Rivalry2

HTML Diff

1 added 1 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 У современной математики есть собственныйформальный язык. С его помощью мы сводим сложные высказывания к формальностям - то есть переводим рассуждения и мысли в плоскость математики. Так мы лучше понимаем мысли других людей, точнее высказываем свои рассуждения и учимся рассуждать логически.

2 В этом уроке мы продолжим изучать формальный язык логики высказываний. Мы разберем отношения эквивалентности и научимся определять высказывания, которые равнозначны по смыслу. Так мы сможем экономить время и заранее понимать, какие высказывания можно посчитать истинными или ложными без дополнительных рассуждений.

3 <h2>Логическая эквивалентность</h2>

4 Возьмем для примера такое предложение:

5 Если Вася получит прибавку к зарплате, то он пойдет в театр

6 С точки зрения логики в этом высказывании есть и такой смысл:

7 Если Вася не пошел в театр, значит он не получил прибавку к зарплате

8 Эти высказываниялогически эквивалентны- одно можно заменить на другое без потери смысла. В этом и заключаетсялогическая эквивалентность- два выражения считаются эквивалентными, если они имеют одинаковое истинностное значение во всех случаях.

9 <h3>Как эквивалентность помогает доказывать</h3>

10 Основная польза эквивалентности в том, что она помогает доказывать математические результаты. Допустим, мы знаем, что 2+3=5. Попробуем это доказать.

11 Можно заменить выражение 2+3 на другоеэквивалентноевыражение 3+2, которое также будет равно 5.

12 Как видите, значение составной пропозиции не изменилось. Значит, эквивалентность помогла нам доказать первоначальное высказывание - 2+3=5.

13 <h3>Как эквивалентность помогает рассуждать</h3>

14 Кроме доказательств, эквивалентность используется и в рассуждениях. Она помогает осмыслить предложение и отнести его к одной из трех категорий в таблице истинности.

15 - Таблица истинности- это разбиение логической функции путем перечисления всех возможных значений, которые может принимать функция. Такая таблица обычно содержит несколько строк и столбцов. В верхней строке представлены логические переменные и комбинации, которые по возрастанию сложности приводят к конечной функции.

15 + Таблица истинности- это разбиение логической функции путем перечисления всех возможных значений, которые может принимать функция. Такая таблица обычно содержит несколько строк и столбцов. В верхней строке пр��дставлены логические переменные и комбинации, которые по возрастанию сложности приводят к конечной функции.

16 В логической функции есть три основные операции:

17 <ul><li>НЕ (Инверсия или отрицание, обозначается как ¬)</li>

18 <li>ИЛИ (Дизъюнкция или сложение, обозначается как ∨)</li>

19 <li>И (Конъюнкция или умножение, обозначается как ∧)</li>

20 </ul>Значениям функций обычно присваивается логический ноль (ложь) или логическая единица (истина).

21 Таблица истинности выглядит так:

22 Рассмотрим ее подробнее:

23 <ul><li>Тавтология(T) - высказывание, которое всегда истинно независимо от того, истинны ли значения переменных внутри него. По таблице вся колонка истинна</li>

24 <li>Противоречиеилиабсурд(F) - высказывание, которое всегда ложно</li>

25 <li>Случайность- составное предложение, которое не является ни тавтологией, ни противоречием.</li>

26 </ul>Тавтологии и противоречия помогают доказывать и проверять математические аргументы, а также объяснитьпропозициональные эквивалентности- утверждения, которые равны в логическом аргументе. В этом случае самый простой способ - создать таблицу истинности и посмотреть, идентичны ли столбцы.

27 По такой таблице мы можем проверить, эквивалентны ли высказывания a и b.

28 Иногда в математике полезно заменить одно утверждение другим, но эквивалентным. Возьмем такой пример:

29 Эквивалентное утверждение звучит так:

30 Первое высказывание имело вид "Если A, то B", а второе - "Если не B, то не A". Это эквивалентные высказывания, о которых мы подробнее поговорим ниже.

31 <h2>Законы логической эквивалентности (Законы Моргана)</h2>

32 Ниже приведен список важных законов эквивалентности - также их называют законами алгебры высказываний. На протяжение всего курса мы будем использовать такие законы:

33 Применим некоторые из этих законов на практике.

34 Возьмем для примера составное предложение:

35 Используемзаконы де Моргана- они связывают с помощью отрицания конъюнкцию и дизъюнкцию. Можно выразить отрицание так:

36 Обратите внимание, что мы отрицаем оба простых предложения и заменили "и" на "или".

37 В качестве еще одного примера рассмотрим следующее утверждение:

38 Это переводится на математический язык как:

39 Пусть:

40 <ul><li>доктор - означает "Глеб - доктор"</li>

41 <li>инженер - означает "Вася - инженер"</li>

42 </ul>Эквивалентная форма по закону де Моргана:

43 Следовательно, мы можем сказать, что:Либо Глеб - не доктор, либо Вася - не инженер (или оба сразу).

44 Приведенные выше примеры можно легко решить с помощью таблицы истинности. Но это можно сделать только для предложения с небольшим числом переменных - здесь их всего две.

45 Чем больше переменных, тем менее практично использовать метод таблицы истинности. Для пропозиции с 20 переменными необходимо оценить (2^20) строк в таблице истинности. Человеку будет сложно справиться с такой задачей, но можно упростить процесс и воспользоваться компьютером.

46 Но если переменных будет больше 1000, вычисление на компьютере будет очень долгим.

47 А еще бывают случаи, когда можно не строить таблицу истинности - вместо этого можно указать причину, по которой два высказывания логически эквивалентны. При этом мы преобразуем левую часть высказывания, чтобы она соответствовала правой части, и приводим причины каждого преобразования. Как в примере выше:

48 <ul><li>Высказывание: Если n четное, то n/2 - целое число</li>

49 <li>И его эквивалент: Если n/2 не целое число, то n не четное</li>

50 <li>При этом преобразование справедливо для любого n</li>

51 </ul>Эти логические доказательства могут показаться сложными на первых порах. Эта тема станет понятнее, когда мы обсудим ее подробнее в следующих уроках.