Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-03-10

1 <ul><li><a>Определение</a></li>

2 <li><a>Натуральный логарифм</a><ul><li><a>Что такое e</a></li>

3 <li><a>Зачем нужны ln x</a></li>

4 </ul></li>

5 <li><a>Иные виды логарифмов</a></li>

6 <li><a>Свойства</a></li>

7 <li><a>Для чего необходимы</a><ul><li><a>В разработке</a></li>

8 <li><a>Логарифмическая сложность</a></li>

9 </ul></li>

10 </ul><p>Математика, физика и другие точные науки связаны друг с другом. Они часто встречаются не только в обыденной жизни, но и в разработке программного обеспечения. Особенно алгебраические и геометрические формулы/понятия.</p>

11 <p>Сегодня предстоит познакомиться с логарифмами простых чисел и не только. Необходимо выяснить, что собой представляет логарифм (log), для чего он может использоваться. Вниманию будут представлены ключевые свойства данного математического элемента.</p>

12 <p>Предложенная информация рассчитана на широкую публику. Она подойдет для изучения как программистами и математиками, так и обычными ПК-пользователями.</p>

13 <h2>Определение</h2>

14 <p>Логарифм (log) - это математическая функция. Она выступает обратной к операциям возведения в степень. Можно сказать, что log - это перевернутая степень.</p>

15 <p>Логарифмом числа b по основанию a определяется показатель степени, в которую необходимо возвести a для получения числа b. Обозначается как logab. Читается "логарифм b по основанию a".</p>

16 <p>Чтобы лучше разобраться с этим компонентом, рекомендуется рассмотреть наглядный пример. А именно: 23=8. Здесь:</p>

17 <ul><li>2 - основание степени;</li>

18 <li>3 - показатель степени;</li>

19 <li>8 - результат возведения в степень.</li>

20 </ul><p>Возведение в степень имеет два обратных выражения. В одном необходимо отыскать основание (извлечение корня), в другом - показатель (логарифмирование). Второе понятие - это и есть вычисление log.</p>

21 <p>Все вышесказанное значит, что ранее представленную запись можно интерпретировать так: log28=3. Если подвести итог, можно сказать, что логарифм - это число, в которое нужно возвести 2 (основание) для получения 8 (результата возведения в степень).</p>

22 <p>Форма записи log не является интуитивно понятной. Из-за этого изначально можно перепутать основание со степенью. Чтобы такого не было, необходимо запомнить одно правило: у log, как и у возведения в степень, основание пишется внизу.</p>

23 <h2>Натуральный логарифм</h2>

24 <p>Логарифмы бывают разными. В процессе математических расчетов и во время программирования специалисты могут сталкиваться с натуральными логарифмами.</p>

25 <p>Ключевой частью любого log выступает его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций дает возможность производить с ними те или иные операции.</p>

26 <p>Натуральный log - это иррациональное число. Его основанием выступает число Эйлера. Обозначается как e. Значение числа Эйлера приблизительно равняется 2,71828.</p>

27 <p>Под иррациональным числом понимается число, которое нельзя записать в виде привычной дроби с числителем и знаменателем. Знаменатель у такого значения не равняется нулю. В качестве примеров можно представить корень из числа 2 и 0,333. В первом случае речь идет об иррациональных числах, во втором - о рациональных, потому что 0,333 можно представить приблизительно как 1/3.</p>

28 <p>Натуральные логарифмы часто используются в точных науках. Для них была введена отдельная интерпретация - ln x. Соответствующая запись обозначает logex.</p>

29 <h3>Что такое e</h3>

30 <p>Чтобы лучше понимать работу с натуральным логарифмом, необходимо выяснить, что собой представляет e. Пусть будет дан кристалл весом 1 килограмм. Он растет со скоростью 100 % в год. Предполагается, что через год он станет весить 2 килограмма, но данное утверждение является неверным.</p>

31 <p>Каждая новая выращенная часть станет наращивать свои собственные части. Когда в кристалле будет 1,1 килограмма, он начнет расти со скоростью 1,1 кг/год, когда в нем будет 1,5 килограмма - со скоростью 1,5 кг/год. Математики подсчитали, что через 12 месяцев масса такого кристалла будет равна 2,71828 килограмма. Это и есть e.</p>

32 <p>Подобный рост носит название экспоненциальным. По экспоненте:</p>

33 <ul><li>приумножаются доходы человека или бизнеса;</li>

34 <li>увеличиваются популяции;</li>

35 <li>растут снежные комья;</li>

36 <li>размножаются бактерии;</li>

37 <li>остывают напитки и многое другое.</li>

38 </ul><p>Теперь можно выяснить, для каких целей нужны натуральные логарифмы.</p>

39 <h3>Зачем нужны ln x</h3>

40 <p>Чтобы понять, какой массой будет кристалл через несколько лет, необходимо возвести e в соответствующую степень. Это не так трудно.</p>

41 <p>Возникает вопрос о том, как рассчитать момент, в который кристалл будет весить определенное количество килограмм. Пусть это будет 1000 кг. В этом случае целесообразно использовать запись: ex=1000.</p>

42 <p>Основание степени и результат возведения в степень известны. Теперь осталось отыскать только показатель. Представленная выше запись может быть записана как x=loge1000. В сокращенной форме представления она выглядит так: x=ln1000.</p>

43 <p>Результатом математических расчетов станет 6,9. Именно столько лет потребуется условному кристаллу, растущему по ранее представленному принципу, чтобы достичь веса 1 тонна.</p>

44 <h2>Иные виды логарифмов</h2>

45 <p>Натуральный логарифм (ln) является не единственным в своем роде. Log могут быть разными. Все зависит от их основания:</p>

46 <ol><li>Десятичный логарифм. Это log с основанием 10. Обозначается как lg x. Он очень удобен для расчета круглых чисел. Lg x - это то же самое, что и log10x.</li>

47 <li>Двоичный логарифм. У него основание равняется 2. Обозначается такой логарифм как lb x. Он чаще всего встречается в разработке программного обеспечения. Данный факт обуславливается тем, что компьютерная техника "думает" и работает в двоичной системе. Lb x=log2x.</li>

48 </ol><p>Это наиболее распространенные виды log. Они встречаются как в разработке программного обеспечения, так и математике чаще остальных.</p>

49 <h2>Свойства</h2>

50 <p>Как считаются логарифмы, понятно. Перед более сложными расчетами необходимо запомнить несколько логарифмических свойств. Они пригодятся в разных науках, включая программирование.</p>

51 <p>Все логарифмы (log) обладают ограничениями. Их основание и аргумент должны быть больше нуля. Также необходимо помнить, что основание не может быть равно единице.</p>

52 <p>Теперь можно перейти к основным логарифмическим свойствам. Они работают в обе стороны. Применяются эти элементы как слева направо, так и справа налево:</p>

53 <ol><li>Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.</li>

54 <li>Логарифм, где число и основание одинаковы, равен единице.</li>

55 <li>Основное логарифмическое тождество: logaan=n.</li>

56 <li>Log произведения чисел равен сумме их логарифмов.</li>

57 <li>Log дроби равен разности log числителя и знаменателя.</li>

58 <li>Если основание или аргумент возведены в степень, их можно выносить перед log.</li>

59 <li>Если неудобно использовать заданное изначально основание логарифма, его можно заменить.</li>

60 </ol><p>Последнее свойство будет выглядеть так:</p>

61 <p>Теперь понятно, как считать логарифмы в том или ином случае. При помощи представленных свойств сделать это будет намного проще.</p>

62 <h2>Для чего необходимы</h2>

63 <p>Log используется не только в математике и программировании, но и в обыденной жизни. Этот элемент встречается намного чаще, чем кажется. К примерам log в жизни человека можно отнести:</p>

64 <ol><li>Децибелы. В них осуществляется измерение относительной громкости звуков. Расчеты ведутся по десятичному log. Относительная громкость называется таковой из-за того, что она отсчитывается от минимального порога, которую способен расслышать человек. Если громкость звука равна 20 ДБ, значит, это громче самого тихого в 100 раз, если 30 ДБ - в 1000.</li>

65 <li>Химию. Здесь можно в качестве примера привести активность водородных ионов.</li>

66 <li>Выдержки и диафрагмы на фотографиях. Это тоже логарифмические элементы. Каждое новое значение будет больше или меньше предыдущего в определенное количество раз.</li>

67 <li>Ракетостроение. Здесь для вычисления ракетных скоростей используется уравнение Циолковского. В его основе заложена логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.</li>

68 <li>Природу. В качестве log в природе встречаются разнообразные спирали: ракушки, растения и даже рога горных козлов.</li>

69 </ol><p>В других областях и сферах жизни log тоже встречаются. При программировании можно за счет рассматриваемого элемента проанализировать сложность алгоритма и ориентировочно предположить, сколько времени потребуется для выполнения проекта. Предполагается, что за секунду проект реализует 1 миллион команд.</p>

70 <h3>В разработке</h3>

71 <p>Разработка программного обеспечения - область, в которой log встречаются очень часто. Кроме ранее представленных задач они помогают рассчитывать рекурсивные функции. Это функции, которые вызывают сами себя. Разработчик может проанализировать ее сложность.</p>

72 <p>Выше представлен кодовый фрагмент, позволяющий вычислить факториал заданной переменной. Принцип расчета целого положительного факториала заключается в перемножении всех предшествующих положительных целых чисел. Обозначается он символом "!".</p>

73 <p>Циклов у этой функции нет, но ее сложность нельзя назвать константой. Если применить эту функцию к числу n, она будет вычисляться на протяжении n-раз. Это напоминает log.</p>

74 <h3>Логарифмическая сложность</h3>

75 <p>Поиск значений в массиве - популярная задача в разработке. Для поиска ответа необходимо знать:</p>

76 <ul><li>определение логарифма;</li>

77 <li>логарифмические свойства.</li>

78 </ul><p>При наличии отсортированного массива, в котором требуется отыскать то или иное значение, ход решения становится более сложным. Решать такие задачи можно несколькими способами. В качестве примера стоит привести бинарный поиск.</p>

79 <p>Для этого требуется взять средний элемент из массива. Если он совпадает с заданным значением - задачу удалось решить. Если изначальный показатель больше выбранного компонента, можно сделать вывод о том, что он лежит в правой части массива. Если меньше - в левой. Далее предстоит разбивать соответствующие подмассивы до тех пор, пока не будет обнаружено искомое значение.</p>

80 <p><em>Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в <a>Otus</a>!</em> </p>