Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 В теории множеств существует ряд операций, позволяющих создавать из одних множеств другие. Одна из наиболее распространенных операций с множествами называетсяпересечением.

2 Проще говоря, пересечение двух множеств A и B - это множество всех элементов, которые являются общими для A и B.

3 В этом уроке мы рассмотрим подробности, касающиеся пересечения в теории множеств. Как мы увидим, ключевым словом здесь является слово "и".

4 <h2>Как работает пересечение</h2>

5 Попробуем применить пересечение и образовать новое множество из двух старых.

6 Возьмем два множества:

7 Чтобы найти пересечение этих двух множеств, нужно выяснить, какие элементы у них общие.

8 Числа 3, 4, 5 являются элементами обоих множеств, поэтому пересечениями A и B являются {3, 4, 5}.

9 <h2>Условные обозначения</h2>

10 Чтобы обозначать пересечения двух множеств A и B, можно использовать символ A ∩ B.

11 Обратим внимание на сходство этого символа, чтобы лучше запомнить его. Символ ∩ внешне похож на:

12 <ul><li>Букву "П" от слова "пересечение"</li>

13 <li>Букву A от словаand(союз "и")</li>

14 </ul>Чтобы увидеть это обозначение в действии, вернемся к приведенному выше примеру:

15 Множество 1: A = {1, 2, 3, 4, 5}

16 Множество 2: B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

17 Их пересечение: A ∩ B = {3, 4, 5}

18 <h2>Пересечение с пустым множеством</h2>

19 Мы уже знаем, что пересечение любого множества с пустым множеством даст пустое множество.

20 Тождество будет выглядеть так:

21 <h2>Пересечение с универсальным множеством</h2>

22 В астрономии словоuniverse(вселенная) используется для обозначения всего, что существует. Таким же образом работает универсальное множество, ведь оно содержит каждый элемент.

23 Из этого следует, что каждый элемент нашего множества также является элементом универсального множества. Таким образом, пересечение любого множества с универсальным множеством - это то множество, с которого мы начали.

24 И снова на помощь приходит наша нотация, чтобы выразить это тождество более лаконично:

25 Для любого множества A и универсального множества U: +

26 <h2>Правила пересечения</h2>

27 Для всех множеств A, B и D имеем:

28 <ul><li>Свойство рефлексии: A ∩ A =A</li>

29 <li>Коммутативность (Перестановочное свойство): A ∩ B = B ∩ A</li>

30 <li>Ассоциативность (Сочетательное свойство): (A ∩ B) ∩ D =A ∩ (B ∩ D)</li>

31 <li>Дистрибутивность (Распределительное свойство): (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D) ∪ (B ∩ D)</li>

32 </ul>