоначчи, которое мы хотим найти.</li>

69 <li>Далее смотрит на базовые случаи - первое или второе число последовательности. Тогда функция сразу возвращает единицу.</li>

70 <li>Если номер числа Фибоначчи больше двух, алгоритм возвращает сумму двух предыдущих чисел последовательности - или значение этой же функции, но с меньшими аргументами. Это называется рекурсией.</li>

71 <li>Функция будет вызывать сама себя, пока не встретится базовый случай. Тогда она передаст значение по цепочке вверх и рекурсия закончится.</li>

72 </ul>Рекурсия может показаться запутанной. Поэтому мы сделали отдельную статью, где<a>рассказываем</a>основные принципы на жизненных примерах.

73 Специалисты по криптографии используют числа Фибоначчи, чтобы генерировать псевдослучайные числа. Приставка "псевдо" используется потому, что эти числа не являются по-настоящему случайными и с какого-то момента начинают повторяться.

74 Генераторы псевдослучайных чисел применяют для создания ключей шифрования, криптографических хеш-функций и протоколов. Смысл в том, что последовательность Фибоначчи обладает свойством непредсказуемости и значения функций не повторяются до определённого момента.

75 Когда мы готовили этот материал, наш редактор вспомнил диалог из старой детской книжки "<a>В лабиринте чисел</a>" - кажется, он идеально подходит для финала статьи о числах Фибоначчи.

76 Приводим его полностью:

77 Чит недоумённо пожал плечами. Ряд как ряд! Что в нём интересного?

78 - Не скажи, - живо возразила Ари. - У чисел Фибоначчи куча удивительных свойств. Взять, например, дерево - из тех, что ветвятся ежегодно. Если на втором году жизни у него два ответвления, то на третьем их уже будет три, на четвёртом - пять, на пятом - восемь, на шестом - тринадцать и так далее. А ведь всё это числа Фибоначчи! С тем же рядом связано и расположение листьев на ветке, и количество завитков, образованных семечками подсолнуха, чешуйками сосновой шишки или ананаса… Как видишь, природа широко пользуется числами Фибоначчи.

79 - A люди? - неожиданно выпалил Чит. - Они-то ими пользуются?

80 - - Где людям угнаться за природой! Долгое время о числах Фибоначчи просто не знали. Но и потом они оставались безработными много столетий. И только в нынешнем, двадцатом веке им нашлось наконец дело. Во-первых, подобно булевой алгебре и теории множеств, числа Фибоначчи используются в вычислительных и думающих машинах. Во-вторых, с их помощью были решены некоторые математические задачи. Ну да о них ты узнаешь в своё время. Как ещё сработает этот удивительный числовой ряд, сказать трудно. Ясно одно: бесполезных открытий не бывает.

80 + - Где людям угнаться за природой! Долгое время о числах Фибоначчи просто не знали. Но и потом они оставались безработными много столетий. И только в нынешнем, двадцатом веке им нашлось наконец дело. Во-первых, подобно булевой алгебре и теории множеств, числа Фибоначчи используются в вычислительных и ду��ающих машинах. Во-вторых, с их помощью были решены некоторые математические задачи. Ну да о них ты узнаешь в своё время. Как ещё сработает этот удивительный числовой ряд, сказать трудно. Ясно одно: бесполезных открытий не бывает.

81 <a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>