Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 Ранее в курсе мы изучали только пропозициональную логику: использовали пропозиции с нотациями, на их примерах рассматривали софизмы и эквивалентные высказывания.

2 Но есть ситуации, которые невозможно адекватно описать терминами логики пропозиций. Например:

3 Каждый человек имеет право водить машину, если он достиг восемнадцатилетнего возраста

4 С помощью логики пропозиций нельзя решить, истинно это высказывание или ложно, потому что это утверждение относится ко всем людям, а не к конкретному человеку.

5 Здесь нужен более мощный инструмент -логика предикатов. В этом уроке мы начнем изучать эту тему и освоим ее самые базовые понятия.

6 <h2>Логика предикатов</h2>

7 Логика предикатов - это расширение логики пропозиций, которую мы рассматривали ранее в курсе.

8 Это следующая ступень, на которой появляются два новых понятия -предикатыиквантификаторы. Эти понятия помогают лучше передать смысл утверждений, которые сложно выразить в пропозициональной логике.

9 <h3>Предикаты</h3>

10 Предикаты (P) можно рассматривать как функции, которые определяют истинность высказывания P(x) при разных значениях x. Проще говоря, предикат помогает определить, истинно высказывание или ложно.

11 Рассмотрим утверждение x>3. Оно состоит из двух частей:

12 <ul><li>Переменная x - переменная высказывания</li>

13 <li>Высказывание >3 - предикат. Он обозначает свойство, которым может обладать переменная x</li>

14 </ul>Высказывание "x больше 3" можно записать как P(x). В таком случае x будет обозначать переменную, а P- предикат "больше 3".

15 Как только переменной x присваивается значение, высказывание P(x) становитсяпропозицией. У него появляется значение истинности или ложности.

16 Возьмем конкретное значения для x и проверим, как это работает. Для примера возьмем значение x=10 и подставим его в P(x). В итоге мы получим P(10): 10 > 3. Это истина, ведь 10 действительно больше 3.

17 Изучим еще один пример:

18 <ol><li>Представим, что предикат P(x) - это высказывание x+x=6 +</li>

19 <li>Присвоим переменной x значение 3 +</li>

20 <li>Так как мы присвоили x конкретное значение, высказывание x+x=6 становитсяпропозицией. Теперь можно определить, истинно оно или ложно +</li>

21 <li>Подставим значение и проверим, истинно или ложно высказывание 3+3=6. Получается, что для x=3 предикат P(3) - это истина +</li>

22 <li>А теперь поменяем значение x с 3 на 4 +</li>

23 <li>Высказывание x+x=6 снова становитсяпропозицией, и теперь можно определить, истинно оно или ложно +</li>

24 <li>Подставим значение и проверим, истинно или ложно высказывание 4+4=6. Получается, что для x=4 предикат P(4) - это ложь, ведь 4+4=8, а не 6</li>

25 </ol>Высказывание, которое включает в себя n переменных x_1, x_2, x_3, ..., x_n:

26 Обратите внимание, что в примере выше n=2, потому что мы рассматривали 2 значения: x_1=3, x_2=4. Это можно обозначить так:

27 В этом случае P называетсяn-арным предикатом.

28 <h3>Квантификаторы</h3>

29 Часто у нас возникает необходимость проверить истинность высказывания не с конкретным значением, а сразу на диапазоне значений. В этом и помогаютквантификаторы.

30 Рассмотрим два высказывания:

31 <ul><li>Вася любит вкусную еду</li>

32 <li>Каждый человек любит вкусную еду</li>

33 </ul>В обоих высказываниях есть критерий: любит вкусную еду. В первом высказывании Вася - это конкретное значение. Во втором случае словокаждыйуказывает, что в качестве переменной мы рассматриваем много людей, то есть диапазон значений.

34 Само словокаждый- этоквантификатор*, а подобное выражение называетсяквантифицированным.

35 В логике квантификатор - это способ утверждать, чтоопределенное количество элементовудовлетворяет каким-то определеннымкритериям.

36 В этом уроке мы рассмотрим три вида квантификаторов:

37 <ul><li>Универсальные</li>

38 <li>Экзистенциальные</li>

39 <li>Квантификаторы единственности</li>

40 </ul><h3>Универсальная квантификация</h3>

41 Иногда в математических высказываниях утверждается, что любое значение переменной удовлетворяет критерию. Такое утверждение называетсяуниверсальной квантификацией.

42 Универсальный квантификатор обозначается символом∀, который похож на перевернутую буквуAи обозначаетдля всехилидля любого.

43 Универсальная квантификация P(x) - это предложение, которое утверждает, что P(x) истинно для всех значений x.

44 Возьмем для примера такое выражение:

45 ∀x(x^2≥0)

46 Разделим его на отдельные части и переведем на естественный язык:

47 <ul><li>∀x - для любого значения x</li>

48 <li>x^2≥0 - квадрат x не отрицателен</li>

49 </ul>Объединяем части и получаем понятное высказывание: "Квадрат любого числа не отрицателен".

50 <h3>Экзистенциальная квантификация</h3>

51 Некоторые математические высказывания утверждают, что элемент с определенным свойством существует - этоэкзистенциальная квантификация.

52 Экзистенциальный квантификатор обозначается символом∃, который похож на перевернутую букву E.

53 С помощью экзистенциальной квантификации можно сформировать предложение, которое истинно, только если P(x) истинно хотя бы для одного значения x в области.

54 Вернемся к примеру выше:

55 ∃x(x^2≥0)

56 Превратим его в экзистенциальную квантификацию. Для этого разделим на части и переведем на естественный язык:

57 <ul><li>∃x - существует значение x</li>

58 <li>x^2≥0 - квадрат x не отрицателен</li>

59 </ul>В итоге получаем такое высказывание: "Существует такое число x, квадрат которого не отрицателен".

60 Теперь вспомним высказывание из начала урока:

61 Каждый человек имеет право водить машину, если он достиг восемнадцатилетнего возраста

62 Попробуем применить логику предикатов и преобразовать это высказывание в математическое утверждение. Получим такой результат:

63 ∀P(x) ≡ Q(x)

64 В выражении выше мы видим:

65 <ul><li>P(x) - это утверждение "x старше 18 лет"</li>

66 <li>Q(x) - это утверждение "x имеет право водить машину"</li>

67 </ul>Объединяем и получаем: "Любой x старше 18 лет имеет право водить машину".

68 <h3>Квантификатор единственности</h3>

69 Универсальные и экзистенциальные квантификаторы являются самыми важными в математике и информатике, но есть и другие. Из остальных возможных квантификаторов чаще всего встречается квантификатор единственности, который обозначается∃!.

70 Например, высказывание "Существует единственный x, при котором P(x) истинно" можно записать в виде нотации ∃!x P(x).