Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-21

1 <a>#статьи</a>

2 <ul><li>9 окт 2024</li>

3 <li>0</li>

4 </ul><h2>Векторное произведение векторов: что это и как посчитать</h2>

5 Ищем векторное произведение двух векторов и применяем правило правой руки.

6 Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

7 Программист, консультант, специалист по документированию. Легко и доступно рассказывает о сложных вещах в программировании и дизайне.

8 Векторное произведение векторов - это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор. В мире IT эта операция нужна для выравнивания 3D-объектов, разработки физических симуляций и систем управления роботами.

9 В этой статье выясняем, как найти векторное произведение и какими свойствами оно обладает.

10 Содержание

11 <ul><li><a>Немного терминов</a></li>

12 <li><a>Свойства результирующего вектора</a></li>

13 <li><a>Правило правой руки</a></li>

14 <li><a>Свойства векторного произведения</a></li>

15 <li><a>Координаты векторного произведения</a></li>

16 <li><a>Геометрический смысл векторного произведения</a></li>

17 <li><a>Физический смысл векторного произведения</a></li>

18 </ul>Вектор- это направленный отрезок, который соединяет две точки. У вектора есть длина и направление:

19 <ul><li>Длина вектора - это расстояние между его началом и концом. Вектор может быть и с нулевой длиной, если его начало и конец совпадают.</li>

20 <li>Направление показывает, куда "смотрит" вектор. Например, стрелка, нарисованная на плоскости, может указывать вверх, вниз, вправо, влево или в любую другую сторону.</li>

21 </ul>Векторное произведение векторов - это операция над двумя векторами в трёхмерном пространстве, в результате которой получается новый вектор. Чаще всего операция обозначается знаком ×, например:

22 Если векторыколлинеарны(то есть находятся на одной прямой или параллельны), то их произведением будет нулевой вектор. Слово "нулевой" означает, что длина вектора равна нулю, а его направление невозможно определить. Такой вектор обозначают символом .

23 Угол между векторами.Если начала векторов поместить в одну точку, как стрелки часов, то можно будет измерить угол между ними. Угол может быть от 0° до 180°. Если угол меньше 90°, то векторы считаются направленными в одну сторону. Если угол равен 90°, то векторы перпендикулярны друг другу. Если угол больше 90°, то векторы направлены в противоположные стороны. Когда угол равен 0° или 180°, векторы называются коллинеарными.

24 Как мы отметили ранее, векторное произведение образует новый вектор - в математике он называется результирующим. У него есть следующие свойства:

25 1.Новый вектор перпендикулярен паре исходных векторов. Например, векторное произведение может выглядеть так:

26 Пример векторного произведенияИнфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaНа рисунке выше и - исходные векторы, лежащие на плоскости A, - угол между ними, а вектор - их векторное произведение, расположенное перпендикулярно к плоскости A.

27 2.Длина нового вектора равна произведению длин исходных векторов и синуса угла между ними. Формула для модуля векторного произведения векторовивыглядит так:

28 В этой формуле и - векторы, и - их модули, а - угол между ними.

29 3.Вектор , полученный в результате векторного произведения на , направлен так, чтобы наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .

30 Инфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaНа рисунке слева видно, что если смотреть с конца вектора , полученного в результате векторного произведения на , то вращение вектора к происходит против часовой стрелки.

31 На рисунке справа вращение вектора к происходит против часовой стрелки, поэтому вектор , полученный в результате векторного произведения на , будет направлен в противоположную сторону от вектора . Если смотреть с конца вектора , как бы "снизу", то вращение к происходит против часовой стрелки.

32 Направление вектора, полученного в результате векторного произведения, можно определить по правилу правой руки. Самый простой его вариант звучит так: если разместить указательный палец правой руки на первом векторе, а средний на втором, то отогнутый перпендикулярно к ладони большой палец покажет примерное направление произведения векторов.

33 Правило правой руки. Большой палец показывает направление произведения векторов и Инфографика: Майя Мальгина для Skillbox MediaВекторное произведение векторов обладает несколькими важными свойствами.

34 Антикоммутативность - свойство математических операций, при котором, если изменить порядок операндов, результат изменится на противоположный. Обратное для этого свойство - коммутативность, когда порядок операндов не влияет на результат. Например, при сложении и умножении: 10 + 5 = 5 + 10 = 15.

35 Векторное произведение векторов - антикоммутативная операция, которая зависит от порядка векторов. Если поменять векторы местами, то результат изменит знак:

36 Дистрибутивность относительно сложения - математическое свойство, которое означает, что выражение, умноженное на сумму, можно сначала умножить на каждое слагаемое, а после сложить. Результат при этом не изменится. Например:

37 2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14

38 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14

39 Векторное произведение векторов также дистрибутивно относительно сложения:

40 Ассоциативность умножения на скаляр - математическое свойство, которое означает, что при умножении нескольких чисел или векторов на скаляр (обычное число) не важен порядок выполнения операции. Например:

41 Векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве можно выразить через их координаты на осях X, Y, Z.

42 Пусть даны два вектора и с координатами:

43 Инфографика: Skillbox MediaТогда их векторное произведение = × также будет вектором = (, , ), координаты которого вычисляются следующим образом:

44 Инфографика: Skillbox MediaЭти формулы можно получить из определения векторного произведения через определитель матрицы. Если записать векторное произведение в виде матрицы, это будет выглядеть так:

45 Инфографика: Skillbox MediaВ формуле выше , , - единичные векторы координатных осей X, Y, Z. Если мы разложим этот определитель по первой строке, то получим:

46 Инфографика: Skillbox MediaПродолжим вычисление определителя:

47 Таким образом, координаты векторного произведения двух векторов и в трёхмерном пространстве вычисляются по представленным формулам для cx, cy и cz .

48 Векторное произведение векторов встречается не только в алгебре, но и в геометрии. Например, с помощью этой операции можно найти площадь параллелограмма.

49 Если у вас есть векторыии вы построите параллелограмм, используя их в качестве сторон, то площадь этого параллелограмма будет равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними:

50 При этом длина векторного произведения определяется по той же формуле. Это значит, что модуль длины векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на исходных векторах.

51 С помощью векторного произведения можно описать физические явления, в которых важно учитывать направления и величину результирующих векторов. Например, произведение позволяет выразить момент силы, линейную скорость точки вращающегося тела и силу Лоренца.

52 В физике момент силы относительно точки или оси определяется как векторное произведение радиус-вектора, проведённого от этой точки до точки приложения силы, и самой силы.

53 Формула момента силы относительно точки O выглядит следующим образом:

54 В ней - радиус-вектор от точки O до точки приложения силы, а - сила.

55 Момент силы показывает, насколько эффективно сила вызывает вращение вокруг данной точки или оси. Его направление указывает на ось вращения, а величина - на интенсивность этого вращения.

56 Вращение тела вокруг оси описывается вектором угловой скорости . Линейная скорость любой точки на этом теле (на расстоянии от оси вращения) определяется как векторное произведение:

57 Где - радиус-вектор от оси вращения до рассматриваемой точки.

58 В этом случае направление линейной скорости перпендикулярно как к вектору угловой скорости, так и к радиус-вектору.

59 В электромагнитных явлениях сила Лоренца, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, также определяется через векторное произведение:

60 В этом случае q - заряд, - скорость заряда, а - вектор магнитной индукции (магнитное поле).

61 Сила Лоренца перпендикулярна как направлению движения заряда, так и направлению магнитного поля, что приводит к закручиванию траектории заряженной частицы.

62 <a>Научитесь: Математика для Data Science Узнать больше</a>