Алгоритмы на графах
2026-02-26 22:53 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/algorithms-graphs/lessons/in-depth-search/theory_unit

Наверняка вы пользовались сайтами для поиска авиабилетов. Вы вводили дату полета и выбирали два города — вылета и прилета. Если бы речь шла только о прямых рейсах, алгоритм поиска был бы простым.

Но есть города, не связанные напрямую — добраться из одного в другой можно только с пересадкой. Простой алгоритм такие маршруты не найдет, поэтому нам нужно что-то более мощное.

В этом уроке мы познакомимся с инструментом, который помогает решать такие задачи. Мы обсудим представление графов в памяти компьютера с помощью списка смежности и поиска в глубину. Они помогут нам строить маршруты и решать другие похожие задачи.

Список смежности

Любой граф состоит из вершин и ребер. В задаче поиска авиабилетов вершины — это города. Если два города связаны авиасообщением, их соединяет ребро:

У каждой вершины есть значение — это название города. Из каждой вершины выходит несколько ребер, которые удобно хранить в массиве:

Класс Vertex хранит одну вершину и массив ссылок на соседние вершины. При создании экземпляра Vertex мы сохраняем значение вершины в поле value и создаем пустой массив смежных вершин adjacentVertices.

В переводе с английского adjacent vertices — смежные вершины. Обычно множественное число образуется с помощью суффикса -s или -es. Вершина (vertex) — это то редкое слово, для которого это правило не работает. По-английски вершины — это vertices, а не vertexes.

В классе есть метод addLink(), который устанавливает связь с другой вершиной:

Программист может по ошибке вызывать метод addLink() несколько раз для одного и того же города. Чтобы не дублировать вершины в списке смежности, мы убеждаемся, что город не был добавлен ранее — в этом смысл оператора if.

Метод isLinked() проверяет, связаны вершины или нет.

Не бывает так, что самолеты летают только в одну сторону. Добавляя город Б в список смежности города А, мы должны одновременно добавить А в список смежности Б.

Именно так в списках смежности можно хранить неориентированные графы. По сути, мы храним ориентированный граф, вершины которого связаны ребрами, направленными навстречу друг другу, как это показано на рисунке:

В списке смежности мы храним вершину, а не ребро, поэтому внутри if мы добавляем вершины в списки смежности друг друга:

Написанный нами код уже можно использовать, чтобы хранить информацию об авиасообщениями между городами:

Построение графа

Нам предстоит работать не с отдельными вершинами, а с графом. Полезно инкапсулировать в одном классе вершины и методы для работы с вершинами:

Метод addVertex() добавляет в граф новую вершину с заданным значением (value) и пустым списком смежности. Перед добавлением метод проверяет, что в графе нет вершины с таким же значением — так мы можем отличать вершины друг от друга. Метод addEdge() добавляет ребро между вершинами.

Пользуясь методами addVertex и addEdge, мы можем построить граф:

Метод getVertex() возвращает вершину с заданным значением (value). С помощью него мы убеждаемся, что граф построен корректно.

Обход графа в глубину

В реальных системах поиска авиабилетов учитываются разные атрибуты — даты, время прилета и отлета, класс обслуживания, наличие багажа и другие.

Чтобы не усложнять учебный материал, мы решим более простую задачу — построим маршрут. Например, наша программа сможет ответить на вопрос: «Как добраться из Новосибирска в Калининград?». При этом мы будем учитывать не только прямые варианты перелета, но и маршруты с одной, двумя и даже тремя пересадками.

Перед реализацией порассуждаем, как должен работать наш алгоритм. Возьмем для примера перелет из Новосибирска в Калининград:

  1. Начинаем обход в глубину с вершины, из которой мы строим маршрут — из Новосибирска
  2. Выясняем, что из Новосибирска можно улететь в Омск и Москву
  3. Выбираем первое ребро (Омск) и снова смотрим список смежных вершин
  4. Выясняем, что из Омска можно улететь в Москву и Новосибирск
  5. Следующей точкой выбираем Москву и смотрим список смежных вершин
  6. Алгоритм повторяется до тех пор, пока мы не достигнем конечной точки — Калининграда

Просмотренные вершины и есть наш маршрут — Новосибирск, Омск, Москва, Калининград. А теперь усложним задачу и поищем все варианты маршрута:

  1. Возвращаемся к предыдущему городу в списке — к Москве
  2. Рассматриваем следующую вершину в списке смежности — Якутск
  3. Продолжая обход, мы обнаружим новый маршрут — Новосибирск, Омск, Москва, Якутск, Калининград
  4. Заканчивая обход списков смежности, мы постоянно возвращаемся к предыдущей вершине. Другими словами, перебрав все рейсы из Москвы, мы откатываемся к Омску, а затем — к Новосибирску

Можно заметить, что простая реализация поиска войдет в бесконечный цикл. Города связаны взаимным авиасообщением. Если мы можем улететь из Новосибирска в Омск, значит, мы можем улететь и обратно. Омск и Новосибирск находятся в списках смежности друг у друга.

Перебирая вершины без дополнительных проверок, мы обнаружим бесконечный цикл: Новосибирск, Омск, Новосибирск, Омск, Новосибирск, Омск…

Чтобы алгоритм не зациклился, нужно по мере обхода графа сохранять вершины, которые мы посетили и отбрасывать их при переборе.

Действия на каждом шаге алгоритма повторяются, поэтому код можно оформить в виде рекурсивной функции:

Здесь мы видим рекурсивный метод #recursiveDepthFirstSearch. В его названии есть #, которая обозначает, что он приватный — может быть вызван только из других методов класса Graph.

Метод принимает четыре параметра:

  • current
  • end
  • visited
  • routes

Начнем с первых двух. Параметр current содержит значение текущей вершины, а end — значение конечной вершины. Если текущая вершина совпадает с конечной, мы нашли очередной маршрут:

Сливаем названия городов, разделив их дефисом. Маршрут будет представлять собой строку вида ’Новосибирск-Москва-Калининград'`.

Еще есть переменные visited и routes — это третий и четвертый параметры метода. В visited складываются все посещенные вершины — в нашем случае это названия городов. Объединив эти названия, мы получаем маршрут.

Массив visited тоже заполняется внутри метода. В первой строке мы помещаем в него текущую вершину current, а в последней — удаляем ее. Вершину надо удалять, когда мы откатываемся назад по маршруту, потому что в другой ветке мы снова можем попасть в тот же город, но уже другим путем.

Параметр routes не только входной, но и выходной. Это массив, в который складываются найденные маршруты. Когда метод #recursiveDepthFirstSearch обойдет весь граф, в массиве окажутся все способы добраться из начальной точки в конечную.

Внутри цикла мы перебираем все соседние вершины. Если какая-то из них есть в массиве visited, мы ее пропускаем. В противном случае мы делаем вершину текущей и рекурсивно вызываем метод #recursiveDepthFirstSearch:

Мы сделали метод приватным, потому что у него есть служебные параметры visited и routes. Для программистов, которые будут пользоваться поиском, сделаем простой метод без лишних параметров:

Выше мы использовали метод dfs() — это deep first search или «поиск в глубину». Вызвав метод dfs() для графа, который мы построили в предыдущем разделе, получим список возможных маршрутов:

Итеративная реализация

Любой рекурсивный алгоритм можно преобразовать в итеративный. В некоторых случаях реализация оказывается простой, но при обходе графа нам придется складывать вершины в стек.

В JavaScript в качестве стека можно использовать обычный массив, у которого есть методы push() и pop():

В массив (стек) vertices мы складываем вершины для обхода. Перед циклом while мы помещаем туда начальную вершину, из которой строим маршрут.

В цикле снимаем с вершины стека очередную вершину и проверяем, не является ли она конечной. Достигнув конечного города, добавляем в массив routes очередной обнаруженный маршрут и переходим к следующей вершине на стеке.

Если очередная вершина промежуточная, убеждаемся, что она не встречается в массиве посещенных вершин visited. В стеке могут одновременно находиться десятки вершин — строящиеся маршруты. У каждой из них свой набор посещенных вершин. Чтобы они не путались, мы храним массив visited вместе с вершиной в стеке.

В целом, реализация получается не намного сложнее рекурсивной версии.

Выводы

Повторим ключевые мысли этого ур��ка:

  • Для представления графов в памяти компьютеров используют списки смежности
  • Граф хранится как список вершин (массив)
  • Вершины содержат значение и массив — список смежности, в котором перечислены ссылки на связанные вершины
  • Для представления неориентированного графа вершины заносятся в списки смежности друг друга. Это ориентированный граф, у которого каждая пара вершин связана парой встречных ребер
  • Поиск в глубину (Deep First Search, DFS) — алгоритм обхода графа, который движется от начальной вершины как можно дальше сначала по первому ребру, потом по второму, и так далее
  • Поиск в глубину можно использовать для перебора вершин, чтобы найти вершину с заданным значением. Также можно построить маршрут от вершины до вершины, или построить все возможные маршруты
  • Простейшая реализация поиска в глубину — рекурсивная. Мы можем сделать ее итеративной, но тогда придется явно использовать стек
  • Если в графе есть циклы, нам во время обхода нужно хранить список посещенных вершин