Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#подборки</a>

2 <ul><li>23 янв 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Рациональные числа: определение, свойства и примеры</h2>

5 Повторяем азы школьной математики и учимся применять их в коде на Python.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, музыкант. Знает Java, C# и Unity3D, но не собирается останавливаться на достигнутом.

8 Миром правят числа! Так однажды сказал Пифагор, и у нас нет оснований с ним спорить. Вопрос лишь в том, что это за числа. Например, натуральными числами вы никогда не опишете отрицательный баланс на карточке или, скажем, точный показатель скорости света. Здесь нужна артиллерия помощнее - то есть рациональные числа.

9 Сегодня мы узнаем, что это за числа такие, зачем они нужны и как появились. Статья будет полезна не только студентам, штудирующим базу перед экзаменами, но и новичкам в IT - в конце мы посмотрим, как работать с рациональными числами на языке Python.

10 Из этой статьи вы узнаете:

11 <ul><li><a>что такое рациональные числа</a>;</li>

12 <li><a>чем они отличаются от остальных</a>;</li>

13 <li><a>какие у них есть свойства</a>;</li>

14 <li><a>как работать с рациональными числами в Python</a>;</li>

15 <li><a>резюме: что нужно запомнить</a>.</li>

16 - </ul>Рациональные числа - это все числа, которые можно представить в виде дробиm/n, где числительm - это целое число, а знаменательn - натуральное. Мн��жество рациональных чисел обозначается латинской буквойQ.

16 + </ul>Рациональные числа - это все числа, которые можно представить в виде дробиm/n, где числительm - это целое число, а знаменательn - натуральное. Множество рациональных чисел обозначается латинской буквойQ.

17 Изображение: Skillbox MediaНапример, число 0,5 можно представить как дробь 5/10 или ½, а значит, оно является рациональным. Математически это записывается как 0,5 ∈ Q.

18 Любое целое число тоже можно считать рациональным - ведь мы можем представить его в виде дроби. Например, число 5 можно записать как 5/1. Технически это будет неотличимо от деления 5 на 1, в результате которого получится та же самая пятёрка.

19 Изображение: Skillbox MediaНоль также относится к рациональным числам, потому что его мы тоже можем представить в виде дроби. Так как на ноль делить крайне не рекомендуется, знаменатель у ноля тоже не может быть меньше единицы. Проиллюстрировать это можно на примере пиццы: сначала у нас было 7 из 8 кусков, то есть дробь 7/8, а когда всё съели - стало 0/8:

20 Изображение: Skillbox MediaБесконечные периодические дроби также относятся к рациональным числам. Например, если мы возьмём дробь 1/7 и попытаемся перевести её в обычный вид - то есть разделим 1 на 7, - то получим 0,14285714285714… Последовательность после запятой (период) 142857 будет повторяться до бесконечности, но при обратной операции мы снова получим дробь 1/7, а значит, это также относится к рациональному множеству.

21 Если после запятой у дроби нет никакой повторяющейся последовательности, то число уже называетсяиррациональным. Например √2 = 1,41421356237… Ещё один пример - знаменитое число π ("пи") - 3,1415926535…

22 Примеры рациональных чисел:

23 <ul><li>Целое положительное натуральное число 1 - это 1/1.</li>

24 <li>Целое число 0 - это 0/1.</li>

25 <li>Целое отрицательное число -5 - это -5/1.</li>

26 <li>Десятичная дробь 0,25 - это 25/100.</li>

27 <li>Отрицательная десятичная дробь -0,75 - это -75/100.</li>

28 <li>Смешанное число 3,25 - это 13/4.</li>

29 <li>Бесконечная периодическая дробь 0,333… - это 1/3.</li>

30 </ul>Чтобы лучше разобраться в специфике рациональных чисел - краткий ликбез по математическим множествам.

31 Начнём с натуральных чисел. К ним относятся все положительные числа: от 1 до бесконечности - ноль в этот список не входит. Натуральные числа мы используем, чтобы посчитать что-то материальное: одна монета, два фломастера, пять машин. Этот вид чисел - самый древний, его использовали для расчётов ещё первобытные племена.

32 Целые числа - все натуральные числа, противоположные им (то есть отрицательные), а также ноль. Считается, что такие числа впервые стали использовать в Древнем Китае и Древней Индии для математического обозначения долга.

33 Следующее множество -рациональныечисла. Это все натуральные и целые числа, а также дроби: обыкновенные, конечные десятичные и бесконечные периодические. Периодические - это такие дроби, где одна или группа цифр после запятой повторяются, например 0,161616… Если этого повтора нет, то число уже зовётсяиррациональным.

34 Иррациональные и рациональные числа, в свою очередь, образуют новое множество - вещественные числа. Визуально это можно представить так:

35 Изображение: Skillbox MediaКак и у любых других объектов в математике, у рациональных чисел есть свои свойства. Во всех примерах нижеa,bи cявляются рациональными числами.

36 1️⃣Переместительное свойство.От перемены мест слагаемых сумма не меняется:

37 Изображение: Skillbox Media2️⃣Сочетательное свойство.Чтобы к рациональному числу прибавить сумму двух чисел, нужно к первому числу прибавить и первое, и второе число:

38 Изображение: Skillbox Media3️⃣Ноль - нейтральный элемент.Сложение нуля с рациональным числом не изменит это число:

39 Изображение: Skillbox Media4️⃣Наличие противоположного числа.У каждого рационального числа есть противоположное, а при их сложении мы получим 0:

40 Изображение: Skillbox MediaЧтобы лучше запомнить эти свойства, сохраните себе такую шпаргалку:

41 Изображение: Skillbox MediaЗдесь всё практически идентично.

42 1️⃣ Переместительное свойство.От перемены мест множителей произведение не меняется:

43 Изображение: Skillbox Media2️⃣Сочетательное свойство.Чтобы умножить рациональное число на произведение двух чисел, нужно первое число умножить сначала на первый, а потом на второй множитель:

44 Изображение: Skillbox Media3️⃣Свойство умножения на 1.При умножении рационального числа на 1 мы получим то же число:

45 Изображение: Skillbox Media4️⃣Свойство умножения на 0.При умножении рационального числа на 0 мы получим 0:

46 Изображение: Skillbox Media5️⃣Свойство умножения на дробь.При умножении рационального числа на дробь, в числителе которой 1, а в знаменателе это же рациональное число, получится 1:

47 Изображение: Skillbox MediaИзображение: Skillbox Media6️⃣ Распределительное свойство.При умножении суммы на рациональное число, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно, а потом эти значения сложить. Это же правило работает и с вычитанием:

48 Изображение: Skillbox Media1️⃣Умножение чисел с разными знаками.Если есть хотя бы один отрицательный множитель, то всё произведение будет отрицательным (плюс на минус даёт минус, и минус на плюс даёт минус):

49 Изображение: Skillbox Media2️⃣Умножение отрицательных чисел:если мы умножаем оба отрицательных множителя, то произведение получится положительным (минус на минус даёт плюс):

50 Изображение: Skillbox MediaИзображение: Skillbox MediaСвойства вычитания рациональных чисел можно описать по аналогии со свойствами сложения, главное - не запутаться с минусом. Например, a - b = -b + a:

51 Изображение: Skillbox MediaА свойства деления рациональных чисел обратны свойствам умножения:

52 Изображение: Skillbox MediaРассмотрим примеры рациональных чисел и их свойств на языке Python. В питоне есть специальный модуль fractions, который позволяет нам работать с рациональными числами, а в нём класс Fraction, являющийся реализацией дробного значения.

53 Ну что ж, за дело. Для начала импортируем класс Fraction из модуля fractions, чтобы мы могли им пользоваться:

54 from fractions import FractionТеперь разберём, как работает этот класс. При создании объекта Fraction в конструктор можно передать:

55 <ul><li>два значения, где первое - это числитель, а второе - знаменатель (переменнаяa);</li>

56 <li>дробное значение в виде строки (переменнаяb);</li>

57 <li>вещественное значение (переменнаяc);</li>

58 <li>другой Fraction, так как Fraction и является реализацией рационального дробного значения (переменнаяd).</li>

59 </ul>a = Fraction(1, 2) b = Fraction('1/2') c = Fraction(0.5) d = Fraction(a) print(a, b, c, d) print(float(a), float(b), float(c), float(d)) 1/2 1/2 1/2 1/2 0.5 0.5 0.5 0.5Видно, что значение переменных Fraction при выводе показывает дробный вид рационального числа 0,5, а во второй строке вывода при приведении значения ½ к float, получим его вещественное представление.

60 Поменяем значения переменных и пройдёмся по свойствам рациональных чисел, взяв отрицательную дробь -¾, дробь ⅔ (с бесконечным периодом) и целое число 10:

61 a = Fraction(-3, 4) b = Fraction(2, 3) c = Fraction(10)Возьмём сочетательное свойство сложения и применим формулу (a + b) + c = a + (b + c), дабы убедиться, что значения будут равны, а также приведём вид дробей к float:

62 print((a + b) + c, '=', a + (b + c)) print(float((a + b) + c), '=', float(a + (b + c))) 119/12 = 119/12 9.916666666666666 = 9.916666666666666Как можно заметить, значения одинаковые, а при выводе в вещественном виде у нас получается число с бесконечным периодом 6. А как мы уже говорили выше, такие числа также относятся к рациональным.

63 Проделаем ту же операцию по формуле распределительного свойства умножения:

64 print((a + b) * c, '=', a * c + b * c) print(float((a + b) * c), '=', float(a * c + b * c)) -5/6 = -5/6 -0.8333333333333334 = -0.8333333333333334Значения получились равные, но можно заметить, что при приведении к вещественному виду период рационального числа нарушается - 3 в конце заменяется на 4. Это происходит в силу особенностей вычислений в языке Python. Если мы на листе бумаги разделим 5 на 6, то получим 0,8333…, где 3 будет повторяться до бесконечности.

65 И напоследок разберём случай с делением рациональных чисел с использованием переместительного свойства. Для начала разделим a на b. Теперь поменяем операнды местами и посмотрим, что получится. Для этого умножаем a на дробь 1/b, подставив в качестве второго операнда класс Fraction, который и реализует эту дробь. Вуаля:

66 print(a / b, '=', a * Fraction(1, b)) print(float(a / b), '=', float(a * Fraction(1, b))) -9/8 = -9/8 -1.125 = -1.125Из этой статьи мы узнали, что такое рациональные числа, чем они отличаются от других видов чисел и какие у них есть свойства. Давайте пройдёмся по основным моментам, дабы закрепить знания.

67 <ul><li>Рациональное число - это число, которое можно представить в виде дроби, где числитель - целое число, а знаменатель - натуральное.</li>

68 <li>Рациональные числа - это все натуральные и целые числа, а также дроби: обыкновенные, конечные десятичные и бесконечные периодические.</li>

69 <li>Бесконечные периодические дроби - это такие дроби, где есть повторяющаяся последовательность после запятой. Например, 1,16161616… Если дробь бесконечная, а такой последовательности нет, число называетсяиррациональным.</li>

70 <li>У рациональных чисел есть математические свойства: переместительное, сочетательное, распределительное и так далее.</li>

71 <li>С рациональными числами можно проводить любые математические операции, такие как сложение, вычитание, деление, умножение и другие.</li>

72 </ul><a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>