Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-03-10

1 Если надо сделать вывод о поведении очень сложных объектов, не вникая при этом в принцип их работы, используют такой способ, каквероятность. На практике вероятность определяют как функцию от некоторого события из семейства множеств. Эта функция возвращает число - некоторую характеристику, определяющую, насколько часто происходит то или иное событие в реальности. Чтобы повысить определенность, математики условились считать, что данное число должно находиться между 0 и 1.

2 Также к такой функции предъявляют ряд требований:

3 - вероятность невозможного события является нулевой;

4 - вероятность всего множества исходов является единичной;

5 - вероятность объединения 2-х независимых событий (речь идет о непересекающихся множествах) равняется сумме вероятностей.

6 У вероятности есть и "второе имя" -вероятностная мера. Обычно используют <a>Лебегову мер</a>у, которая обобщает такие понятия, как длина, площадь и объем на любые размерности (n-мерный объем), в результате чего она становится применимой для широкого класса множеств.

7 Когда говорят о совокупности множества элементарных исходов, вероятностной меры и семейства множеств, говорят овероятностном пространстве. Давайте подумаем, как построить вероятностное пространство, взяв в качестве примера стрельбу по мишени. Пусть это будет большая и круглая мишень с радиусомR, то есть мишень, промахнуться по которой практически нереально. Множеством элементарных событий будет являться круг с центром в самом начале координат радиуса R. Так как мы хотим использовать для описания вероятности события площадь (меру Лебега для 2-мерных множеств), то следует задействовать семейство измеримых множеств (то есть множеств, для которых данная мера существует).

8 Итак, уже упоминалось, что вероятность пространства элементарных исходов должна быть равна единице. Также напомним, что площадь круга - это 2-мерная мера Лебега, которую обозначим λ2 (A), причем А- это событие). Так вот, площадь круга хорошо известна еще со школьной скамьи и равняетсяπ * R2. В таком случае можно ввести следующую вероятность:

9 P(A) = λ2 (A) / (π * R2)

10 Причем данная величина для любого событияАбудет находится между нулем и единицей.

11 Предположив, что попадание в любую точку нашей мишени является равновероятным, скажем, что поиск вероятности попадания в какую-нибудь область мишени будет сведен к поиску площади этого множества. Также учтем, что вероятность попадания в конкретную точку равняется нулю, ведь площадь точки равняется нулю.

12 К примеру, нам надо узнать вероятность того, что стреляющий попадет в "десятку" (можно сказать, что это событие A - попадание в нужное множество). Согласно нашей модели, "десятка" - это круг, имеющий центр в нуле и радиусr. Соответственно, вероятность попадания в данный круг можно выразить следуюим выражением:

13 P(A) = λ2/(A)π * R2 = π * r2/(π R2)= (r/R)2

14 И это одна из наиболее простых разновидностей задач, связанных с "геометрической вероятностью", так как большая часть таких задач все же требуют поиска площади.

15 По материалам статьи "<a>Математика для программистов: теория вероятностей</a>".