Rivalry2

HTML Diff

0 added 0 removed

Original 2026-01-01

Modified 2026-02-26

1 Как в любом другом языке, в математике есть свои правила, союзы и слова-связки. В алгебре логики они называютсянотациями- то есть операциями над высказываниями и выражениями.

2 В этом уроке мы начнем изучать нотации, рассмотрим основные логические символы и разберемся, как их использовать.

3 <h2>Пропозиции</h2>

4 Пропозиция- это утверждение, которое можно четко определить как истинное или ложное.

5 Если пропозиция истинна, то ее значение равно true (T). Например:

6 <ul><li>Если сложить 1 и 2, то получится 3</li>

7 <li>10 больше, чем 9</li>

8 <li>Если число положительное, то его квадрат тоже будет положительным</li>

9 </ul>Если пропозиция ложна, то ее значение равно false (F). Например:

10 <ul><li>11 больше, чем 12</li>

11 <li>Любое число является простым числом</li>

12 <li>Радиус Земли равен радиусу футбольного мяча</li>

13 </ul><h2>Операторы</h2>

14 В естественном языке мы умеем объединять несколько предложений в одно. Возьмем такой пример:

15 Объединим высказывания через союз "И":

16 А теперь попробуем объединить через союз "ИЛИ":

17 Для объединения мы используем логические связки -операторы. Всего их четыре:

18 <ul><li>Конъюнкция</li>

19 <li>Дизъюнкция</li>

20 <li>Отрицание</li>

21 <li>Импликация</li>

22 </ul>Далее поговорим о них подробнее.

23 <h3>Конъюнкция</h3>

24 Конъюнкция- это оператор, который работает как союз "и" и обозначается через ∧. Вся конъюнкция истинна, только если оба высказывания истинны:

25 <ul><li>a: Apple продает смартфоны - true</li>

26 <li>b: Apple продает ноутбуки - true</li>

27 <li>a ∧ b: Apple продает смартфоны и ноутбуки - true</li>

28 </ul>Бывают случаи, когда одно из высказываний ложное. Тогда вся конъюнкция становится ложной:

29 <ul><li>a: Apple продает смартфоны - true</li>

30 <li>b: Apple продает яблоки - false</li>

31 <li>a ∧ b: Apple продает смартфоны и яблоки - false</li>

32 </ul><h3>Дизъюнкция</h3>

33 Дизъюнкция- это оператор, который работает как союз "или" и обозначается через ∨. Вся дизъюнкция истинна, если истинно одно из высказываний или оба:

34 <ul><li>a: Apple продает смартфоны - true</li>

35 <li>b: Apple продает яблоки - false</li>

36 <li>a ∨ b: Apple продает смартфоны или яблоки - true</li>

37 </ul>Компания Apple действительно продает смартфоны, то есть высказывание a верное. Если в дизъюнкции есть хотя бы одно верное высказывание - вся остальная дизъюнкция тоже верна.

38 Рассмотрим еще один пример. Здесь вся дизъюнкция ложная, потому что оба высказывания ложные:

39 <ul><li>a: Apple продает груши - false</li>

40 <li>b: Apple продает яблоки - false</li>

41 <li>a ∨ b: Apple продает груши или яблоки - false</li>

42 </ul><h3>Отрицание</h3>

43 Отрицание- это оператор, который работает как частица "не" и обозначается через ¬. Например:

44 <ul><li>a: У квадрата четыре стороны - true</li>

45 <li>¬a: У квадрата НЕ четыре стороны - false</li>

46 </ul>Бывают случаи, когда нужно добавить отрицание к отрицанию:

47 <ul><li>a: У квадрата НЕ четыре стороны - false</li>

48 <li>¬a: У квадрата НЕ НЕ четыре стороны - true</li>

49 <li>(То же самое, что "у квадрата четыре стороны")</li>

50 </ul><h3>Импликация</h3>

51 Импликация- это оператор, который обозначает условное высказывание. Она работает как конструкция"если..., то..."и обозначается через →.

52 Вот несколько примеров условных высказываний:

53 <ul><li>Если пойдет дождь, я останусь дома</li>

54 <li>Если ты получишь диплом, то сможешь найти работу</li>

55 <li>Если машина уехала, значит, Вася уехал</li>

56 </ul>Может возникнуть путаница: когда импликацию следует считать истинной, а когда - ложной?

57 Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим пример. Предположим, что Вася будет играть в теннис с Ромой. Рома делает заявление:

58 Если Вася выиграет, то он получит мороженое. Но если Вася проиграет, Рома ничего не должен - обещаний на этот случай он не давал.

59 В конце матча возможны четыре варианта развития событий:

60 <ul><li>(1) Вася побеждает - получает мороженое</li>

61 <li>(2) Вася побеждает - не получает мороженое</li>

62 <li>(3) Вася проигрывает - получает мороженое</li>

63 <li>(4) Вася проигрывает - не получает мороженое</li>

64 </ul>Заявление Ромы прямо исключает вариант (2). Еще Рома не упомянул (3) или (4) - если Вася проиграет, Рома может поступить как угодно.

65 По сути, Рома сказал, что события (1), (3) и (4) могут произойти, а (2) не произойдет. Рома будет пойман на лжи, только если произойдет исход (2). В остальных трех случаях он скажет правду.

66 Чтобы записать высказывание Ромы символически, определим более простые высказывания:

67 <ul><li>a: ты выиграл</li>

68 <li>b: я куплю тебе мороженое</li>

69 </ul>Используем логический символ импликации →. Направим его от a к b, чтобы сформировать составное высказывание:

70 a → b: Если ты выиграешь, то я куплю тебе мороженое

71 Эта импликация ложна только в одном случае:

72 <ul><li>Когда a истинно, а b ложно - то есть Вася выиграл, но не получил мороженое</li>

73 </ul>При всех других исходах утверждение истинно.

74 Обозначим эту ситуацию через логические уравнения для импликации:

75 <ul><li>(1) Вася побеждает и получает мороженое - T → T = T</li>

76 <li>(2) Вася побеждает и не получает мороженое - T → F = F</li>

77 <li>(3) Вася проигрывает и получает мороженое - F → T = T</li>

78 <li>(4) Вася проигрывает и не получает мороженое - F → F = T</li>

79 </ul><h2>Комбинации</h2>

80 Допустим, у нас есть два высказывания, оба могут быть истинными или ложными:

81 <ul><li>Если оба высказывания истинны, то мы получим комбинацию true true: верно и первое, и второе. Будем обозначать такие случаи T T</li>

82 <li>Если верно только первое высказывание, то получаем комбинацию true false: первое верно, второе неверно. Обозначаем как T F</li>

83 </ul>Таким образом, в этом примере возможны четыре комбинации, каждая представлена одним из логических операторов:

84 <ul><li>T T - Конъюнкция</li>

85 <li>T F - Дизъюнкция</li>

86 <li>F T - Отрицание</li>

87 <li>F F - Импликация</li>

88 </ul>Объединим эти высказывания и составим новую пропозицию. Она тоже может быть истинной или ложной, поэтому мы получим (2^4) возможных комбинаций из T и F.

89 На схеме ниже видно, как новая пропозиция составляется из двух высказываний:

90 <h3>Предикаты</h3>

91 Выше мы рассматривали только пропозиции - утверждения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Теперь попробуем расширить простую пропозициональную логику и введем новое понятие.

92 Предикат- это логическое утверждение, в котором содержатся переменные. Предикаты обозначаются заглавной буквой, а переменные перечисляются как аргументы. Например, предикат P с переменной x обозначается так: P(x).

93 Как определить, предикат истинный или ложный? Это зависит от значения его переменных. Рассмотрим на примерах:

94 <ul><li>Задаем предикат: P(x): x - это дерево</li>

95 <li>Определяем значение переменной: x = береза</li>

96 <li>Получаем истинное высказывание: P(береза): береза - это дерево</li>

97 <li>Определяем еще одно значение переменной: x = ромашка</li>

98 <li>Получаем ложное высказывание: P(ромашка): ромашка - это дерево</li>

99 </ul>И еще один пример:

100 <ul><li>Задаем предикат: P(x): x - это дерево или цветок</li>

101 <li>Определяем значение переменной: x = береза</li>

102 <li>Получаем истинное высказывание: P(береза): береза - дерево или цветок</li>

103 <li>Определяем еще одно значение переменной: x = ромашка</li>

104 <li>Получаем истинное высказывание: P(ромашка): ромашка - это дерево или цветок</li>

105 <li>Определяем еще одно значение переменной: x = смартфон</li>

106 <li>Получаем ложное высказывание: P(смартфон): смартфон - это дерево или цветок</li>

107 </ul>Предикаты принимают два значения - истина или ложь. Поэтому к ним применимы все операторы алгебры логики, которые мы рассмотрели выше. Используя операторы, можно формировать более сложные предикаты.

108 <h4>Квантификаторы</h4>

109 Существует еще одна операция с предикатами -квантификация. Квантификация помогает определить степень достоверности предиката - то есть диапазон значений переменных, для которых предикат должен выполняться. В логике предикатов есть два типа квантификаторов.

110 Универсальный квантификатор(∀) похож на слово "каждый" и передает такое значение:

111 "Предикат P(x) истинен для каждого значения переменной определенной области"

112 Экзистенциальный квантификатор(∃) похож на слово "существует" и передает такое значение:

113 "Существует такое значение переменной, при котором P(x) истинно"

114 Предикаты, логические операторы и квантификаторы - это мощные инструменты, которые помогают описывать математические объекты и моделировать реальный мир. В этом уроке мы раскрыли не всю полноту использования операторов. Более подробно рассмотрим их далее в курсе.

115 Операторы и связки еще будут встречаться в курсе. Чтобы их не забыть, обращайтесь к таблице:

116