Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>3 окт 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Скалярное произведение векторов: формулы, определения, свойства</h2>

5 Всё, что нужно знать для самостоятельной практики.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

8 Скалярное произведение векторов - это число, которое получается в результате перемножения двух векторов. В программировании его используют для вычисления углов между объектами, проверки их направленности, нахождения проекций, вычисления длины векторов, расчёта освещения в графике и решения других задач, связанных с физическими симуляциями.

9 Например, скалярное произведение помогает определить угол между персонажем и камерой, что важно для управления её ориентацией и полем обзора. Оно также используется для построения навигации, механики стрельбы и позволяет точно рассчитать освещение объектов в компьютерной графике.

10 В статье мы рассмотрим свойства скалярного произведения и научимся его вычислять. Начнём с основных терминов и завершим задачами по теме.

11 Содержание

12 <ul><li><a>Разбираемся с ключевыми терминами</a></li>

13 <li><a>Находим скалярное произведение через угол</a></li>

14 <li><a>Вычисляем скалярное произведение по координатам</a></li>

15 <li><a>Знакомимся с главными свойствами</a></li>

16 <li><a>Решаем задачи на поиск скалярного произведения</a></li>

17 </ul>Вектор - это направленный отрезок, который можно представить в виде стрелки. Таким отрезком обозначают скорость, ускорение, силу и другие величины, обладающие размером и направлением.

18 Графическое представление вектораИнфографика: Skillbox MediaНулевой вектор- это разновидность вектора, длина (модуль) которого равна нулю. Он не имеет направления и представляет точку в пространстве.

19 Скаляр- это число, обладающее величиной и не имеющее направления. Примеры скалярных величин: масса, температура, время, расстояние и так далее.

20 Скалярное произведение векторов- это результат математической операции, не зависящий от выбора системы координат. Он зависит от длин векторов и угла между ними. В формуле для вычисления используется косинус угла -<a>справочная величина</a>, обозначающая отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

21 Угол между векторами - это угол, образующийся между двумя векторами, исходящими из одной точки. Он может варьироваться от 0° до 180°:

22 <ul><li>если угол меньше 90°, векторы направлены в одну сторону;</li>

23 <li>если равен 90°, они перпендикулярны;</li>

24 <li>если больше 90° - направлены в разные стороны;</li>

25 <li>если угол равен 0° или 180° - коллинеарны.</li>

26 </ul>Коллинеарные векторы - это ненулевые векторы, находящиеся на общей или параллельных прямых. У них может быть одинаковая или разная длина, а также одно или противоположное направление.

27 Пример коллинеарных векторов на двух параллельных прямыхИнфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaВоспользуемся следующей формулой:

28 В этой формуле: и - выбранные векторы; и - их длины (модули), а - угол между ними.

29 Геометрический смысл скалярного произведения заключается в том, что оно выражает величину<a>проекции</a>одного вектора на другой. Эту проекцию можно представить как "тень" одного вектора на ось направления другого. Чем больше векторы направлены в одну сторону, тем больше их проекция друг на друга. Если они направлены в противоположные стороны, их проекции уменьшаются и могут быть отрицательными - то есть "тень" одного вектора лежит в противоположном направлении относительно оси другого.

30 Представьте двух человек, тянущих верёвку в одном направлении. Поскольку они работают сообща, их усилия складываются и результат будет положительным - как положительное скалярное произведение векторов.

31 Теперь перейдём к расчёту. Допустим, длина равна 3, а длина - 4, а угол между ними - 30°. Вычислим скалярное произведение:

32 Другая ситуация: первый человек тянет верёвку в одну сторону, а другой - в противоположную. Из-за этого их усилия работают друг против друга и результат может стать отрицательным. Оставим наши векторы с длинами 3 и 4, но изменим угол между ними на 120° и посчитаем:

33 Третья ситуация: оба человека тянут верёвку под прямым углом и их усилия не влияют друг на друга. Возьмём два наших вектора и изменим угол на 90°:

34 Если вы разработчик и вам нужно вычислять скалярное произведение на основе различных параметров, это удобно делать с помощью математических калькуляторов. Например, на сайте<a>onlinemschool.com</a>можно просто подставить значения и не вникать в смысл формул.

35 Однако, если вам нужно глубоко разобраться в геометрическом смысле скалярного произведения, проекции векторов и прочих параметрах, рекомендуем бесплатный сервис<a>desmos.com</a>. Это визуальный геометрический калькулятор, который позволяет вводить различные формулы и сразу видеть, что происходит.

36 Пример положительной проекции одного вектора на другойСкриншот:<a>Desmos</a>Если нам неизвестны длины векторов и угол между ними, для вычисления скалярного произведения мы можем использовать координаты векторов. Речь идёт о <a>прямоугольной системе координат</a>, состоящей из взаимно перпендикулярных осей. В двумерном пространстве для обозначения этой системы обычно используются оси X и Y, а в трёхмерном - оси X, Y и Z.

37 Можно представить вектор как стрелку, исходящую из начала координат и заканчивающуюся в определённой точке. Эта точка окончания вектора определяет его координаты. Из этой точки мы можем провести<a>перпендикуляры</a>на оси системы координат, чтобы получить прямоугольные треугольники и по ним рассчитать длину наших векторов.

38 Вектор в системе координат - это<a>гипотенуза</a>прямоугольного треугольника.Инфографика: Skillbox MediaВ двумерном пространстве нам необходимо перемножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения:

39 В этой формуле:

40 Добавим векторам координаты и посчитаем. Возьмём с координатами (3, 4) и с координатами (2, 5):

41 В трёхмерном пространстве мы также перемножаем соответствующие координаты и затем складываем полученные произведения. Изменим координаторы (1, 2, 3) и (4, 5, 6), а затем вычислим результат:

42 У скалярного произведения есть несколько свойств, о которых важно знать перед решением задач. Эти свойства позволяют упростить вычисления.

43 Коммутативность.Скалярное произведение не зависит от порядка векторов, и поэтому их можно менять местами. Предположим, нам нужно выяснить, как сила соотносится с перемещением объекта. В этом случае мы можем взять первым любой вектор, и результат от этого не изменится:

44 Дистрибутивность.Скалярное произведение вектора на сумму двух векторов равно сумме скалярных произведений первого вектора и каждого из двух векторов. Звучит запутанно, но само свойство несложное:

45 Сочетательный закон.Это свойство позволяет группировать векторы при вычислении. То есть вы можете сначала вычислить скалярное произведение двух векторов, а затем умножить результат на третий вектор:

46 Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины.Это можно выразить следующим образом:

47 Этот результат часто используется для вычисления длины вектора. Для примера возьмём с координатами (3, 4) и найдём его длину:

48 Теперь используем скалярное произведение:

49 Получаем доказательство нашего свойства:

50 Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым или если векторы перпендикулярны друг другу:

51 Найдите скалярное произведение двух векторов длиной 5 и 7 единиц с углом 60° между ними.

52 Решение

53 Вычисляем скалярное произведение через угол по формуле:

54 Найдите скалярное произведение векторов с такими значениями: = (2, 3, -1) и = (-1, 4, 0).

55 Решение

56 Вычислим значение по формуле через координаты:

57 Подставляем значения и считаем:

58 Проверьте, являются ли = (1, 2, -3) и = (3, -6, 1) ортогональными (перпендикулярными).

59 Решение

60 Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдём произведение через координаты и проверим результат:

61 В нашем случае скалярное произведение не равно нулю, и это значит, что векторы не перпендикулярны.

62 У нас есть два вектора: = (4, 3) и = (6,0). Известно, что их скалярное произведение равно 24. Найдите угол между ними.

63 Решение

64 Скалярное произведение выражается через угол по формуле:

65 Из формулы мы можем выразить угол:

66 Теперь нам нужно рассчитать длины векторов:

67 Подставляем значения в формулу и находим косинус угла:

68 Мы нашли косинус угла, осталось найти сам угол. Для этого переходим на сайт<a>onlinemschool.com</a>и подставляем значение в "Калькулятор - арккосинус угла". Арккосинус - это<a>обратная функция</a>к косинусу. В нашем случае угол между векторами будет приблизительно равен 36,87°.

69 <a>Научитесь: Математика для Data Science Узнать больше</a>