определение, виды, свойства и построение OTUS
2026-03-10 15:13 Diff
https://otus.ru/journal/vektory-opredelenie-vidy-svojstva-i-postroenie/

Точные науки тесно связаны между собой. Алгебраические и геометрические понятия встречаются в биологии, физике, информатике и так далее. В разработке программного обеспечения они тоже пригодятся.

Сегодня предстоит познакомиться с понятием вектора. Нужно выяснить, что это за компонент, каким он может быть. Вниманию будут представлены: понятие длины вектора, принципы построения этого компонента на координатных плоскостях. Дополнительно предстоит рассмотреть выражение вектора в разных науках.

Предложенная ниже информация рассчитана на широкий читательский круг. Она подойдет и школьникам (ведь векторные элементы изучаются в 8-9 классах), и студентам, и обычным взрослым людям. Соответствующие сведения будут полезны IT-специалистам и людям, трудящимся в разных областях деятельности. Преимущественно – в точных науках.

Определение

Перед тем как строить вектор (vector), необходимо понять, что это вообще такое. Под вектором принято понимать направленный отрезок. У него есть два ключевых параметра:

  • длина;
  • направление.

Графически соответствующий алгебраический объект может выражаться числом или стрелкой. В аналитике и разработке под вектором понимается также некоторый упорядоченный числовой набор.

Vector с началом в точке A и концом в точке B обозначается как AB со стрелкой над записью, направленной вправо. Допускается также ставить горизонтальную черту над AB вместо стрелки.

Перед тем как строить вектор, нужно разобраться в письменной интерпретации данного элемента. Он может записываться малыми латинскими буквами со стрелкой или горизонтальной чертой. В качестве примера стоит привести запись – a. Иногда маленькая латинская буква для обозначения vector выделяется жирным шрифтом.

Порядок букв в векторной записи имеет огромное значение. Это означает, что AC и CA – совершенно разные алгебраические объекты.

Разновидности

Существуют разные виды векторов. В зависимости от того, какого они типа, будет меняться их интерпретация на координатной плоскости и в пространстве.

Сегодня можно выделить следующие vectors:

  1. Коллинеарные. Они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
  2. Неколлинеарные. Алгебраические объекты, которые расположены на разных прямых. Эти прямые не параллельны друг другу.
  3. Сонаправленные. Это коллинеарные векторы, которые имеют одно и то же направление. Обозначаются как AB↑↑CD.
  4. Противоположно направленные. Коллинеарные vectors, имеющие разные направления. Обозначаются на письме как AB↑↓CD.
  5. Равными. Такие направленные отрезки одновременно являются коллинеарными и сонаправленными. У них также будет одинаковая длина.
  6. Нулевыми. Так называются vectors, длины которых равны нулю. Они будут коллинеарны любым другим векторным элементам в пространстве. Обозначаются как {0}.
  7. Закрепленными – отрезок с упорядоченными концами.
  8. Свободными. У таких векторных элементов начало и концы не закреплены. Они могут перемещаться как вдоль прямой, на которой находятся, так и параллельно ей.

Теперь можно выяснить, для чего вообще используются рассматриваемые алгебраические и геометрические элементы. Может быть, в IT они не так важны, как кажется.

Кто и зачем пользуется

Vectors – это объекты, которые широко используются. Они могут пригодиться специалистам разных направлений:

  1. Математикам. Направленные отрезки в математике – это одни из базовых алгебраических и геометрических компонентов. Векторные элементы применяются в различных понятиях и формулах.
  2. Физикам и другим специалистам естественных наук. С помощью vector можно выражать разнообразные явления реального мира, а также формулы.
  3. Инженерам. Они используют vectors в ходе расчетов.
  4. Специалистам по большим данным. Это связано с тем, что направленные отрезки – это структуры, которые лежат в основе соответствующего направления.
  5. Специалистам по машинному обучению. На основе векторных элементов создаются матрицы. Последние служат объектами хранения данных и обучения моделей.
  6. Разработчикам программного обеспечения. В основном, вычислительного характера. Им необходимо реализовывать разнообразные математические операции в своих проектах. Также vectors пригодятся лицам, которые пользуются в процессе ведения деятельности вычислительными программами.
  7. Дизайнерам и специалистам по компьютерной графике. Рассматриваемый алгебраический элемент встречается в процессе создания изображений. Особенно векторного типа.
  8. Звукооператорам и звукоинженерам. Vectors могут применяться в процессе звуковой обработки.

С помощью направленных отрезков могут проводиться сложные расчеты, а также осуществляться графическое и математическое представление некоторых явлений/операций, хранение множества числовых данных и выполнение операций над ними. А еще рассматриваемые компоненты позволяют описывать многомерные структуры и анализировать информацию.

Основные операции над векторами

На координатных плоскостях векторы изображаются разными способами. Перед тем как изучать данный момент, стоит рассмотреть ключевые операции над векторами. Они будут представлены на основе двумерной плоскости, но без координатной системы. Это поможет быстрее разобраться в выполнении разнообразных операций над направленными отрезками.

Сложение

Сложение vectors может проводиться несколькими способами. Первый вариант – по правилу треугольника. Пусть будут даны направленные отрезки a и b, которые нужно сложить. Для этого потребуется:

  1. Изобразить на плоскости один направленный отрезок.
  2. Отложить начало одного направленного отрезка от другого.
  3. Соединить начало a с концом b. Результатом станет vector c. Он отражает векторную сумму.

Ниже можно увидеть наглядную интерпретацию того, как выглядит сложение направленных отрезков по правилу треугольника.

Также сложение можно проводить по правилу параллелограмма. Пусть нужно получить сумму vectors c и d. Для этого необходимо:

  1. Совместить начала c и d.
  2. Отложить от конца c вектор, равный d.
  3. Отложить от конца d vector, который равен c.
  4. Провести диагональ получившегося параллелограмма.

Именно получившаяся диагональ – это и есть векторная сумма.

Выше – пример того, как соответствующая операция выглядит «на бумаге».

Еще один вариант обнаружения векторной суммы – это использование метода многоугольника. Он актуален для ситуаций, когда направленных отрезков более, чем два. Метод многоугольника является расширенным вариантом правила треугольника.

Согласно методу многоугольника, необходимо последовательно совмещать конец и начало векторов. После – изобразить результирующий направленный отрезок. Его начало совпадет с началом первого vector, а конец – с концом последнего. Выше – пример того, как соответствующая ситуация выглядит на практике.

Вычитание

Вычитание – это то же самое сложение, но с обратным числом. Данный принцип актуален и для направленных отрезков. Для вычитания vectors нужно прибавить вектор, противоположно направленный исходному. Далее – пользоваться правилом треугольника.

Чтобы не запутаться, для вычитания рекомендуется пользоваться следующим алгоритмом:

  1. Отложить на плоскости один направленный отрезок от начала другого.
  2. Вектор их разности – это вектор, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора. Конец – с концом уменьшаемого.

Ниже – пример реализации соответствующей концепции.

Соответствующий метод напоминает правило параллелограмма. Только при вычитании необходимо взять другую его диагональ.

Умножение

Еще одной значимой операцией является векторное умножение. Между собой рассматриваемые компоненты не перемножаются. Зато они могут быть умножены на число k.

Чтобы провести соответствующую операцию, потребуется запомнить несколько правил:

  • при значении k = 1, vector остается неизменным;
  • если модуль 1> k > 0, элемент «сжимается» в 1/k-раз;
  • если модуль k > 1, рассматриваемый компонент «растягивается» в k-раз;
  • если один из множителей является нулевым или числом, равным 0, результирующим вектором станет нулевой вектор;
  • если k <0, направление отрезка необходимо изменить, руководствуясь ранее представленными правилами умножения.

Все это необходимо помнить, чтобы выполнять разнообразные операции над векторными величинами.

Запись и графическое представление в пространстве

Теперь можно более детально рассмотреть принципы, по которым можно выяснить, как строить векторы по координатам. Но сначала предстоит разобраться с формой их записи.

Много зависит от дисциплины, в которой используется направленный отрезок. Графически он представляется стрелкой или линией, описанной математическим способом. Форма записи может быть разной:

  1. Именем в виде буквы, над которой ставится стрелка или черта. После «названия» ставятся скобки, в которых через запятую пишутся хранящиеся числа (координаты).
  2. Числовым набором (координатами) в столбик. В этом случае список заключается в круглые или квадратные скобки.
  3. Особыми готическими буквами.

Ниже – примеры записи направленных отрезков вне координатных плоскостей. Графическую интерпретацию на плоскости можно увидеть в примерах операций над vectors.

Запись vectors математически не вызывает обычно существенных затруднений. Сложности встречаются при интерпретации этого объекта в геометрии на координатной плоскости.

Изображение в геометрии

В геометрии требуется грамотно изображать величины на плоскостях. Здесь интерпретация рассматриваемого объекта математики зависит от того, какая именно система координат используется. А значит, она зависит от количества известных координат.

Скаляр – это вектор, который состоит из одного числа. Он изображается в системе координатной плоскости в качестве точки, поставленной на числовой прямой.

Откладывается соответствующая точка по оси X. Но это достаточно редкая ситуация. Намного чаще людям приходится пользоваться двумерным пространством. Чуть реже – строить направленные отрезки в трехмерном пространстве.

Vector, которые имеет две известные координаты, будет строиться в двумерном пространстве. Он выражается точкой, которая строится по координатам X и Y. Именно эти значения указывают, как в пространстве размещается рассматриваемый объект.

Необходимо запомнить некоторые правила перемещения по координатной плоскости в процессе построения на ней vector:

  • первое число в записи – это расстояние по оси X, второе – по оси Y;
  • если X и Y положительные, двигаться предстоит вправо и вверх соответственно;
  • если координаты X и Y отрицательны, нужно откладывать точку влево и вниз соответственно.

На практике векторы в геометрии для наглядности выражаются стрелкой с направлением рассматриваемого элемента или линией. Она исходит из начала системы координат и «тянется» до отложенной точки.

Выше можно увидеть наглядный пример изображения вектора с координатами (-5;4).

В разработке программного обеспечения, а также в физике и некоторых других науках требуется строить рассматриваемый элемент на трехмерной плоскости координат. Это более сложная задача, но справиться с ней все еще может каждый.

В соответствующем случае появляется новая линия координат – Z. Она проводится перпендикулярно X и Y.

Необходимо запомнить следующие принципы построения vector на трехмерной плоскости координат:

  • первое число – координата X;
  • второе число – координата Y;
  • третье число – координата Z.

Также предстоит руководствоваться ранее изученными принципами движения по плоскости: если значения координат положительные, нужно двигаться вверх или вправо. Когда координаты отрицательны – вниз и влево.

Выше – пример того, как выглядит вектор на трехмерной плоскости координат. Но бывает, что чисел у vector больше: 4, 5 и так далее.

Такие ситуации встречаются редко. Пользоваться ранее представленными системами координат не получится. Придется строить N-мерное пространство и откладывать на нем точки по заданным координатам. Они очень сложные в плане реализации. Вручную такие «отрезки» не откладываются. Для обучения и разработки большинства программного обеспечения хватает ранее рассмотренных плоскостей координат.

Векторная длина

Длина вектора – это всегда положительное значение. Обозначается оно на письме модулем заданного элемента. Если задан vector A с координатами x и y, его длина вычисляется по формуле: x2+y2.

Также можно определить длину по координатам начала и конца рассматриваемого компонента. Пусть будет дан vector CD с координатами (xc;yc) и (xd;yd). Найти его длину по соответствующим координатам можно без труда.

Сначала нужно выразить координаты вектора. Для этого используется запись: CD(xc-xc;yd-yc). Остается только подставить соответствующие координаты и их значения в формулу вычисления длины vector.

Теперь ясно, как откладывать координаты точки вектора на плоскости, а также для чего вообще этот объект нужен. На дистанционных компьютерных курсах можно научиться использовать эту информацию для разработки программного обеспечения.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!