Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 Обычно функции соответствуют некому абстрактному правилу. Оно необязательно должно быть выразимым или даже таким, которое вы можете себе представить.

2 Но бывают случаи, когда правила не такие абстрактные. Как и любой другой математический объект, функцию можно представить в виде набора упорядоченных пар - то есть множества. В этом уроке мы подробнее разберем понятие функции как множества и узнаем, как функции работают в этом случае.

3 <h2>Функции в виде множеств</h2>

4 Когда мы говорим о функции, мы имеем в виду два свойства:

5 <ul><li>Каждому входу соответствует некоторый выход</li>

6 <li>Каждый вход соответствует только одному выходу</li>

7 </ul>Чтобы лучше понять свойства функции в виде множества, рассмотрим такое определение:

8 <ul><li>Пусть X и Y - множества</li>

9 <li>Функция F с областью X и кодоменом Y - это подмножество X * Y такое, что для каждого x ∈ X существует ровно один y ∈ Y вместе с (x, y) ∈ F</li>

10 <li>F также называется функцией от X к Y</li>

11 <li>Функция F от X к Y часто обозначается F : X → Y</li>

12 </ul>Обратите внимание, что функция f:X→Y может быть смоделирована множеством. Объясним подробнее, что это значит.

13 Сам термин "функция" - это сокращение от "функциональное отношение". Ее можно рассматривать как частный случай отношения, то есть подмножества R ⊆ X × Y.

14 По сути, это просто перевыражение f(x)=y как (x, y) ∈ R. Таким образом, обычная картина "функция - это правило" эквивалентна представлению о подмножестве f ⊆ X × Y. В таком случае множество f обладает особыми свойствами, которые делают его функцией.

15 При этом отношения необязательно должны быть на одном и том же множестве. Однако когда математики говорят "отношение на E", они имеют в виду просто сокращение от "отношение от E к E".

16 <h2>Почему функции - не множества</h2>

17 Теперь мы примерно понимаем, как представлять или моделировать функции с помощью множеств. И это правильный способ. Но нужно четко понимать, что функции - это не множества. Вот три причины:

18 Причина 1, самая главная.Отождествлять функцию с множеством нельзя, потому что это было бы путаницей типов. Функция отображает некоторый объект в объект. Другими словами, функции не насыщены - то есть имеют один или несколько слотов, ожидающих заполнения. Например, может быть заполнение единственного слота в унарной числовой функции.

19 В современной терминологии функции имеют присущую им четкость. В отличие от них, множества не являются ненасыщенными, не имеют слотов для заполнения, не имеют четкости, не занимаются отображением. Поэтому функции - это не множества.

20 Причина 2.Можно было бы посчитать, что двоичная функция f(x)=y соответствует некоторому множеству упорядоченных пар (x,y), а затем обработать упорядоченные пары. Но есть проблема - на обоих этапах придется выбирать из двух возможностей:

21 <ul><li>Использовать множество упорядоченных пар (y, x)</li>

22 <li>Выбрать другое теоретико-множественное представление упорядоченных пар</li>

23 </ul>Обычная ассоциация функции с множеством предполагает произвольный выбор, поэтому не существует единственного правильного способа сделать это. Ни один способ не может полностью раскрыть, чем на самом деле является функция. Мы занимаемся представлением - то есть действуем относительно некоторой выбранной схемы представления.

24 Причина 3.Некоторые функции слишком велики, чтобы иметь соответствующие множества. Возьмем функцию, которая отображает множество на его синглтон. Упорядоченных пар (x,{x}) слишком много, чтобы образовать множество. Если функция слишком велика, чтобы иметь соответствующее множество, она не может быть этим множеством.

25 Рассмотрим тот же вопрос, но с другого конца. Функцию можно рассматривать как правило присвоения уникального значения f(x) каждому x. Построим множество F всех упорядоченных пар (x,f(x)):

26 Если f:X → Y, то нужно, чтобы каждый x ∈ X имел значение f(x).

27 Поэтому для каждого x существует упорядоченная пара (x,y) в этом множестве для некоторого y ∈ Y.

28 Нам также нужно, чтобы f(x) была однозначно определена по x. Это важно, чтобы всякий раз, когда множество содержит (x,y) и (x,z), мы имели y=z.

29 Таким образом, для каждого x существует единственное f(x), как мы и требуем. +

30 Упорядоченные пары можно рассматривать как элементы X*Y, так что F ⊆ X × Y. Если у нас есть набор упорядоченных пар с требуемыми свойствами, мы можем работать в обратном направлении и увидеть, что это возвращает нашу первоначальную идею функции.

31 С этого момента мы не будем определять область и кодомен функции как множества. Будем считать, что обозначение F : X → Y уже подразумевает это.

32 <h2>Как это работает на практике</h2>

33 Теперь посмотрим, как выглядят функции в виде множества. Для начала возьмем простой пример - факториальную функцию Fact. Она представляется в виде множества и записывается так:

34 {(0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120). (n, n!)...}

35 Рассмотрим более сложный пример функции с множеством.

36 Предположим, что класс состоит из трех учеников. Вася сидит на втором стуле в первом ряду, Глеб сидит на шестом стуле в четвертом ряду, а Настя сидит на 37 стуле в 53 ряду. Для этого класса функция SeatOf представляет собой множество:

37 {(Vasya, Row1Seat2), (Gleb, Row4Seat6), (Nastya, Row53Seat37)}

38 Теперь обозначим дни недели:

39 Пусть DayOfWeek = {monday, tuesday, wednesday, thursday, friday, saturday, sunday}

40 В таком случае существует функция:

41 Бинарное отношение, которое определяется этой функцией, состоит из следующих упорядоченных пар:

42 {(monday, tuesday), (tuesday, wednesday), (wednesday, thursday), (thursday, friday), (friday, saturday), (saturday, sunday), (sunday, monday)}

43 Отношение - это подмножество декартова произведения, которое содержит только некоторые элементы из упорядоченной пары на основе отношений, определенных между первым и вторым элементами. Отношение обычно обозначается R.

44 Если каждый элемент множества A связан с одним и только одним элементом другого множества, то такое отношение квалифицируется как функция. Функция - это особый случай отношения, когда никакие две упорядоченные пары не могут иметь один и тот же первый элемент.

45 Функция присваивает каждому элементу множества ровно один элемент из родственного множества. Функции находят свое применение в различных областях, таких как представление вычислительной сложности алгоритмов, подсчет объектов, изучение последовательностей и строк, и так далее.

46 В зависимости от вида отношений, которые элементы двух множеств имеют друг с другом, существует в основном четыре типа функций:

47 <ul><li>"Один к одному"(инъективная): Для каждого элемента в области существует один и только один элемент в диапазоне</li>

48 <li>"Многие к одному": Два или более элементов из домена отображаются на одни и те же элементы в диапазоне</li>

49 <li>Онто-функция(суръективная): Каждый элемент диапазона отображен на элемент в домене</li>

50 <li>"Один-к-одному" и онто(биективная): Функция, которая является функцией "один-к-одному" и онто-функцией одновременно.</li>

51 </ul>Далее в курсе мы рассмотрим каждую функцию подробнее.

52 <h2>Выводы</h2>

53 В этом уроке мы познакомились с функциями как множествами. Как и любой другой математический объект, функцию можно представить в виде набора упорядоченных пар - то есть множества. Также мы узнали четыре вида типа таких функций: "Один к одному", "Многие к одному", Онто-функция и Биективная функция.