Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>14 авг 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Что такое коллинеарность векторов и как её определить</h2>

5 Простое подробное объяснение с примерами для новичков.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

8 Представьте, что вы разрабатываете приложение для построения маршрутов и хотите оптимизировать пути между зданиями. Программе нужно, например, выяснить, находятся ли библиотека, школа и больница на одной прямой. Если это так, можно избежать ненужных пересечений дорог и поворотов. В решении задачи вам поможет концепция коллинеарности.

9 Помимо программирования, коллинеарность применяется в линейной алгебре, геометрии, физике и других областях. В этой статье мы разберёмся, что это такое и как её определить.

10 Содержание

11 <ul><li><a>Что такое коллинеарные векторы</a></li>

12 <li><a>Условия коллинеарности векторов</a></li>

13 </ul><ul><li><a>Первое условие: масштабное соотношение</a></li>

14 <li><a>Второе условие: равное отношение</a></li>

15 <li><a>Третье условие: нулевое векторное произведение</a></li>

16 </ul>Эксперт

17 Эксперт Skillbox, CEO в Bloomtech, специалист по информационной безопасности и анализу данных. Опыт в IT - 20 лет.

18 Для знакомства с коллинеарными векторами нужно освежить в памяти два понятия: вектор и нулевой вектор.

19 Векторы - это направленные отрезки с определёнными началом и концом. Они могут обозначаться двумя заглавными буквами со стрелкой над ними - например, , где A - начало, а B - конец. Также можно использовать одну маленькую латинскую букву со стрелкой над ней - например, .

20 Если начало и конец совпадают, то такой вектор называется нулевым. Визуально он выглядит как точка, поскольку не имеет длины и определённого направления. Обозначается нулевой вектор так: .

21 Теперь, если мы разместим три или более точки на одной прямой, то они будут считаться коллинеарными. Такие точки можно соединить одной прямой линией. Слово "коллинеарность" происходит от латинского слова<a>collineare</a> - "направлять" или "располагать на одной линии".

22 Если мы можем провести прямую линию через точки A, B и C, то они коллинеарныИзображение: Майя Мальгина для Skillbox MediaС векторами немного иначе.Коллинеарными называют два ненулевых вектора, расположенных на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен каждому, поскольку считается параллельным любой прямой. Для обозначения коллинеарных векторов используется символ ∥. Например, если и коллинеарны, то это записывается так: ∥ .

23 Коллинеарные векторы могут иметь одинаковую или разную длину, а их направления могут совпадать или быть противоположными. Например, два вектора, указывающие вправо на числовой прямой, коллинеарны. Также коллинеарными будут два вектора, направленные в противоположные стороны: вправо и влево или вверх и вниз. Если коллинеарные векторы имеют одно направление, то они называются сонаправленными. Они могут обозначаться знаком параллельности ∥ или двумя стрелками вверх ↑↑. Примеры записи: ∥ или ↑↑ .

24 Если коллинеарные векторы направлены в разные стороны, то их называют противоположно направленными. Их можно обозначить знаком параллельности ∥ и минусом перед вторым вектором - или двумя стрелками в противоположные стороны ↑↓. Примеры: ∥ или ↑↓ .

25 Пример коллинеарных векторов, расположенных на двух параллельных прямых: и - противоположно направленные векторы на одной прямой; и - противоположно направленные векторы на разных прямых; и - сонаправленные векторы на разных прямыхИзображение: Майя Мальгина для Skillbox MediaВекторы и будут коллинеарны, если мы сможем умножить один из них на некоторое число и получить второй вектор. Формула: , где k - скалярное число (множитель). Если множитель k положительный, то векторы направлены в одну сторону; если отрицательный - в противоположные.

26 Предположим, у вектора координаты (x1, y1 ), а у - (x2, y2). Для проверки нам нужно убедиться, что координаты векторов пропорциональны друг другу:

27 <ul><li>находим масштабный коэффициент ;</li>

28 <li>проверяем, чтобы полученный коэффициент подходил для второй координаты: .</li>

29 </ul>Если это условие выполняется, то и можно считать коллинеарными. Рассмотрим это на примере.

30 Пусть у вектора будут координаты (3 , 4), а у вектора - (6, 8). Вычислим масштабный коэффициент k: .

31 Выполним масштабирование одного вектора в другой.

32 <ul><li>проверим первую координату: ;</li>

33 <li>проверим вторую координату: .</li>

34 </ul>Получается, если мы умножим масштабный коэффициент k на координаты вектора , то получим координаты вектора . Поскольку условие масштабного соотношения выполняется, векторы и коллинеарны.

35 Теперь попробуйте самостоятельно. У вас есть векторы и с координатами (4, -2, 1) и (8, -4, 2). Вычислите масштабный коэффициент k и проверьте, являются ли данные векторы коллинеарными.

36 Решение

37 Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны. В отличие от масштабного соотношения, здесь мы напрямую сравниваем соотношения координат, а не ищем конкретное скалярное число для преобразования одного вектора в другой.

38 Если векторы с координатами (x1, y1 , z1) и (x1, y1 , z2) коллинеарны, то будет выполняться следующее условие:

39 Можно сделать наоборот: разделить координаты второго вектора на координаты первого - здесь, как и в условии масштабного соотношения, это значение не имеет. Перевёрнутая запись будет такой:

40 Выберем два вектора в трёхмерном пространстве: = (2, 3, 4) и = (6, 9, 12). Теперь вычислим соотношения соответствующих координат:

41 Найденные соотношения равны трём, что подтверждает пропорциональность координат одного вектора координатам другого. Это указывает на то, что и коллинеарны и расположены на одной или на параллельных прямых.

42 Перейдём к задаче на закрепление. У вас есть два вектора в трёхмерном пространстве: = (2, 6, 10) и = (4, 12, 20). Вычислите соотношения для соответствующих координат этих векторов и определите, являются ли они коллинеарными.

43 Решение

44 Определяем соотношения для соответствующих координат:

45 Все найденные соотношения равны двум. Это подтверждает пропорции соответствующих координат и означает, что векторы коллинеарны.

46 Два ненулевых вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. Этот метод может показаться сложным для новичков, поскольку требует знаний о <a>векторном произведении</a>и умения вычислять<a>определители матриц</a>. Мы объясним этот метод на примере, чтобы вы могли в общих чертах понять его основные принципы.

47 В общем виде формула для определения коллинеарности двух векторов и выглядит так: × = . Предположим, у нас есть = (2, 3, 4) и = (4, 6, 8). Вычислим векторное произведение и проверим, равно ли оно нулевому вектору.

48 Векторное произведение - это операция с двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Для наглядности выставьте большой, указательный и средний пальцы на правой руке. Указательный и средний пальцы представляют исходные векторы, а большой палец будет указывать направление вектора, полученного в результате векторного произведения.

49 Пример нахождения направления векторного произведения с использованием<a>правила правой руки</a>Изображение: Майя Мальгина для Skillbox MediaДля вычисления векторного произведения нужно найти специальное число - определитель, который вычисляется для матрицы с равным количеством строк и столбцов. В нашем случае матрица будет такой:

50 где , и - это единичные векторы, располагающиеся вдоль осей x, y и z.

51 Теперь для получения результирующего вектора используем следующую формулу:

52 Подставляем координаты наших векторов:

53 Поочерёдно вычисляем каждую компоненту:

54 Объединяем компоненты и получаем результат векторного произведения:

55 Мы получили нулевой вектор, что означает, что и коллинеарны.

56 <a>Научитесь: Математика для Data Science Узнать больше</a>