Теория чисел и их разложение OTUS
2026-03-10 19:42 Diff
https://otus.ru/journal/teoriya-chisel-i-ih-razlozhenie/

Математика – база, с которой должен быть знаком каждый уважающий себя программист. В разработке приложений без нее не обойтись, особенно если проект подразумевает те или иные подсчеты. Особое внимание необходимо уделить так называемой теории чисел.

Данная статья расскажет о том, как провести разложение заданного числа на множители. Дополнительно предстоит рассмотреть теорию чисел и наиболее важные элементарные вычисления в математике. Информация пригодится не только специалистам, но и школьникам, студентам, новичкам в IT.

Определения

Перед тем как разложить одно число на другие числа (множители), нужно разобраться с определениями:

  • простое число – натуральное, которое делится только на себя, а также на единицу;
  • составное число – непростое число, которое без остатка делится на несколько других (не только на единицу и само себя);
  • простым делителем числа является множитель, делящее элемент без остатка нацело;
  • множитель – компонент, показывающий сколько раз требуется повторить слагаемым какое-нибудь иное число;
  • сомножитель – один из нескольких множителей, входящих в заданное произведение;
  • признаки делимости – особенности «цифр», которые помогают быстро определить, делится ли заданный элемент на другой.

Теперь можно раскладывать «цифры» на простые множители. Но сначала рекомендуется изучить признаки делимости. Они являются «базой» при рассмотрении разложения математических элементов.

Признаки делимости

Раскладывать «цифры» трудно, если не знать признаки делимости. Данные правила помогут быстрее освоить тему:

  • число на 2 будет делиться только тогда, когда его последняя цифра является четной или 0;
  • если сумма всех составляющих математической единицы делится на 3, то все оно разделяется на тройку;
  • на 4 элемент делится, если в последнем его ряде стоят 0, 4 или 8, а предпоследний – четный;
  • на четверку делится элемент, который в предпоследнем разряде имеет нечетные цифры, а в последнем – 2 или 6;
  • на 5 компонент делится, когда он «заканчивается» на 0 или 5.

Если делим без остатка математический элемент на 10, то в его последнем разряде должен всегда стоять 0. Этот алгоритм применим ко всем «цифрам».

Разложение на простые элементы

Алгоритм разложения на простые множители может быть представлен несколькими способами. Первый метод – классический математический. На уроках в школах такое разложение проводят просто – при помощи записи столбиком двух колонок. В левой пишутся исходные данные. Далее:

  1. Нужно взять самое маленькое простое число – 2. По признакам делимости или при помощи обычного деления проверить, делится ли исходный элемент на двойку.
  2. Если да – в правую колонку записать 2, а исходный компонент поделить. Результат записать в левую колонку под первым элементом.
  3. Если заданная «цифра» не делится на 2, необходимо взять другое простое. Повторить предыдущие этапы.
  4. Повторять манипуляции, пока не получим в левой колонке 1.

Результат разложения числа на множители записываются по правой колонке в направлении снизу-вверх. Позже будут приведены наглядные примеры, объясняющие алгоритм.

Древовидный метод

Этот вариант более творческий. Он позволяет изобразить разложение числа на их простые множители графически. Полученный результат записывается древовидно.

Для того, чтобы воспользоваться подобным алгоритмом, потребуется:

  1. Записать по центру листа (желательно в центре) заданный исходный элемент.
  2. Нарисовать две наклонные линии вниз – вправо и влево.
  3. Найти сомножителей – их пару.
  4. Записать получившийся результат под исходным – около косых черт.
  5. Для каждой пары написать соответствующие сомножители. Каждый раз делать это необходимо при помощи косых черт.
  6. Проводить операцию до тех пор, пока не останутся только простые.
  7. Обвести простой множитель или подчеркнуть его. Желательно сделать это по всему «дереву».
  8. Записать результат. Им послужит произведение простых множителей.

Теперь задание, звучащее как «разложи на простые множители числа заданный элемент» не доставит никакого труда. Чтобы лучше понять процесс, далее будут приведены наглядные примеры.

Примеры

Алгоритм действий для разложения понятен. Он может быть реализован несколькими способами. В качестве первого примера будет дана задача – «разложи 84 на простые множители числа». При «делении столбиком» процедура будет выглядеть так:

  1. Проводится проверка делимости на 2. 84 по признакам делимости действительно делится на 2. В колонку справа пишется 2, слева – результат от деления.
  2. 42 делится на 2 без остатка. Процедура повторяется.
  3. 21 на 2 не делится. Без остатка его можно поделить на 3. Справа пишется тройка, слева – 7.
  4. Семерка – это простой компонент. Она делится без остатка на 7.

Ниже – пример того, как выглядит соответствующий прием на бумаге:

Для записи результата алгоритма данного вида нужно «прочесть» правую колонку. 84 = 7 * 3 * 2 * 2. Последовательность простых сомножителей может быть любая – она обязательно включает в себя больше 2-х компонентов.

Еще один пример для древовидного подхода. Нужно разложить число на простые множители и изобразить процесс графически. За основу возьмем 315.

Выше – пример того, как будет выглядеть соответствующий прием. Записать результат вычислений нужно так: 315 = 3 * 3 * 7 * 5.

Наибольший общий делитель

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух и более чисел, потребуется разложение числа на множители. Так называется максимальное общее, которое нацело делит каждую заданную «цифру».

Чтобы определить НОД, потребуется:

  1. Создать древовидную структуру для каждого компонента Их количество ограничивается первоначальными условиями задачи.
  2. Записать все отдельные множители для каждого компонента. Выписать все общие элементы.
  3. Перемножить сомножители. Если он один – этот компонент и будет наибольшим общим.

Теперь остается записать результат. В качестве примера даны 196 и 260. Их НОД равен 65.

Наименьшее кратное

Наименьшее общее кратное – наименьшее, которое нацело будет делиться на каждый заданный элемент. Обнаружить его можно при помощи древовидной структуры:

  1. Для каждой заданной «цифры» записать «дерево разложения».
  2. Записать для каждого числа все простые множители.
  3. Выделить и записать общий компоненты. Двойные учитывать не требуется.
  4. Перемножить общие множители, а также сомножители, которые не являются общими.
  5. Записать ответ.

В качестве примера стоит взять 15 и 40. Общий множитель у них – 5, 3, 2, 2, 2 не являются таковыми. Результатом станет 5 * 3 * 2 * 2 *2 = 120.

Теперь понятно, как провести разложение числа на простейшие множители. Сделать это также можно при помощи онлайн калькуляторов.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!