Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-03-10

1 Теги: алгоритмы для разработчиков, вычисление факториала, теорема вильсона, формулы, быстрое возведение в степень, глубина рекурсии

2 Рассмотрим задачу вычисления формул, состоящих из дробей, где в числителе и в знаменателе присутствуют факториалы (например,<a>биномиальные коэффициенты</a>).

3 Будем вычислять факториалы по некоторому небольшому простому модулюp, пропуская сами множителиp, потому что в дробях множителиpсократятся, и результат будет взят по модулюp.

4 Видно, что формула делится на несколько блоков одинаковой длины, за исключением последней части:

5 Одинаковые блоки содержат общую часть (p - 1)! mod p, что по<a>теореме Вильсона</a>равно p - 1. Чтобы перемножить эти общие части, p - 1 нужно возвести в степень по модулю p (как рассказывается в нашей статье "<a>Быстрое возведение в степень</a>"), однако результат всегда будет 1 или p - 1 в зависимости от чётности показателя.

6 Значение последнего блока можно вычислить отдельно за O(p). Рассмотрим последние элементы блоков:

7 Задача свелась к задаче меньшей размерности (осталось n / p блоков).Программа:

8 def factmod(n, p): res = 1 while n > 1: res = (res * (p - 1 if int(n / p) % 2 else 1)) % p for i in range(2, n % p + 1): res = (res * i) % p n = int(n / p) return res % pЕсть вопросы? Напишите в комментариях!