Все о векторах от А до Я OTUS
2026-03-10 21:13 Diff
https://otus.ru/journal/vse-o-vektorah-ot-a-do-ya/oj-1080x720-2024-10-20t235621-604/

Разработка программного обеспечения тесно связана с математикой и статистикой. Некоторые понятия оттуда пригодятся каждому программисту. Определение вектора – один из таких компонентов.

Сегодня предстоит изучить данное понятие получше. Нужно выяснить, что собой представляет вектор, для чего он используется, каково его предназначение в информационных технологиях и разработке. Также необходимо научиться выполнять разные операции над векторами, изучить их основные виды и их особенности, выяснить, что собой представляет длина.

Опубликованная ниже информация рассчитана на широкий читательский круг. Она пригодится как школьникам (ведь тема векторов изучается примерно в 9 классе), так и IT-специалистам. Обычным пользователям соответствующие сведения тоже будут полезны для «общего развития» и понимания того, как математические компоненты связаны с разработкой программного обеспечения.

Определение

Давая определение вектору, можно сказать, что он представляет собой некий математический объект с величиной (длиной) и направлением. Так называется направленный отрезок прямой. В таком элементе указывается, какая из его граничных точек выступает в качестве начала, а какая – концом.

Вектор – это объект линейной алгебры, обладающий длиной и направлением. Изображается в виде стрелки с определенной длиной. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается как AB. Векторы могут обозначаться на письме в виде латинских букв со стрелкой или чертой над ними. В качестве примера стоит привести запись a.

Кому необходимы векторы

С определением вектора ознакомиться удалось. Теперь этот алгебраический компонент можно рассмотреть получше. Перед этим предстоит понять, кому и для каких конкретно целей требуются векторы.

Они чаще всего используются:

  1. Математиками. Вектор – одно из базовых понятий в линейной алгебре. Именно поэтому оно встречается в разнообразных определениях и формулах.
  2. Физиками и другими специалистами естественных наук. С помощью направленных отрезков можно выразить огромное количество формул. Они помогают описывать реальный мир.
  3. Инженерами. Им рассматриваемый элемент пригодится для тех или иных расчетов.
  4. Специалистами по большим данным. Это связано с тем, что вектор – одна из структур, которая лежит в основе Data Science.
  5. Специалистами по машинному обучению. Им нужно ознакомиться с определением векторов и операциями над ними, потому что из этих элементов формируются матрицы. Последние помогают хранить данные и обучать разнообразные модели.
  6. Разработчикам программного обеспечения. В основном – тем, кто занимается созданием вычислительного ПО. А еще – людям, использующим такие приложения.
  7. Дизайнерам и различным специалистам по компьютерной графике. Им направленные отрезки помогают создавать разнообразные графические изображения.
  8. Звукооператорам и звукоинженерам. Рассматриваемый математический объект может применяться в процессе звукообработки.

Также понятие вектора должны знать другие специалисты, которые в той или иной степени связаны с расчетами и математикой.

Зачем нужны

Направленные отрезки – это математические объекты, которые могут использоваться не только разными специалистами, но и для различных целей:

  1. Математические, физические и иные вычисления. Сюда относятся как элементарные расчеты, так и ряды Фурье.
  2. Графическое и математическое представление разнообразных явлений и операций. Сюда можно отнести перенос предмета с места на место, выражение силы, приложенной к объекту и так далее.
  3. Организованное хранение числовых данных и их массивов. А еще – для операций над ними.
  4. Представление множества чисел в качестве единого объекта. Данный момент может иметь огромную значимость в процессе некоторых операций. К ним относят разработку программного обеспечения.
  5. Описание многомерных структур. Направленный отрезок может предусматривать не три измерения, как обычный геометрический объект, а больше. Их количество бесконечно – столько, сколько нужно в каждом конкретном случае.

Векторные объекты применяются в процессе информационного анализа. С их помощью удается собрать данные в структуры, а затем группировать их и анализировать.

Применение в IT

Направленные отрезки – математические объекты, которые используются в самых разных областях жизни и деятельности человека. Если говорить об IT, то знать, что называют вектором, а также как их применять, нужно в таких сферах как:

  1. Data Science. Рассматриваемый элемент представляет собой одномерную структуру данных. Ее получится сравнить с направленной линией. Векторные группы формируют матрицы – двумерные структуры. Именно они используются для непосредственного хранения данных в разных направлениях, включая Data Science. В соответствующем направлении есть математические формулы, которые используются с векторными величинами и другими базовыми алгебраическими понятиями.
  2. Графика (или работа с изображениями). В соответствующем направлении есть понятие «векторное изображение». Такое название получила картинка, состоящая не из пикселей, а из разных математических формул и объектов геометрии. Векторные элементы входят в их состав. В основе лежат не точки того или иного цвета, а линии-векторы. Они задаются различными формулами. В конечном итоге при значительном увеличении или изменении размера изображения картинка не ухудшается. Векторное изображение является более примитивным, чем растровое. Сплошную картинку с тенями и переливами цвета таким методом нарисовать не получится.
  3. Машинное обучение. В данной области IT знать, что называют вектором, обязательно. То же самое касается матриц. Это связано с тем, что данные объекты математики являются ключевыми в машинном обучении. На них базируются модели для обучения. А еще – через них передаются и видоизменяются разнообразные цифровые материалы.
  4. Веб-разработка. Здесь активно используется векторная графика. С ее помощью обычно рисуются иконки, малоцветные картинки из четких линий, баннеры. С такими изображениями будут работать не только дизайнеры, но и фронтендеры.
  5. 3D-графика. Рисование иконок – не единственное применение направленных отрезков в графике. 3D-специалисты часто пользуются ими при создании различных предметов и сцен. В качестве примера можно привести описание освещения. Также рассматриваемые объекты используются для создания анимации: ими описываются движения.

Что называют вектором, понятно. И для чего этот математический объект используется – тоже. Теперь стоит изучить его более подробно. Далее представлены виды направленных отрезков, а также разнообразные операции, выполняемые над ними.

Способы выражения и записи

С определением вектора ознакомиться удалось. Ранее было сказано, что данный математический объект может записываться разными способами. Многое здесь зависит от дисциплины, в которой используется рассматриваемый компонент.

Вектор – это линия/стрелка, описанная математически. Соответствующее описание может быть представлено:

  1. Буквой. Над ней изображается линия или стрелка. Далее пишутся скобки, в которых через запятую перечисляются хранимые числа. В качестве примера можно привести запись c (c1, c2, c3,…).
  2. В столбик. В этом случае значения заключаются в круглые или квадратные скобки.
  3. Особыми готическими буквами.

Отсюда следует, что запись векторных величин осуществляется или в столбик, или в строку. Все зависит от того, какой именно вариант удобен конкретному человеку.

Выше можно посмотреть, как выглядят соответствующие письменные интерпретации рассматриваемого математического элемента.

В математике и геометрии

В математике и геометрии vector обычно представляет собой направленный отрезок, привязанный к системе координат. Какой именно – зависит от количества координат рассматриваемого объекта.

Если vector предусматривает два числа, речь идет об обычной двумерной системе. Она знакома людям или со школьной скамьи. В ней:

  • первое значение – указывает движение по оси X;
  • второе значение – указывает на движение по оси Y.

Если координата имеет отрицательное значение, двигаться нужно влево и вниз соответственно. Стрелка vector начинается в точке [0; 0], а заканчивается в точке [x; y]. С помощью чисел x и y можно описать длину и направление стрелки.

Если vector включает в себя три числа – используется трехмерная координатная плоскость XYZ, если чисел больше – многомерная. Последняя встречается на практике очень редко. Многомерные системы графически изобразить почти невозможно. Зато их удается представить математически. Именно с ними работают ученые различных отраслей.

Выше можно увидеть, как выглядит vector в двумерной и трехмерной системе координат.

В информационных технологиях

С определением вектора все понятно. И с тем, как он изображается в математике и геометрии – тоже. В машинном обучении и других информационных технологиях vector имеет несколько иную интерпретацию.

Здесь он представлен в качестве некоторой структуры данных, в которой хранится определенное количество чисел. Она будет напоминать упорядоченный массив.

Более специфичное представление зависит от конкретной отрасли IT. В геймдеве могут использоваться понятия из физики, в компьютерной графике – из геометрии. Рассмотренные примеры являются общими. В реальной жизни использование такого компонента как vector является более широким.

Разновидности

Vector может быть разным. Перед тем как изучать его виды, необходимо познакомиться с понятием векторной длины. Длина вектора – это число, которое больше или равно нулю. Оно равно длине направленного отрезка.

Длина обозначается как модуль (|AB|). Модуль и длина вектора являются равносильными понятиями.

В процессе работы с vector можно встретить разные их виды. А именно:

  1. Коллинеарные. Так называются направленные отрезки, которые находятся на одной или параллельных прямых.
  2. Неколлинеарные. Они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
  3. Нулевые. Нулевым называется вектор, представленный точкой на плоскости или в пространстве. Нулевой vector будет коллинеарен любому другому. Это связано с тем, что он может принимать любое направление.
  4. Сонаправленные. Так называются коллинеарные vectors, которые имеют одинаковое направление. На письме они обозначаются как: a↑↑b.
  5. Противоположно направленные. Такое название получили коллинеарные векторы, направление которых не совпадают. Они являются противоположными друг другу. Обозначаются как: a↑↓b. Нулевой vector является сонаправленным к любым другим.
  6. Равные. Равными выступают vectors, у которых одинаковые длины.
  7. Противоположные. Противоположными выступают векторы противоположно направленные. У них длины должны быть равны.
  8. Перпендикулярные. Такие vectors могут иметь разные длины, но угол между этими математическими элементами равен 90 градусам.
  9. Единичные. У них длины равны 1.

Также необходимо помнить об угле между vectors. У перпендикулярных он равен 90 градусам, между сонаправленными векторами – 0. А еще это связано с тем, что у них одинаковое направление. Противоположно направленные vectors имеют угол 180 градусов.

Операции над векторами

С определением вектора и его основными видами ознакомиться удалось. Теперь необходимо выяснить, какие операции и как именно могут выполняться над рассматриваемыми компонентами. Эта информация изучается еще в школьной программе, поэтому она не должна вызывать никаких трудностей.

Сложение

Вектор суммы – это результат сложения двух векторов. Для этого нужно из произвольной точки отложить AB, который будет равен a, из нее – BC, равный b. Далее – соединить точку, с которой выходит BC, а также точку C. Это приведет к появлению отрезка AC. Он выражает вектор суммы – результат сложения исходных данных. Соответствующий принцип носит название «правило треугольника».

Если взять за основу ранее представленный алгоритм, можно выполнить сложение сразу нескольких векторов. Данная процедура осуществляется поэтапно – сначала нужно отыскать результирующий vector суммы первых двух направленных отрезков, а затем – прибавить к нему еще один.

Выше представлена геометрическая интерпретация обнаружения векторной суммы для 4-х направленных отрезков.

Вычитание

Векторная разность – это операция, которая не имеет отдельных схем. Это связано с тем, что разность представляет собой сумму a и –b.

Отсюда следует, что нужно всего лишь у второго vector поменять знаки и сложить их с первым.

Умножение

Найти векторную длину можно, если взять координаты начала и конца вектора, а затем вычесть из вторых – первые. Несколько иначе нужно действовать, если речь идет об умножении. В математике для этого знать векторную длину необязательно. Более того, обычно используется умножение vector на число. Пусть им будет некоторое k.

Здесь необходимо запомнить следующие правила:

  1. модуль k > 1 – длина вектора увеличивается в k-раз (он растягивается на соответствующее значение);
  2. 0 < модуль k < 1 – длина vector уменьшается (сжимается) в 1/k-раз;
  3. k < 0 – направление вектора будет меняться при одновременном выполнении предыдущих правил;
  4. k = 1 – длина вектора остается прежней.

С определением вектора и основными операциями над ним познакомиться удалось. Лучше разобраться с этим математическим компонентом и использовать его на практике помогут дистанционные компьютерные курсы.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!