Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 Композиция функций - это процесс объединения двух или более функций в одну функцию. Функция представляет собой некоторое действие. Возьмем приготовление хлеба и переведем этот процесс на язык математики:

2 <ul><li>Мука - x</li>

3 <li>Приготовление теста из муки с помощью кухонного комбайна - g(x)</li>

4 <li>Запекание хлеба в печи - f(x)</li>

5 <li>Приготовление хлеба - выход g(x) надо поместить в функцию f(x)</li>

6 <li>Готовый хлеб - функция f(g(x)), то есть композиция функций f(x) и g(x)</li>

7 </ul>В этом уроке мы как раз изучим эту тему - посмотрим, что такое композиция функций в математике и как ее вычислить.

8 <h2>Что такое составные функции</h2>

9 В математикесоставная функция- это операция, при которой две функции порождают новую функцию. В некоторых источниках то же самое явление называетсякомпозицией функции.

10 Возьмем такой простой пример:

11 <ul><li>У нас есть две функции - f и g</li>

12 <li>Вместе они порождают функцию h</li>

13 <li>Составной функцией будет считаться h(x) = g(f(x))</li>

14 </ul>Как видите в примере выше, функция g применяется к функции f. Другими словами, одна функция применяется к результату другой функции.

15 Давайте посмотрим на математическое определение составной функции:

16 <ul><li>Пусть f : A → B и g : B → C - две функции</li>

17 <li>Тогда составная функция будет состоять из f и g - это обозначается как g ∘ f</li>

18 <li>Составная функция g ∘ f определяется как функция g ∘ f : A → C</li>

19 <li>Функция g ∘ f : A → C задается через g ∘ f (x) = g(f (x)), ∀ x ∈ A</li>

20 </ul>На рисунке ниже показано графическое представление составных функций:

21 Порядок функции является важным моментом при работе с композицией функций, потому что выражения (f ∘ g) (x) и (g ∘ f) (x) не равны между собой.

22 Это можно очень хорошо понять на примере. Представим машину, которая сначала запекает торт, а затем украшает его глазурью. Будем рассматривать эти действия как функции:

23 <ul><li>Запекание - функция b</li>

24 <li>Украшение - функция i</li>

25 </ul>Машина будет производить торт, используя b ∘ i - сначала печь, затем украшать. Но если функции поменять местами (i ∘ f), то машина сначала украсит сырой торт, а сожжет его в печке вместе со всеми украшениями. Такая перестановка действий не сработает, поэтому нам нужны оба домена.

26 Теперь рассмотрим, как обозначаются составные функции и их области:

27 <ul><li>Символ: В обозначении составных функций используется символ, похожий на маленький круг. Так это выглядит на практике - (g∘f)(x)</li>

28 <li>Домен: f(g(x)) читается как "f от g от x". В композиции (f ∘ g) (x) домен функции f становится g(x)</li>

29 <li>Область: это множество всех значений, которые входят в функцию</li>

30 <li>Пример: Если f(x) = 3x+1 и g(x) = x^2, то f от g от x, f(g(x)) = f(x^2) = 3x^2+1</li>

31 </ul>Обратите внимание, что будет, если мы обратим операцию над функцией. Например, если мы возьмем g от f от x, то в итоге получим g(f(x)) = g(3x+1) = (3x+1)^2.

32 <h2>Свойства составных функций</h2>

33 У составных функций есть два основных свойства:

34 <ul><li>Ассоциативное</li>

35 <li>Коммутативное</li>

36 </ul>Рассмотрим их подробнее.

37 Ассоциативное свойство:

38 Если есть три функции f, g и h, то составные функции считаются ассоциативными только тогда и только тогда, когда f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h

39 Коммутативное свойство:

40 Две функции f и g коммутативны друг с другом тогда и только тогда, когда g ∘ f = f ∘ g

41 Есть еще несколько свойств составных функций:

42 <ul><li>Композиция функций один-к-одному всегда один к одному</li>

43 <li>Композиция двух онто-функций всегда онто</li>

44 <li>Обратная композиция двух функций f и g равна композиции обратных обеих функций, например, (f ∘ g)^-1 = (g^-1 ∘ f^-1)</li>

45 </ul><h2>Как решать составные функции</h2>

46 В математике решение составной функции - это получение композиции двух функций. Выполним следующие шаги, чтобы понять, как это выглядит на практике.

47 Шаг 1:Возьмем две функции:

48 f(x) = x^2 g(x) = 3x

49 Запишем их в виде составной функции:

50 (f ∘ g) (x)

51 Также ее можно записать как f[g(x)].

52 Шаг 2:Возьмем переменную x, которая есть во внешней функции. Заменим ее внутренней функцией, взяв за основу отдельные функции:

53 Поскольку g(x) = 3x, результат на этом шаге будет выглядеть так:

54 (f ∘ g)(x) = f(3x)

55 Шаг 3: Далее мы можем упростить функцию.

56 Поскольку f(x) = x^2, результат на этом шаге будет выглядеть так:

57 (f ∘ g)(x) = f(3x) = (3x)^2=9x^2

58 Таким образом, мы за три шага решили составную функцию.

59 <h2>Композиция функции с самой собой</h2>

60 Также существуют составные функции, которые содержат композицию функции с самой собой.

61 Предположим, что f - это функция. Тогда композиция функции f с самой собой будет выглядеть так:

62 (f∘f)(x) = f(f(x))

63 Давайте разберемся в этом на практике. Возьмем такой пример:

64 Условие: f(x) = 3x^2

65 Исходя из этого условия, попробуем найти (f∘f)(x).

66 Решение будет выглядеть так:

67 Дано: f(x) = 3x^2

68 (f∘f)(x) = f(f(x))

69 =f(3x^2)

70 =3(3x^2)^2

71 =3*9x^4

72 =27x^4

73 <h2>Выводы</h2>

74 В этом уроке мы рассмотрели композицию функций - это действие, при котором функции a и b объединяются для получения новой функции. Эта новая функция c формулируется как c(x) = b(a(x)).

75 Это означает, что функция b применяется к функции x. Другими словами, когда функция применяется к выходу другой функции, она называетсясоставной функцией.