Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>4 апр 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Иррациональные числа: определение, свойства и примеры</h2>

5 Числа, на которые можно смотреть бесконечно.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, музыкант. Знает Java, C# и Unity3D, но не собирается останавливаться на достигнутом.

8 Числами можно описать всё в мире, и мы с вами имеем дело с ними повсеместно. Но есть такие числа, величину которых по сей день невозможно определить точно - они называются иррациональными. Их открыли ещё в VII веке до нашей эры, когда древние математики поняли, что не из всех натуральных чисел можно извлечь квадратный корень.

9 Сегодня мы узнаем, что такое иррациональные числа, чем они отличаются от остальных, а также посмотрим на них в коде на Python.

10 Главное об иррациональных числах

11 <ul><li><a>Определение</a></li>

12 <li><a>Свойства</a></li>

13 <li><a>Отличия от рациональных чисел</a></li>

14 <li><a>Использование в геометрии</a></li>

15 <li><a>Примеры работы на Python</a></li>

16 <li><a>Повторим пройденное</a></li>

17 </ul>Эксперт Skillbox по компьютерным сетям и кибербезопасности. Автор телеграм-канала "<a>Кудрявый микрофон</a>".

18 Иррациональное число - это число, которое невозможно представить в виде дробиm/n, гдеm - целое число, а n - натуральное. Это определение довольно сухое и формальное - сейчас объясним понятнее.

19 Изображение: Skillbox MediaПростыми словами, иррациональное число - этобесконечная непериодическая дробь. "Бесконечная" означает, что у дроби есть бесконечное количество цифр после запятой. "Непериодическая" - что у этих цифр нет никакой повторяющейся закономерности.

20 Например, число√2 - иррациональное. Если попробовать извлечь из него корень с помощью калькулятора, получится число 1,4142135623… Цифры после запятой будут высчитываться бесконечно, а в их последовательности не будет никакой логики.

21 Другие примеры иррациональных чисел:

22 <ul><li>Число Пи: π = 3,1415926535…</li>

23 <li>Число Эйлера: e = 2,7182818284…</li>

24 <li>Золотое сечение: φ = 1,6180339887…</li>

25 <li>√2 = 1,4142135623…</li>

26 <li>√3 = 1,7320508075…</li>

27 <li>√5 = 2,2360679774…</li>

28 <li>√7 = 2,6457513110…</li>

29 <li>√11 = 3,3166247903…</li>

30 </ul>☝Интересный факт

31 Впервые иррациональное число √2 обнаружил один из учеников Пифагора, когда пытался найти гипотенузу равностороннего треугольника. Это открытие пошатнуло строгие законы математики, которая прежде считалась исключительно точной наукой. Стоит ли говорить, что бесконечные числа в это мировоззрение уж точно не вписывались.

32 Ещё один известный пример иррационального числа - число π (Пи). Учёные и по сей день соревнуются в попытках вычислить максимальное количество знаков после запятой у этого числа. Так, в 2022 году команда разработчиков из Google<a>побила</a>мировой рекорд, вычислив около 100 трлн знаков, в которых всё так же не находилось повторяющегося периода.

33 Так как иррациональные числа бесконечны, чисто гипотетически в нём рано или поздно можно встретить свой номер телефона, дату рождения или какую-либо закодированную информацию бесконечное количество раз.

34 Первые 500 знаков после запятой числа Пи Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaРациональныечисла - это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби - то есть деления двух целых чисел. Например, 0,5 можно записать как 5/10, а 6 - как 6/1.

35 Если в этих дробях разделить числитель на знаменатель, у нас получится ясный и предсказуемый результат - либо целое число, либо десятичная дробь. В крайнем случае, на выходе будет бесконечная периодическая дробь - такая, где есть повторяющееся значение после запятой.

36 Иррациональные числаустроены по-другому. Как бы вы ни старались, оно всегда будет принимать форму бесконечной непериодической дроби. Что-то вроде уже знакомого нам числа Пи: 3,1415926535… Поэтому их нельзя представить в виде дроби - просто нет двух чисел, которые при делении давали бы такого монстра :)

37 А вообще, оба вида чисел - иррациональные и рациональные - вместе образуют множество вещественных чисел. Это все числа, которые мы используем при повседневных расчётах. За пределами этого "пузыря" есть и другие числа - например, мнимые, но это уже тема для отдельной статьи.

38 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaУ иррациональных чисел, как и у любых других, есть свои свойства. Давайте пройдёмся по каждому из них.

39 1. Если сложить иррациональное число с рациональным, получится иррациональное число:

40 π + 2 = 3,1415926535… + 2 = 5,1415926535…

41 √2 + 3 = 1,4142135623… + 3 = 4,4142135623…

42 Это же правило действует и при вычитании:

43 π - 3 = 3,1415926535… - 3 = 0,1415926535…

44 √7 - 1,645 = 2,6457513110… - 1,645 = 1,0007513110…

45 2. Если умножить иррациональное число на рациональное, получится иррациональное число:

46 π ∙ 8 = 3,1415926535… ∙ 8 = 25,1327412287…

47 √5 ∙ 3 = 2,2360679774… ∙ 3 = 6,7082039324…

48 3. Если вычесть одно иррациональное число из другого, может получиться рациональное или иррациональное число:

49 π - π = 3,1415926535… - 3,1415926535… = 0

50 √3 - √2 = 1,732050807… - 1,4142135623… = 0,3178372451…

51 4. При сложении или умножении двух иррациональных чисел может получиться рациональное или иррациональное число:

52 π + π = 3,1415926535… + 3,1415926535… = 6,2831853071… = 2π

53 √3 ∙ √27 = √81 = 9

54 Иррациональное значение можно встретить, вычисляя длину гипотенузы единичного равностороннего треугольника. Это такой треугольник, где оба катета равны единице. Если мы попробуем вычислить гипотенузу такого треугольника, то получим иррациональное число - √2.

55 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaДругой пример - вычисление длины окружности, которое невозможно без иррационального числа π (Пи). Для этого диаметр окружности умножается на число Пи: L = πD = 2πr, где L - длина окружности, D - диаметр, r - радиус. Из этого можно сделать вывод, что число Пи - это длина окружности, разделённая на её диаметр.

56 Изображение: Лев Сергеев для Skillbox MediaВыведем некоторые иррациональные значения в консоль на языке Python. Для этого нам понадобится математический модуль math, для работы с константами и извлечением корня, а также модуль и класс Decimal, для более точного исчисления. Импортируем эти объекты для начала работы:

57 import math import decimal from decimal import DecimalВ модуле math уже имеются для работы три константы - число Пи, два Пи и число Эйлера. Вывести их на экран довольно просто:

58 # Число Пи print(math.pi) # Два Пи print(math.tau) # Число Эйлера print(math.e)3.141592653589793 6.283185307179586 2.718281828459045Вы можете заметить, что количество знаков после запятой всего 15, хотя эти значения иррациональны. Это связано с тем, что тип данных переменных является float, и большее значение он хранить не может.

59 Попробуем извлечь квадратный корень из 2 с помощью функции sqrt () модуля math и специального оператора возведения в степень**:

60 print(math.sqrt(2)) print(2 ** 0.5) 1.4142135623730951 1.4142135623730951Оба способа работают одинаково, но вывод ограничивается 16 знаками. Чтобы увеличить точность, воспользуемся классом Decimal. Для этого поместим объект в переменную x, зададим ему параметр prec (precision - точность), например 10000, и вызовем метод sqrt () для этой переменной:

61 x = Decimal(2) decimal.getcontext().prec = 10000 print(x.sqrt()) # Извлечение корня1.41421356237309504880168872420969807856967…// 10000 знаковМы получили 10 000 знаков после запятой при извлечении квадратного корня из 2. Таким же образом можно поиграться и с другими иррациональными значениями:

62 print(Decimal(3).sqrt()) print(Decimal(11).sqrt()) print(Decimal(17).sqrt()) print(Decimal(math.pi).sqrt())1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628… 3.316624790355399849114932736670686683927088545589353597… 4.123105625617660549821409855974077025147199225373620434… 1.772453850905515992751519103139248439290428205003682302…И напоследок вычислим иррациональное число Пи, используя характеристики нашей планеты. Длина окружности Земли составляет примерно 40 075,017 километров, а её диаметр - 12 756 километров. Зная формулу длины окружности L = πD, можно легко выйти на таинственное число Пи - π = L/D:

63 # Длина окружности Земли L = Decimal(40075.017) # Диаметр Земли D = Decimal(12756) # Вычисляем число Пи pi = L / D print(pi)3.141660159924741284523127724960628592059619002822201317…У нас получилось примерное число Пи, где точность после запятой совпала на три знака, потому что изначальные данные лишь приблизительные. Но в целом получились всё то же иррациональное число с бесконечным периодом.

64 Из этой статьи мы узнали, что такое иррациональные числа, какие у них есть свойства, и даже увидели кусочек бесконечного хаоса в консоли на Python :)

65 Повторим основные моменты:

66 <ul><li>Иррациональные числа - это бесконечные десятичные дроби с неповторяющимся значением после запятой.</li>

67 <li>Этим они отличаются от рациональных чисел, которые тоже могут быть бесконечными дробями, но всегда содержат повторяющийся период после запятой.</li>

68 <li>При этом оба вида чисел относятся к одному и тому же множеству вещественных чисел.</li>

69 <li>Самый известный представитель иррационального множества - число Пи (π = 3,141592…). Чаще всего оно используется в геометрии для нахождения длины окружности.</li>

70 - <li>К иррациональным числам применимы все математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.</li>

70 + <li>К иррациональным числам применимы все математические операции: сложение, вычитание, умножение, дел��ние, возведение в степень и извлечение корня.</li>

71 </ul><a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>