Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 В этом курсе мы изучим функции, которые представляют важную объединяющую концепцию в математике. В компьютерной науке функции - это компоненты программ, которые формализуют отношения между входом и выходом для вычислений. Проблема проектирования комбинаторной схемы часто начинается с определения функции, которая описывает поведение схемы для каждого возможного входа.

2 Когда мы используем функции, чтобы описать поведение схемы, мы можем использовать различные методы для построения комбинаторной схемы с таким же поведением. Поскольку функции - это особые виды множеств или отношений, мы будем изучать их здесь и использовать идеи, которые представлены в других курсах по дискретной математике.

3 В этом уроке мы расскажем, что такое функции и в чем заключаются их фундаментальные свойства. Также рассмотрим операции над функциями и вытекающие из них свойства. Еще приведем примеры функций с каждым свойством, чтобы помочь понять и различить их.

4 <h2>Что такое функция</h2>

5 Функция- это черный ящик, в который помещают объекты, а выходят другие. Функция определяется двумя фундаментальными свойствами:

6 <ul><li>Если объект введен, то что-то должно выйти</li>

7 <li>Для каждого объекта на входе существует только один возможный выход</li>

8 </ul>Функции важны в математике, потому что они описывают окружающий мир как систему. Все вокруг нас можно воспринимать как систему - то есть некую структуру, которая состоит из входов, обработки и выходов.

9 Разберем подробнее, что это значит. Возьмем для примера нервную систему человека:

10 <ul><li>Вход: Мы дотронулись до чайника, кожа ощутила жар от него и отправила сигнал в мозг</li>

11 <li>Обработка: Мозг принял сигнал, обработал его и отправил мыщцам команду "Отдернуть руку"</li>

12 <li>Выход: Мыщцы приняли сигнал, мы убрали руку от горячего чайника</li>

13 </ul>Как видите, здесь есть вход, обработка и выход - так работают системы. То, что происходит на этапе обработки, можно назватьфункцией. Например, прием сигналов и их обработка - это и есть функция нашего мозга.

14 Таких систем внутри человека много, поэтому тело - это система систем. Таким же образом устроено все вокруг нас: животные и растения, природные явления, человеческое общество, компании, науки, идеи и концепции. Разделяя окружающий мир на системы, мы пытаемся лучше понять его, выяснить его характеристики, выстроить свою линию поведения.

15 Разберем работу функций и ее свойства на примерах.

16 <h2>Как представлять задачи как функции</h2>

17 Для начала рассмотрим простой пример. Представьте классную комнату, в которой каждый ученик сидит на стуле. Мы можем узнать, на каком стуле сидит каждый ученик в классе. Для этого можно создать функцию и дать ей какое-то подходящее по смыслу название - например, SeatOf.

18 Кроме таких простых задач, можно решать более неочевидные. Функцию можно задавать даже там, где у нас недостаточно информации.

19 Например, можно создать функцию BirthDate - она принимает на вход любого человека из издания Британской энциклопедии и выводит его дату рождения. Точная дата известна не всегда, но она точно есть - поэтому такая функция может существовать.

20 Разберем еще один пример. Cоздадим функцию ParentsOf, которая принимает на вход имя человека и выводит упорядоченную пару родителей ParentsOf(Mom, Dad).

21 Обратите внимание, что в обратную сторону это не сработает. Не получится создать функцию ChildOf, которая выбирает ребенка человека. Дело в том, что у некоторых людей нет детей - значит, в некоторых случаях ни один объект не может быть выведен.

22 Некоторые люди также имеют более одного ребенка, из которых можно выбирать. В этом случае функция не будет знать, какого ребенка выводить. Однако можно создать функцию ChildrenOf, которая присваивает каждому человеку множество его детей. Если у человека нет детей, то результатом функции ChildrenOf будет пустое множество (0).

23 Как видите, любую задачу можно представить в виде функции. Если у нас есть задача, к ней всегда можно придумать обозначения и представить всю задачу в виде функции.

24 А теперь посмотрим на примеры из математики.

25 Пример 1:

26 Можно создать Zero_R - это функция, которая принимает на вход любое вещественное число r и всегда выдает 0

27 Этопростая функция, потому что у нее мало переменных.

28 Пример 2:

29 Пусть X - любое множество. От этого X можно создать Id_x - функцию, которая принимает на вход любой x из X и выдает на выходе тот же x.

30 В таком случае она будет называтьсяфункцией тождества на X.

31 Пример 3:

32 Можно создать функцию Floor, которая принимает на вход любое вещественное число и выдает целое число - другими словами, происходит усечение дробной части введенного числа:

33 Floor(3.14159) = [3.14159] = 3

34 Пример 4:

35 Похожим образом cработает функция Ceiling, которая принимает на вход любое вещественное число и выводит наименьшее целое число, большее или равное введенному числу:

36 Ceiling(3.14159) = [3.141591] = 4

37 Эту функцию также называютфункцией наибольшего целого числа.

38 <h2>Какими терминами описывать функции</h2>

39 Мы познакомились с простыми задачами, которые можно представить в виде функций, но бывают и более сложные случаи. Тогда нам требуются дополнительные термины, которые помогут лучше описать функцию. Познакомимся с базовой лексикой на примере функции SeatOf из начала урока:

40 Область функции- это множество всех вещей, которые можно подать на вход, чтобы получить некоторый результат. Область обычно очевидна из определения функции. Например, область функции SeatOf - это множество всех студентов в классе.

41 Область действия функции- это множество всех вещей, которые можно получить на выходе. Область действия SeatOf - это множество всех занятых стульев в классе. Если известна область действия функции, можно определить ее диапазон, применяя функцию к каждому элементу области.

42 Кодомен функции- это множество всех значений, которые могут быть потенциальными выходами. Например, кодомен функции SeatOf - это множество всех стульев в классе. Но также можно сказать, что кодомен - это множество всех занятых стульев.

43 Почему здесь есть разные варианты? Дело в том, что иногда кодомен нельзя определить только из описания функции. Нужно учитывать остальные обсуждения задачи. При менее формальном подходе кодомен определяется неявно. Например, кодоменом большинства функций неявно является R, в других случаях он равен диапазону.

44 <h2>Выводы</h2>

45 В этом уроке мы познакомились с понятием функции и узнали, зачем она применяется. Функцию часто определяют как черный ящик, но официально она считается правилом или видом множества. В этом курсе мы разберем оба определения. Также мы обсудим функцию как правило, ведь этот подход часто упоминается в курсах по программированию.