Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-03-10

1 <ul><li><a>Определение</a></li>

2 <li><a>Виды</a></li>

3 <li><a>Кто и для чего использует векторы</a></li>

4 <li><a>Запись и изображение</a><ul><li><a>Физика</a></li>

5 <li><a>В IT</a></li>

6 <li><a>В программировании</a></li>

7 <li><a>Интерпретация в математике</a></li>

8 </ul></li>

9 <li><a>Действия с векторами</a><ul><li><a>Сложение</a></li>

10 <li><a>Вычитание векторов</a></li>

11 <li><a>Умножение на число</a></li>

12 <li><a>Скалярное произведение</a></li>

13 </ul></li>

14 <li><a>Координаты на плоскости и в пространстве</a></li>

15 <li><a>Длина вектора</a><ul><li><a>Длина через векторные координаты</a></li>

16 <li><a>Длина через координаты начала и конца</a></li>

17 <li><a>Длина через теорему косинуса</a></li>

18 </ul></li>

19 </ul><p>Сегодня предстоит познакомиться с понятием вектора. Необходимо выяснить, что он собой представляет, какие характеристики имеет, как их вычислять в том или ином случае. Также вниманию будут представлены основные свойства векторов, области применения рассматриваемого элемента, его ключевые особенности.</p>

20 <p>Предложенная ниже информация рассчитана на широкий круг лиц. Она подойдет для изучения как обычному школьнику (особенно тому, кто планирует в будущем заняться разработкой программного обеспечения), так и IT-специалистам.</p>

21 <h2>Определение</h2>

22 <p>Вектор - это некое понятие из линейной алгебры. Оно характеризует объект, который имеет длину и направление. Направленный прямой отрезок с указанием того, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом.</p>

23 <p>Вектор с началом в точке A и концом в точке B необходимо обозначать как AB со стрелкой над соответствующими буквами. Рассматриваемый элемент может обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними. Пример - a. Иногда вектор обозначается прямым жирным шрифтом, без дополнительных составляющих -<strong>a</strong>.</p>

24 <p>Векторы помогают описывать реальные и абстрактные сущности: скорость, действие силы на предмет и так далее. Все соответствующие сущности объединяет наличие размера (длины) и направления. При помощи векторов их получится описать полно и подробно.</p>

25 <p>Вектор состоит из чисел. В одном таком элементе может храниться более одного числа. Наиболее простым вариантом представления изучаемого понятия является контейнер с множеством числовых данных. Эти самые числа допустимо представить себе в виде координат, которые описывают некоторую точку или движение, или просто в виде некоторого информационного набора.</p>

26 <p>У векторов имеются две важные характеристики:</p>

27 <ul><li>строгий порядок данных;</li>

28 <li>возможность совершать некоторые математические операции.</li>

29 </ul><p>Направленные отрезки допустимо складывать и вычитать, умножать на число. Все это допустимо изобразить геометрически для более понятной и наглядной интерпретации.</p>

30 <p>При записи и изображении векторов необходимо помнить о том, что порядок букв в записи имеет значение. Первая из них отвечает за указание на начало направленного отрезка, а вторая - за его конец. Это значит, что AC и CA - это совершенно разные векторы.</p>

31 <h2>Виды</h2>

32 <p>Вектор - это направленный отрезок на плоскости. Некий объект, который помогает выражать определенные величины. Существуют разные виды векторов:</p>

33 <ol><li>Коллинеарные векторы. Так называются направленные отрезки, которые находятся на одной прямой или параллельных друг другу прямых.</li>

34 <li>Неколлинеарные. Это векторы, которые размещаются не на одной и не на параллельных прямых. Они должны иметь одну и ту же длину.</li>

35 <li>Сонаправленные. Коллинеарные векторы, которые имеют одно и то же направление. Обозначаются в записи так: a↑↑b̅.</li>

36 <li>Противоположно направленные. Коллинеарные векторы, имеющие совершенно разное направление. Обозначить их на письме можно как: a̅↑↓b̅.</li>

37 <li>Равные. Такие векторы являются одновременно сонаправленными и коллинеарными. У них будут одинаковые длины.</li>

38 <li>Нулевой вектор. Это направленный отрезок, длина которого равняется нулю. Такой элемент является коллинеарным любому вектору. Обозначается как {0̅}.</li>

39 <li>Закрепленный. Так называется отрезок с упорядоченными концами. Это понятие является относительно новым, и оно обычно пока не используется на практике.</li>

40 <li>Свободный вектор - вектор, начало и конец которого являются незакрепленными. Он может перемещаться вдоль прямой, на которой располагается. Также допустимо перемещение по параллельным ей прямым. Свободный вектор - это множество закрепленных векторов.</li>

41 </ol><p>Также стоит обратить внимание на понятие угла между несколькими направленными отрезками. У сонаправленных векторов он составит 0 градус. Данная особенность характеризуется тем, что они размещаются на одной или параллельных прямых и обладают одним и тем же направлением. У противоположно направленных векторов угол будет равен 180 градусам. Также существуют перпендикулярные векторы. Между ними угол будет равен 90 градусам.</p>

42 <h2>Кто и для чего использует векторы</h2>

43 <p>Перед изучением свойств векторов, примеров их изображения на плоскости, а также основных операций, рекомендуется сначала понять, кто и для чего использует "направленные отрезки".</p>

44 <p>Определение векторов и их использование пригодится:</p>

45 <ol><li>Математикам в самых разных направлениях. Рассматриваемое понятие является одним из базовых в линейной алгебре. Поэтому оно применяется в огромном количестве математических формул и определений.</li>

46 <li>Физикам и другим специалистам естественных наук. Это связано с тем, что с помощью рассматриваемого элемента допустимо выражение множества формул, описывающих реальный материальный мир.</li>

47 <li>Инженерам. Они пользуются во время работы различными формулами с векторами.</li>

48 <li>Специалистам по большим данным. Это связано с тем, что вектор представляет собой одну из структур, лежащих в основе соответствующего IT-направления.</li>

49 <li>Специалистам по машинному обучению. Из векторов можно создавать матрицы, которые используются для хранения информации и обучения различных моделей.</li>

50 <li>Разработчикам программного обеспечения вычислительного типа. Тем, кто пишет математические программы и использует их для работы.</li>

51 <li>Дизайнерам и иным специалистам по компьютерной графике. Векторы ими могут использоваться для рисования разнообразных изображений.</li>

52 <li>Звукооператорам и звукоинженерам. Это связано с тем, что рассматриваемый компонент может применяться при обработке звука.</li>

53 </ol><p>"Направленные отрезки" могут пригодиться и иным специалистам. Речь идет о тех, кто так или иначе связан с математикой.</p>

54 <p>Рассматриваемый элемент пригодится для:</p>

55 <ol><li>Математических, физических и иных вычислений. С их помощью удастся рассчитать как импульсы, так и ряд Фурье.</li>

56 <li>Графического и математического представления некоторых операций и явлений. В качестве примеров можно привести перенос объекта с места на место, приложение силы к тому или иному элементу.</li>

57 <li>Организованного хранения множества числовых данных и операций над ними.</li>

58 <li>Представления числового множества в качестве единого объекта. Это может иметь значимость в различных сферах деятельности. В качестве примера можно взять разработку программного обеспечения.</li>

59 <li>Описания многомерных структур. "Направленные отрезки" могут иметь не только три измерения, как обычный геометрический объект, а бесконечное их количество.</li>

60 <li>Организации анализа данных. Сведения могут быть собраны в векторные структуры, сгруппированы и качественно проанализированы.</li>

61 </ol><p>Изучаемое понятие широко используется теми, кто в той или иной степени связан с математическими расчетами. Поэтому оно пригодится не только IT-специалисту, но и работникам других сфер.</p>

62 <h2>Запись и изображение</h2>

63 <p>Вектор - это направленный отрезок, который в разных дисциплинах выражается по-разному. Общая суть интерпретаций схожа. Графически рассматриваемое понятие представляет собой стрелку или линию, которая описана математически.</p>

64 <p>Сделать это можно несколькими способами:</p>

65 <ol><li>Именем в виде буквы, над которой изображается линия или стрелка. После нее нужно поставить скобки, в которых через запятую перечисляются хранящиеся числа.</li>

66 <li>Набором чисел, который написан в столбик. Соответствующая запись заключается в круглые или квадратные скобки.</li>

67 <li>Особыми готическими буквами.</li>

68 </ol><p>Ниже можно увидеть, как векторная запись будет выглядеть на практике:</p>

69 <p>Векторные величины можно нарисовать графически. В этом случае рисуется стрелка определенной длины и установленного направления. Эти параметры зависят от наполнения самого вектора.</p>

70 <p>Выше - наглядный пример графической интерпретации рассматриваемого элемента. Далее предстоит рассмотреть его изображение в разных дисциплинах, а затем - на различных координатных плоскостях.</p>

71 <h3>Физика</h3>

72 <p>В физике "направленный отрезок" будет "висеть" в пространстве. Он не имеет жесткой привязки к той или иной системе координат. Такой элемент способен демонстрировать самые разные реальные явления:</p>

73 <ul><li>падение луча света;</li>

74 <li>движение предмета;</li>

75 <li>распространение приложенной силы.</li>

76 </ul><p>Чтобы лучше понимать принцип отображения рассматриваемого элемента в физике, стоит изучить простой пример. Пусть будет дана чашка, которая стоит на столе. Ее перемещают. Отрезок от ее начальной точки положения до конечной - это и есть вектор. Сила, которую нужно приложить к чашке - тоже вектор. Соответственно, на физических схемах рассматриваемый элемент выражается стрелками: от точки, где начался тот или иной процесс, к точке, где он закончился. С их помощью также можно обозначить интенсивность и направление сил, которые действуют на объект.</p>

77 <p>Выше - наглядный пример того, как изображается рассматриваемый элемент в физике.</p>

78 <h3>В IT</h3>

79 <p>В Big Data, машинном обучении и других IT-областях "направленные отрезки" имеют чуть другую интерпретацию. Их здесь проще представить в виде структуры данных, где хранится некоторое количество чисел. Что-то вроде упорядоченного массива.</p>

80 <p>Более специфичная интерпретация будет напрямую зависеть от отрасли, с которой предстоит иметь дело. В геймдеве используются понятия и изображения из физики, а в компьютерной графике - из геометрии. Это всего лишь общие примеры. В реальной жизни использование "направленных отрезков" намного шире.</p>

81 <h3>В программировании</h3>

82 <p>В разработке программного обеспечения векторные элементы могут быть представлены упорядоченными массивами. В качестве примера можно взять C++. В этом языке разработки есть отдельный тип данных. Он называется vector и является одним из базовых. Для описания подобных структур могут существовать и специальные типы данных, которые изначально "заточены" под математику, науку о данных и другие направления.</p>

83 <p>Особые типы способны характеризовать и более сложные структуры, базирующиеся на "направленных отрезках":</p>

84 <ul><li>матрицы;</li>

85 <li>тензоры;</li>

86 <li>другие компоненты.</li>

87 </ul><p>Они могут быть собраны в отдельный математический модуль языка или в библиотеку, которая была разработана специально для того или иного направления. В качестве примера можно привести Python с его NumPy и SciPy.</p>

88 <h3>Интерпретация в математике</h3>

89 <p>Геометрически можно изобразить изучаемый элемент разными способами. Ситуация напрямую зависит от того, что за вектор перед человеком, а также от количества известных координат.</p>

90 <p>Скаляр - это вектор, который состоит из одного числа. Он изображается на координатной плоскости в виде точки. Ставится (откладывается) на имеющейся числовой прямой. Запись скаляра производится в круглых скобках.</p>

91 <p>Выше - наглядный пример графического изображения скаляра с одной координатой. Если у рассматриваемого "направленного отрезка" имеются сразу две координаты, предстоит иметь дело с двумерной координатной плоскостью XY. Вектор также изображается точкой.</p>

92 <p>С помощью чисел можно задать координаты рассматриваемого алгебраического и геометрического элемента в пространстве. Они будут служить некоторой инструкцией, с помощью которой осуществляется перемещение от хвоста к началу (стрелке) вектора. Первое число - это расстояние (длина), откладываемое по оси X, второе - по оси Y.</p>

93 <p>При построении "направленного отрезка" предстоит запомнить следующие правила:</p>

94 <ul><li>по оси X положительные числа указывают на движение вправо;</li>

95 <li>по оси X отрицательные числа указывают на движение влево;</li>

96 <li>положительные значения по оси Y указывают на смещение точки вверх;</li>

97 <li>отрицательные значения по оси Y указывают на смещение точки вниз.</li>

98 </ul><p>Запомнив эти простые правила, можно будет не только понять, какие векторы сонаправлены, но и правильно изобразить их на координатной плоскости в двухмерном пространстве.</p>

99 <p>Чтобы лучше понять соответствующий принцип, стоит изучить наглядный пример. Пусть будет дан вектор с координатами -5 и 4. В этом случае сначала нужно по оси X "пройти" 5 шагов влево, а по Y - "подняться" на 4. Графически это будет выглядеть следующим образом:</p>

100 <p>Это наиболее распространенная на практике ситуация. Но иногда специалистам требуется использовать "направленные отрезки" в трехмерном пространстве. В этом случае предстоит добавить ось Z. Она проводится перпендикулярно X и Y. Векторная величина будет включать в себя три цифры:</p>

101 <ul><li>первая указывает на движение по оси X;</li>

102 <li>вторая указывает на перемещение по оси Y;</li>

103 <li>третья указывает на перемещение по оси Z.</li>

104 </ul><p>Выглядит это так:</p>

105 <p>Бывают векторные величины, которые состоят из 4-х и более координат (чисел). Они встречаются очень редко и почти не используются на практике. Строить их необходимо по ранее представленному принципу: сначала нужно взять заданные координаты, затем - построить N-мерное пространство и отложить на нем имеющуюся точку.</p>

106 <h2>Действия с векторами</h2>

107 <p>Какие векторы сонаправлены, понятно. И способы изображения рассматриваемого элемента - тоже. Теперь можно изучить основные действия над векторами. А еще - разобраться с определением длины "направленных отрезков". Далее вниманию будут представлены самые распространенные операции над изучаемым алгебраическим элементом, встречающиеся на практике.</p>

108 <h3>Сложение</h3>

109 <p>Первая операция, с которой необходимо познакомиться, - это сложение векторов. Оно может производиться несколькими способами. Первый - через метод треугольника.</p>

110 <p>Пусть в пространстве будут даны "направленные отрезки" a̅ и b̅. Нужно их сложить. Для этого используется правило треугольника. Соответствующая задача особо актуальна для физиков, потому что она тесно связана с силой. Именно сила часто прикладывается к одному и тому же телу.</p>

111 <p>Чтобы сложить два вектора, потребуется:</p>

112 <ol><li>Изобразить один вектор на плоскости.</li>

113 <li>Отложить начало одного "направленного отрезка" от конца другого.</li>

114 <li>Вектор суммы векторов совпадает с вектором c̅. Он исходит из начала координат a̅ и соединяет их с концом b̅.</li>

115 </ol><p> Ниже можно увидеть наглядную интерпретацию решения соответствующей задачи.</p>

116 <p>Сложение векторов может осуществляться иначе. В качестве примера можно взять метод параллелограмма. Для этого нужно:</p>

117 <ol><li>Совместить начала c̅ и d̅.</li>

118 <li>Отложить от конца c̅ отрезок, равный d̅.</li>

119 <li>От конца d̅ отложить отрезок, равный c̅. Получится некий параллелограмм.</li>

120 <li>Провести диагональ у параллелограмма между c̅ и d̅. На ней будет лежать вектор суммы c̅ и d̅.</li>

121 </ol><p>Вот так это выглядит графически:</p>

122 <p>Метод многоугольника - еще один способ обнаружения суммы векторов. Он подходит для ситуаций, когда предстоит иметь дело более чем с двумя "направленными отрезками". Данный подход является расширенным методом треугольника.</p>

123 <p>Данный принцип требует последовательно совмещать конец и начало векторов, а после - изображать суммирующий "направленный отрезок". Его начало должно совпадать с началом первого вектора, конец - с концом последнего.</p>

124 <p>Выше наглядный пример того, как складываются "направленные отрезки" по правилу многоугольника.</p>

125 <h3>Вычитание векторов</h3>

126 <p>С "направленными отрезками" можно выполнять самые разные действия. Следующая операция - вычитание. В математике - это то же сложение, но с обратным числом. С рассматриваемым элементом соответствующий принцип тоже действует. Вместо вычитания вектора AB достаточно прибавить вектор, который противоположно направлен исходному: a̅-b̅ = a̅+(-b̅).</p>

127 <p>Вот графическая интерпретация рассматриваемой операции по правилу треугольника:</p>

128 <p>Чтобы не запутаться, рекомендуется руководствоваться такими правилами:</p>

129 <ol><li>Один "направленный отрезок" откладывается от начала другого.</li>

130 <li>Разность векторов совпадет с "направленным отрезком", начало которого совмещено с концом вычитаемого элемента, в конец - с концом уменьшаемого.</li>

131 </ol><p>Выглядеть это будет так:</p>

132 <p>Соответствующий принцип напоминает метод параллелограмма, но в нем необходимо взять другую диагональ.</p>

133 <h3>Умножение на число</h3>

134 <p>Умножение на скаляр (число) - еще одна операция, которую должен знать каждый математик и IT-специалист. В этом случае "Направленный отрезок" просто "растягивается" с сохранением направления. Получившийся вектор будет сонаправленным с начальным.</p>

135 <p>Если "направленный отрезок" умножить на ноль, он станет нулевым. И его длина будет равна нулю. А значит, начало такого элемента будет совпадать с его концом. Интерпретация умножения на ноль - это точка.</p>

136 <p>Если сложить два противоположно направленных вектора, получится нулевой: a̅ + (-a̅) = 0̅. А если к любому "направленному отрезку" прибавить нулевой, ничего не изменится.</p>

137 <p>При умножении рассматриваемого элемента на отрицательное число, он меняет свое направление на противоположное. Такие компоненты будут называться обратными данному. Они должны быть коллинеарными.</p>

138 <h3>Скалярное произведение</h3>

139 <p>Скалярное произведение - операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр. То есть число, которое никак не зависит от выбранной системы координат.</p>

140 <p>Скалярным произведением вектора AB (a̅ и b̅) будет скалярная величина, которая равна произведению модулей этих самых "направленных отрезков" на косинус угла между ними.</p>

141 <p>Рекомендуется запомнить следующее:</p>

142 <ol><li>Если угол между "направленными отрезками" будет прямым, скалярное произведение равно 0. Это связано с тем, что косинус между ними равен 0.</li>

143 <li>Если угол между векторами AB тупой, а сами векторы ненулевые, скалярное произведение будет отрицательным. Это связано с тем, что косинус угла между ними меньше 0.</li>

144 <li>Скалярное произведение "направленного отрезка" на противоположно направленный ему - это отрицательное произведение их длин.</li>

145 </ol><p>Остается изучить определение координат рассматриваемого алгебраического элемента на плоскости и в пространстве, а также познакомиться со способами обнаружения его длины.</p>

146 <h2>Координаты на плоскости и в пространстве</h2>

147 <p>Существуют базисные векторы. Так называются "направленные отрезки", каждый из которых направлен вдоль своей оси координат в трехмерном пространстве. Они обозначаются как i̅, j̅, k̅.</p>

148 <p>Любой "направленный отрезок" в трехмерном пространстве может быть разложен по базисным. A̅ с координатами (Ax, Ay, Az) может быть записан как A̅ = Ax * i̅ + Ay * j̅ + Az * k̅.</p>

149 <h2>Длина вектора</h2>

150 <p>Длина вектора - одно из ключевых понятий, с которым предстоит столкнуться каждому, кто будет работать с "направленными отрезками". Она характеризует их протяженность в пространстве. Векторная длина выражается числом.</p>

151 <p>Длина вектора - расстояние между его началом и концом. Часто длина называется вектором и имеет соответствующее обозначение. Найти ее получится различными способами:</p>

152 <ul><li>при помощи векторных координат;</li>

153 <li>через координаты точек начала и конца "направленного отрезка";</li>

154 <li>посредством теоремы косинусов.</li>

155 </ul><p>Далее каждый прием обнаружения векторной длины будет рассмотрен более подробно.</p>

156 <h3>Длина через векторные координаты</h3>

157 <p>Первый вариант обнаружения длины - через заданные координаты. Пусть будет A̅ с координатами (x,y). В этом случае его длина будет равна квадратному корню из суммы квадратов координат (x2+y2).</p>

158 <p>Сначала из 0 нужно отложить A̅ с координатами (0,0). Он будет называться O̅A̅. Координаты направленного отрезка могут быть найдены по формуле {Ax-0x, Ay-0y} = (x, y). Длина рассчитывается по ранее представленной формуле.</p>

159 <h3>Длина через координаты начала и конца</h3>

160 <p>Еще один вариант расчета длины - при помощи точек начала и конца рассматриваемого компонента.</p>

161 <p>Пусть будет дан C̅D̅ с соответствующими координатами. Посмотреть их можно на изображении выше. В этом случае длина C̅D̅ определяется как разность (XD-XC, yD-yC). Теперь остается подставить соответствующее выражение в ранее изученную формулу подсчета длины. Получится такая запись:</p>

162 <p>Но и это еще не все. Длину можно рассчитать при помощи теоремы косинуса. Такой вариант встречается редко, но помнить о нем все равно необходимо.</p>

163 <h3>Длина через теорему косинуса</h3>

164 <p>Не всегда координаты вектора AB и других даны при решении задач, связанных с обнаружением длины. В этом случае рекомендуется пользоваться теоремой косинусов.</p>

165 <p>Она звучит так: квадрат стороны треугольника будет равен сумме квадратов двух его других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.</p>

166 <p>В векторной форме она будет выглядеть так:</p>

167 - <p>Чтобы найти длину a̅, нужно знать или иметь возможность рассчитать длины b̅ и c̅, а также знать угол между ними. После - рассчитать произведен��е длин этих элементов.</p>

167 + <p>Чтобы найти длину a̅, нужно знать или иметь возможность рассчитать длины b̅ и c̅, а также знать угол между ними. После - рассчитать произведение длин этих элементов.</p>

168 <p>Теперь понятие вектора и основных определений, связанных с ним, разобрано. Научиться применять соответствующие знания на практике помогут дистанционные компьютерные курсы.</p>

169 <p><em>Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в <a>Otus</a>!</em> </p>

170