Комбинаторика
2026-02-26 16:47 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/combinatorics/lessons/basic-tools/theory_unit

Как и в любом другом разделе математики, в комбинаторике есть свои элементарные инструменты — они помогают решать задачи и упрощать сложные выражения. В этом уроке мы изучим два базовых инструмента — принцип голубятни и двойной счет.

Принцип голубятни

Принцип голубятни или принцип Дирихле — это комбинаторное правило, которое можно сформулировать так:

Возьмем n коробок и разложим по ним m предметов. По крайней мере один из ящиков должен содержать более одного предмета при условии, что m > n

Свое название правило получило от знаменитого примера с голубями. Его привел математик Петер Дирихле:

Если построить голубятню на n мест и поселить в нее (n + 1) голубей, то как минимум одно место будет занято несколькими голубями

Согласно этому принципу, если n объектов (голубей) разместить в m коробок, то хотя бы одна коробка будет содержать n/m объектов. Так это выглядит на примере с голубями:

Этот же принцип можно использовать в другом интересном примере:

В толпе из 367 человек найдется как минимум два человека с одинаковым днем рождения

Чтобы доказать эту мысль, применим принцип голубятни. В примере выше есть 367 человек и только 366 возможных дней в году (с учетом високосного года). Дней меньше, чем людей — то есть не всем людям достанется уникальный день рождения. Поэтому по крайней мере два человека будут с одинаковым днем рождения.

Возьмем похожий пример. Представим колледж, в котором нужно провести 679 уроков за 35 доступных слотов в расписании. Как выяснить минимальное количество кабинетов для этой задачи? Нужно разделить 679 уроков на 35 доступных слотов — получится 19.4. Округлим до 20 кабинетов, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда приходится проводить два урока в одном кабинете.

В курсе мы разберем еще множество задач и увидим, как принцип голубятни помогает в решении простых задач и заметно упрощает работу над сложными.

Элементарные инструменты: двойной счет

«Двойной счет» или «счет двумя способами» — это комбинаторная техника, с помощью которой можно доказать равенство двух выражений. Само правило можно сформулировать так:

Два выражения равны, если они являются двумя способами подсчета размера одного и того же множества

Другими словами, если два выражения решают одну и ту же задачу, значит они равны между собой. Это правило часто используют для доказательства комбинаторных тождеств:

Разберем на примере:

Представим, что мы проводим экзамен и раздаем 7 студентам бланки с 9 заданиями. Каждый студент должен выполнить не менее 4 заданий. Как доказать, что есть хотя бы одно задание, которое выполнили не менее 4 учеников?

Для начала определим недостающие значения:

7*4=28 заданий, которые студенты должны сделать (минимальное значение)
7*9=63 задания, которые студенты могут сделать вообще (максимальное значение)

Чтобы решить задание, применим двойной счет.

Первый способ: Подсчитаем общее количество заданий, выполненных каждым из 7 студентов. Количество выполненных заданий обозначим через x:

28 ≤ x_1 + ... + x_7 ≤ 63

Второй способ: Подсчитаем, сколько студентов решили задачу номер 1, 2 и так далее. Если y_j — это количество студентов, решивших j - e задание, то общее количество выполненных заданий обозначается так:

y_1 + y_2 + ... + y_9 = x_1 + ... + x_7

Из этого равенства делаем вывод:

28≤y_1 + y_2 + ... + y_9 ≤ 63

Нижняя граница достижима, только если хотя бы одно из y_j больше или равно 4 (потому что 9 * 3 = 27 > 28). То есть студенты сдадут экзамен только в том случае, если в бланке есть задания, на которые ответят не менее 4 студентов. На этом доказательство завершено.

Выводы

В этом уроке мы познакомились с двумя базовыми инструментами комбинаторики:

  • Принцип голубятни — если взять n коробок и положить в них m > n предметов, то по крайней мере один из ящиков должен содержать более одного предмета
  • Двойной счет — два выражения равны, если они являются двумя способами подсчета размера одного и того же множества

Эти принципы помогут вам решать простые комбинаторные задачи и упрощать решения в более сложных случаях.