Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-03-10

1 Данная статья даст вам представление о базовых концепциях линейной алгебры - необходимых основах для всех, кто профессионально интересуется машинным обучением, искусственным интеллектом и нейронными сетями. Помните, что многие концепции, используемые в вышеописанных областях, основаны на математических принципах и были открыты более 50 лет назад.

2 По большему счёту, вся линейная алгебра строится вокруг нескольких понятий - этоскаляры, векторы, матрицы и тензоры. Эти понятия очень важны для Machine Learning, ведь с их помощью можно абстрагировать модели и данные. При этом каждую запись в каком-либо наборе данных можно представить в виде вектора в многомерном пространстве, а параметры нейросетей абстрагируются, как матрицы. Так как каждое из понятий специфично по своему, рассмотрим их более подробно.

3 <h2>Скаляр</h2>

4 Скаляр, в отличие от матрицы или вектора, является всего лишь числом. Скаляры определяются как элементы поля и предназначены для описания векторного пространства, а несколько скаляров формируют вектор. Скаляры бывают представлены различными типами чисел: действительными, вещественными, натуральными. Обозначаются они прописными и строчными буквами греческого и латинского алфавитов:

5 <h2>Вектор</h2>

6 Вектор представляет собой упорядоченный массив скаляров, причём скаляры выступают тут в виде координат точек в пространстве. Скопление векторов образует векторное пространство. Векторы можно складывать, перемножать, масштабировать. Обозначаются векторы жирным шрифтом, при этом у каждого элемента есть индекс.

7 <h2>Матрица</h2>

8 Матрица - 2-мерный массив скаляров. Матрица обозначается в верхнем регистре жирным шрифтом. Допустим, матрица из вещественных чисел, сmрядов иnстолбцов будет записана так:

9 Так как матрица - это 2-мерный массив, её элементы имеют 2 индекса:

10 Две матрицы можно складывать и вычитать друг с другом, но только в том случае, когда у них одинаковое число столбцов и рядов. Что касается умножения, то 2 матрицы можно перемножать, если число столбцов 1-й матрицы соответствует числу рядов 2-й. К примеру, можно перемножить матрицу A размераm,nс матрицей B размераn,p. В итоге получим матрицу C размераm,p. Вот, как будет выглядеть формула умножения:

11 Также стоит добавить, что матричное произведение ассоциативно и дистрибутивно:

12 Но в некоторых случаях нам надо перемножать элементы матриц между собой. Речь идёт об операции под названиемпроизведение Адамара(обозначают A ∘ B). Кроме того, матрицы можно умножать на скаляры и векторы. Интересный факт: произведением вектора и матрицы будет вектор:

13 <h2>Тензор</h2>

14 Тензор представляет собой многомерный массив чисел. Как правило, в тензоре более 2-х измерений, поэтому его можно изобразить, как многомерную сетку, состоящую из чисел. Но по большему счёту, матрицы - это те же тензоры, но они 2-мерные, вот и все отличия. Что касается тензоров, то они получили известность в том числе и благодаря ML-фреймворкуTensorFlow.

15 В следующей части этой статьи мы продолжим разговор о линейной алгебре в контексте ИИ. Следите за новостями блога!

16 Источник - "<a>Mathematics for Artificial Intelligence - Linear Algebra</a>"