1 added
1 removed
Original
2026-01-01
Modified
2026-03-10
1
<p>Из операций с матрицами можно выделить транспонирование, псевдоинверсию, преобразование в скаляр, умножение на вектор и умножение на обратную матрицу. Знание этих операций пригодится вам в контексте понимания принципов работы ИИ.</p>
1
<p>Из операций с матрицами можно выделить транспонирование, псевдоинверсию, преобразование в скаляр, умножение на вектор и умножение на обратную матрицу. Знание этих операций пригодится вам в контексте понимания принципов работы ИИ.</p>
2
<h2>Транспонирование матрицы</h2>
2
<h2>Транспонирование матрицы</h2>
3
<p>После транспонирования мы получим так называемую<strong>транспонированную матрицу</strong>. Можно сказать, что это будет зеркальным отображением матрицы по главной диагональной линии (начинается в левом верхнем углу и идёт в нижний правый угол).</p>
3
<p>После транспонирования мы получим так называемую<strong>транспонированную матрицу</strong>. Можно сказать, что это будет зеркальным отображением матрицы по главной диагональной линии (начинается в левом верхнем углу и идёт в нижний правый угол).</p>
4
<p>Представьте, что у нас есть матрица A. Транспонированной будет являться матрица Ат( Аt, Аtr). Вдобавок к этому, такую матрицу мы сможем получить, если запишем ряды матрицы A в виде столбцов матрицы Aт, а столбцы - в виде рядов.</p>
4
<p>Представьте, что у нас есть матрица A. Транспонированной будет являться матрица Ат( Аt, Аtr). Вдобавок к этому, такую матрицу мы сможем получить, если запишем ряды матрицы A в виде столбцов матрицы Aт, а столбцы - в виде рядов.</p>
5
<h2>Умножаем единичную матрицу на вектор</h2>
5
<h2>Умножаем единичную матрицу на вектор</h2>
6
<p>Понятие единичной матрицы вам должно быть знакомо. Если умножить такую матрицу на вектор, то значения вектора не изменятся. На картинке ниже элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, остальные - 0:</p>
6
<p>Понятие единичной матрицы вам должно быть знакомо. Если умножить такую матрицу на вектор, то значения вектора не изменятся. На картинке ниже элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, остальные - 0:</p>
7
<p>Следует отметить, что диагональная матрица очень похожа на единичную. Все её элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равняются нулю. Однако в отличие от единичной, здесь на главной диагонали матрицы элементы не равны 1. Следовательно, можно сказать, что единичная матрица является видом диагональной матрицы. Такие матрицы весьма полезны при решении ряда алгоритмов.</p>
7
<p>Следует отметить, что диагональная матрица очень похожа на единичную. Все её элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равняются нулю. Однако в отличие от единичной, здесь на главной диагонали матрицы элементы не равны 1. Следовательно, можно сказать, что единичная матрица является видом диагональной матрицы. Такие матрицы весьма полезны при решении ряда алгоритмов.</p>
8
<h2>Умножаем на обратную матрицу</h2>
8
<h2>Умножаем на обратную матрицу</h2>
9
<p>Обратную матрицу определяют так:</p>
9
<p>Обратную матрицу определяют так:</p>
10
<p>Умножив матрицу A на обратную ей матрицу A со степенью -1, мы получим единичную матрицу. Говоря об обратной матрице, можно вспомнить обратное число. Например, для числа a обратным будет 1/a. Если же обычное число мы умножим на обратное ему, мы получим единицу: a * 1/a = 1. То же самое и с матрицами. Но тут стоит учесть, что данное утверждение справедливо лишь для квадратных матриц.</p>
10
<p>Умножив матрицу A на обратную ей матрицу A со степенью -1, мы получим единичную матрицу. Говоря об обратной матрице, можно вспомнить обратное число. Например, для числа a обратным будет 1/a. Если же обычное число мы умножим на обратное ему, мы получим единицу: a * 1/a = 1. То же самое и с матрицами. Но тут стоит учесть, что данное утверждение справедливо лишь для квадратных матриц.</p>
11
<h2>Псевдоинверсия Мура-Пенроуза</h2>
11
<h2>Псевдоинверсия Мура-Пенроуза</h2>
12
<p>Когда нам нужно выполнить операцию для неквадратных матриц, подойдёт псевдоинверсия Мура-Пенроуза:</p>
12
<p>Когда нам нужно выполнить операцию для неквадратных матриц, подойдёт псевдоинверсия Мура-Пенроуза:</p>
13
<p>Здесь U, D и V - сингулярное разложение нашей матрицы A.</p>
13
<p>Здесь U, D и V - сингулярное разложение нашей матрицы A.</p>
14
-
<p>Псевдоинверсия D+ матрицы D формируется путём взятия элементов, которые обратны элементам матрицы, а также её дальнейшим транспонированием. Однако следует быть осторожным с концепцией обратной матрицы A-1, ведь пока она больше применяется в теории, чем на практике. Ситуация обусловлена тем, что вычислительные способности даже самых современных компьютеров дают лишь приблизительный ответ.</p>
14
+
<p>Псевдоинверсия D+ матрицы D формируется путём взятия элементов, которые обратны элементам матрицы, а также её дальнейшим транспонированием. Однако следует быть осторожным с концепцией обратной матрицы A-1, ведь пока она больше применяетс�� в теории, чем на практике. Ситуация обусловлена тем, что вычислительные способности даже самых современных компьютеров дают лишь приблизительный ответ.</p>
15
<h2>Преобразуем матрицу в скаляр</h2>
15
<h2>Преобразуем матрицу в скаляр</h2>
16
<p>Случается, что необходимо преобразовать матрицу в скаляр, для чего надо найти определитель, обозначаемый det(A) либо |A|. Это преобразование возможно лишь с ними, ниже вы увидите пример с матрицей 2×2:</p>
16
<p>Случается, что необходимо преобразовать матрицу в скаляр, для чего надо найти определитель, обозначаемый det(A) либо |A|. Это преобразование возможно лишь с ними, ниже вы увидите пример с матрицей 2×2:</p>
17
<p>Тут же следует сказать несколько слов о линейной зависимости. Набор векторов тогда считается линейно зависимым, когда хоть один вектор может быть представлен в виде комбинации других векторов из набора. В обратном случае набор является линейно независимым. Как правило, векторы<em>x</em>и<em>y</em>можно считать линейно независимыми, только когда значения для скаляров a и b, удовлетворяющих ax + by = 0, равняются a = b = 0.</p>
17
<p>Тут же следует сказать несколько слов о линейной зависимости. Набор векторов тогда считается линейно зависимым, когда хоть один вектор может быть представлен в виде комбинации других векторов из набора. В обратном случае набор является линейно независимым. Как правило, векторы<em>x</em>и<em>y</em>можно считать линейно независимыми, только когда значения для скаляров a и b, удовлетворяющих ax + by = 0, равняются a = b = 0.</p>
18
<p><em>Источник - "<a>Mathematics for Artificial Intelligence - Linear Algebra</a>"</em></p>
18
<p><em>Источник - "<a>Mathematics for Artificial Intelligence - Linear Algebra</a>"</em></p>
19
19