Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 <p>Когда мы используем слово "или" в повседневных разговорах, мы можем не понимать, что это слово используется в двух разных смыслах. Способ обычно определяется из контекста разговора. Посмотрим на два примера:</p>

2 <ul><li>"Вы бы хотели курицу или стейк?" - можно взять одно или другое, но не оба</li>

3 <li>"Вы бы хотели масло или сметану к печеной картошке?" - можно взять или одно, или другое, или оба. Здесь "или" используется в инклюзивном смысле</li>

4 - </ul><p>В математике слово "или" используется в инклюзивном с��ысле. Так, утверждение "x является элементом A или элементом B" означает, что возможен один из трех вариантов:</p>

4 + </ul><p>В математике слово "или" используется в инклюзивном смысле. Так, утверждение "x является элементом A или элементом B" означает, что возможен один из трех вариантов:</p>

5 <ul><li>x является элементом только A и не является элементом B</li>

6 <li>x является элементом только B и не является элементом A</li>

7 <li>x является элементом A и B. Можно также сказать, что x является элементом пересечения A и B</li>

8 </ul><p>В теории множеств слово "или" обозначает<strong>объединение</strong>- формирование новых множеств из старых. Это одна из самых распространенных операций, поэтому в этом уроке мы погрузимся в эту тему подробнее и научимся соединять множества между собой.</p>

9 <h2>Как объединять множества</h2>

10 <p>Для примера рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.</p>

11 <p>Чтобы найти объединение этих двух множеств, мы просто перечислим все элементы, которые видим, стараясь не дублировать элементы. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 находятся либо в одном, либо в другом множестве, поэтому объединение A и B равно {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.</p>

12 <h2>Условные обозначения</h2>

13 <p>Важно не только понимать, как работает объединение, но и уметь читать символы, которыми обозначаются такие операции. Символ, используемый для обозначения объединения двух множеств A и B, имеет вид A ∪ B.</p>

14 <p>Один из способов запомнить символ<strong>∪</strong>для обозначения объединения - заметить его сходство с заглавной буквой U - это сокращение слова<em>union</em>. Будьте внимательны, потому что этот символ очень похож на символ пересечения. Один из них получается из другого вертикальным переворотом.</p>

15 <p>Чтобы увидеть это обозначение в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Там были множества A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Поэтому мы бы записали уравнение множества так:</p>

16 <p>A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}</p>

17 <h2>Объединение с пустым множеством</h2>

18 <p><strong>Пустое множество (∅)</strong>- это множество, в котором нет элементов. Поэтому его объединение с любым другим множеством не будет иметь никакого эффекта. Другими словами, объединение любого множества с пустым множеством вернет нам исходное множество.</p>

19 <p>Это тождество становится еще более компактным при использовании нотации:</p>

20 <h2>Объединение с универсальным множеством</h2>

21 <p>А что произойдет, если мы объединим любое множество с универсальным множеством? Универсальное множество содержит каждый элемент, поэтому мы не можем добавить к нему ничего другого. Таким образом, объединение любого множества с универсальным множеством является универсальным множеством.</p>

22 <p>И снова наши обозначения помогают нам выразить это тождество в более компактном формате:</p>

23 <p>Для любого множества A и универсального множества U, A ∪ U = U</p>

24 <h2>Правила объединения</h2>

25 <p>О других тождествах, в которых используется операция объединения, вы узнаете на практике, когда будете использовать язык теории множеств. Но мы все таки рассмотрим три самых важных тождества.</p>

26 <p>Для всех множеств A, B и D имеем:</p>

27 <ul><li><strong>Свойство рефлексии</strong>: A ∪ A =A</li>

28 <li><strong>Свойство коммутативности</strong>: A ∪ B = B ∪ A</li>

29 <li><strong>Ассоциативное свойство</strong>: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)</li>

30 </ul>