Теория множеств
2026-02-26 18:03 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/set-theory/lessons/types-of-sets/theory_unit

Мы уже знаем, что такое множество — перейдем к тому, можно ли их как-то классифицировать. Другими словами, можем ли мы создавать множества множеств? Существуют различные типы множеств, которые можно определить и классифицировать математически. Именно их мы изучим в этом уроке.

Пустое множество

Если множество не имеет элементов, оно называется пустым или нулевым множеством. Оно обозначается ∅ или {}. Рассмотрим такой пример:

P = {x}, где x — високосный год между 1904 и 1908

Между 1904 и 1908 годами нет ни одного високосного года. Таким образом, P=∅.

Синглетон

Если множество содержит только один элемент, то оно называется синглетоном или одиночным множеством. Например:

A = {2}, где 2 — четное простое число

Конечное множество

Если множество не содержит ни одного элемента или содержит определенное количество элементов, оно называется конечным множеством. Все пустые множества также попадают в эту категорию.

Если множество непустое, то оно называется непустым конечным множеством:

  • A = {x}, где x — месяц в году. Множество A будет состоять из 12 элементов
  • B={y}, где y — двузначное число. Множество B будет иметь 90 элементов: {10, 11, 12, 13 .... 97, 98, 99}

Бесконечное множество

В отличие от конечного множества, оно будет иметь бесконечное число элементов. Если данное множество не является конечным, то оно будет бесконечным.

Посмотрим на пару примеров:

  • A = {x}, где x — натуральное число. Существует бесконечное множество натуральных чисел. Следовательно, A — бесконечное множество.
  • B = {y}, где y — ордината точки на некой прямой. Существует бесконечное множество точек на прямой. Следовательно, B — бесконечное множество

Подмножество

Если множество A состоит из элементов, принадлежащих множеству B, то A называется подмножеством B.

Возьмем для примера такое множество:

Перечислим его подмножества:

Степень множества (Булеан)

Степень множества A состоит из всех подмножеств множества A. Она обозначается P(A). Для множества A, состоящего из n элементов, общее количество возможных подмножеств равно 2^n.

Возьмем для примера множество A = {a,b,c}. Количество элементов (n) в A равно 3.

Таким образом, подмножествами A являются:

  • { } — пустое множество
  • { a }
  • { b }
  • { c }
  • { a, b }
  • { b, c }
  • { c, a }
  • { a, b, c }
  • P(A) = { { } , { a }, { b }, { c }, { a, b }, { b, c }, { c, a }, { a, b, c } } — множество мощности

Получается, в этом примере степень множества равна 2^3 = 8 элементов.

Универсальное множество

Это множество — базовое для всех остальных множеств.

Например, в исследованиях человеческой популяции универсальное множество — это множество всех людей в мире. Множество всех людей в каждой стране можно рассматривать как подмножество этого универсального множества.

Обычно универсальное множество обозначается символом E или U.

Универсальное множество может быть как конечным, так и бесконечным. Натуральные числа — типичный пример бесконечного универсального множества. Множество натуральных чисел выглядит так:

Здесь знак многоточия ... означает, что множество продолжается без конца.

Универсальное множество состоит из всех элементов других множеств, присутствующих на диаграмме Венна — иллюстрации, на которых кругами показаны отношения между предметами или понятиями. Пересекающиеся круги имеют общие черты, не пересекающиеся — общих черт не имеют.

Выводы

В этом уроке мы изучили типы множеств. Повторим основные свойства каждого типа: