Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>29 окт 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Свойства степеней и действия с ними: формулы и примеры</h2>

5 Материал высшей степени полезности!

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Пишет о сетях, инструментах для разработчиков и языках программирования. Любит готовить, играть в инди‑игры и программировать на Python.

8 Представьте, что вам надо записать математическое выражение, в котором число умножается само на себя 50 раз. На запись такого выражения понадобится много времени, но можно воспользоваться степенью числа, а сэкономленное время потратить на решение такого большого выражения :) В этой статье рассказываем про степени чисел, их свойства и области применения.

9 Содержание

10 <ul><li><a>Что такое степень числа</a></li>

11 <li><a>Свойства степеней</a></li>

12 <li><a>Умножение и деление степеней</a></li>

13 <li><a>Сложение и вычитание степеней</a></li>

14 <li><a>Степень нуля и единицы</a></li>

15 <li><a>Степени в реальной жизни</a></li>

16 </ul>Степень числа - это способ кратко записать умножение числа само на себя несколько раз. Например, если мы возводим число в степень 3, то это значит, что надо умножить его на себя три раза. В общем виде формула выглядит так:

17

18 В ней:

19 <ul><li>a - основание степени;</li>

20 <li>n - показатель степени.</li>

21 </ul>Например, посчитаем 23:

22 Разберём свойства степеней, которые помогут упрощать большие выражения и быстрее находить значения.

23 Натуральный показатель - это показатель степени, который представлен натуральным числом. Например, 1, 2, 3, 4, … и далее. Согласно основному свойству степени с натуральным показателем, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. В общем виде формула выглядит так:

24

25 В ней:

26 <ul><li>a - основание;</li>

27 <li>n и m - показатели.</li>

28 </ul>Теперь умножим 32 на 34 и воспользуемся основным свойством степени, чтобы не пришлось возводить в степень каждый множитель:

29 Рациональный показатель - это показатель степени, который представлен рациональным числом, то есть в виде дроби , в которой m и n - целые числа, а .

30 Степень с рациональным показателем для числа a можно выразить как корень n-й степени из числа a, возведённого в степень m:

31 Пример:

32 Произведение степеней с одинаковым основанием:

33 Пример:

34

35 Произведение разных оснований в одинаковой степени:

36 Пример:

37

38 Деление степеней с разным основанием, но одинаковыми показателями:

39

40 Пример:

41

42 Деление степеней с одинаковым основанием:

43

44 Пример:

45

46 При возведении степени в степень, показатели умножаются:

47

48 Пример:

49 Сложение и вычитание степеней с одинаковым основанием и показателем:

50 Пример:

51

52 Если основания одинаковые, но показатели разные, то надо отдельно вычислить степени и затем выполнить сложение или вычитание:

53 У степени нуля и единицы есть несколько особых свойств:

54 <ul><li>Ноль в любой положительной степени всегда будет равен нулю:</li>

55 </ul>

56 <ul><li>Единица в любой степени всегда равна единице:</li>

57 </ul>

58 <ul><li>Единица в нулевой степени равна единице:</li>

59 </ul>

60 <ul><li>Ноль в нулевой степени (00) - неопределённое выражение. Математики пока ещё не договорились, чему равно это выражение.</li>

61 </ul>Степени чисел находят широкое применение во многих областях нашей жизни. Они позволяют описывать и моделировать процессы, связанные с быстрым ростом или уменьшением величин. Благодаря этому мы можем эффективно работать с большими и малыми числами, что особенно важно в современных технологиях и науке.

62 Чаще всего мы встречаем степени во время расчётов площади и объёма. Например, площадь квадрата со стороной a - a2, а объём куба с такой же стороной - a3.

63 В информатике объёмы данных измеряются в степенях двойки.

64 Например:

65 <ul><li>1 КБ = 210 байт = 1024 байт.</li>

66 <li>1 МБ = 220 байт = 1 048 576 байт.</li>

67 </ul>С помощью степени можно рассчитать сложные проценты. Например, узнать, сколько денег получится заработать с банковского вклада, используя формулу:

68

69 В ней:

70 <ul><li>S - будущая сумма;</li>

71 <li>P - первоначальная сумма;</li>

72 <li>r - процентная ставка в десятичной форме;</li>

73 <li>n - количество периодов.</li>

74 </ul>Так, если вложить 1000 рублей под 5% годовых на три года, то получится заработать чуть больше 157 рублей:

75

76 Рост числа инфицированных при эпидемиях может быть экспоненциальным. Если каждый больной заражает двух человек, то число инфицированных растёт по формуле:

77

78 В ней:

79 <ul><li>N₀ - начальное число инфицированных;</li>

80 <li>n - число периодов передачи.</li>

81 </ul>Если у нас изначально будет 10 заражённых, то через пять периодов заразятся 320 человек:

82

83 <ul><li>Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя.</li>

84 <li>Основные свойства степеней:</li>

85 </ul><ul><li>При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.</li>

86 <li>При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним.</li>

87 <li>При возведении степени в степень показатели перемножаются.</li>

88 </ul><ul><li>Рациональные показатели связаны с корнями числа.</li>

89 <li>Степени широко используются в различных сферах: компьютерных науках, финансах и эпидемиологии.</li>

90 </ul><a>Бесплатный курс по Python ➞Мини-курс для новичков и для опытных кодеров. 4 крутых проекта в портфолио, живое общение со спикером. Кликните и узнайте, чему можно научиться на курсе. Смотреть программу</a>