Введение в математическую логику
2026-02-26 23:09 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/logic/lessons/formulas/theory_unit

Математика — это отдельный язык, в котором есть свои правила, которые помогают излагать свои мысли грамотно. Но польза от правил не только в этом.

Посмотрим на такое математическое выражение:

Выглядит довольно просто. А теперь представим, что математического языка не существует — придется описывать те же смыслы, но на естественном языке. Тогда простое выражение выше превратится в такой текст:

Сумма чисел тридцать семь и двадцать больше разности чисел сто и сорок пять

Такую запись сложно прочитать, по ней почти невозможно провести вычисления. Трудно представить человека, который работал бы с такого рода информацией.

У любого языка есть четкие правила, и математический язык — не исключение. Если вы выучите эти правила, вы сможете грамотно выражать свои мысли на языке математики и понимать мысли других людей из учебников, научных статей и уроков математики на Хекслете.

В этом уроке мы начнем изучать эту тему и познакомимся с двумя базовыми правилами.

Правило 1: Порядок квантификаторов

Первое правило сформулировано так:

Порядок вложенных экзистенциальных или универсальных квантификаторов может быть изменен без изменения смысла высказывания

Посмотрим, как это правило работает на практике. Мы уже знаем, что квантификаторы помогают определить диапазон значений переменных, для которых предикат считается истинным. При этом каждое высказывание состоит из компонентов двух типов:

  • Квантификаторы
  • Предикаты

Возьмем для примера еще высказывание a - b < 37 и разберем его на составные части:

  • В этом выражении есть предикат P — разность меньше 37
  • Следовательно, высказывание можно представить в виде P(a, b)
  • В таком случае a и b — это переменные, а между ними знаки действий

А теперь усложним задачу и возьмем для примера такое высказывание:

Попробуем перевести его на язык математики:

  • В высказывании есть «некий человек» — обозначим его как переменную a
  • Еще в высказывании есть «некоторый курс по программированию» — обозначим его как b
  • Все остальное в предложении — это соответствующие квантификаторы

Теперь мы можем сделать вывод:

∃a;∃b;P(a,b), где P(a,b)=(a прошел b)

Запишем тот же вывод, но на естественном языке:

  • Для некоторого человека a существует курс по программированию b, такой, что a прошел b

Обратите внимание, что порядок квантификаторов поменялся, а смысл не изменился. Мы просто разбили предложение на составные части и преобразовали его для конкретной задачи — все как в естественном языке.

В этом математика похожа на любой другой язык общения между людьми. И в обычной жизни мы часто говорим разные предложения, хотя подразумеваем один и тот же смысл. Например:

  • Сегодня замечательная погода, хочу покататься на велосипеде
  • Я хочу покататься на велосипеде, так как сегодня замечательная погода

Это два разных предложения с одинаковым смыслом.

Правило 2: Отрицание

Похожее правило работает и с отрицаниями:

Чтобы отрицать последовательность вложенных квантификаторов, нужно поменять каждый квантификатор в последовательности на другой тип, а затем отрицать предикат

Посмотрим, как это правило работает на практике. Представим, что существует магазин, в котором все товары стоят меньше 100 рублей. Товар будет нашей переменной a.

Опишем ситуацию на естественном языке:

  • В магазине существует товар a, которой стоит дешевле 100 рублей

Переведем это высказывание на язык логики:

  • В магазине ∃a такое, что a стоит меньше 100 рублей

А теперь используем правило отрицания — поменяем ∃ на ∀, а затем отрицаем предикат с помощью не:

  • В магазине ∀a такое, что a стоит не меньше 100 рублей

И снова мы разбили предложение на составные части и преобразовали его для конкретной задачи, все как в естественном языке.

Посмотрим, как то же самое правило работает в более сложном случае. Возьмем пример с вещественными числами — это все отрицательные и положительные числа, а также ноль:

Предположим, что P(x, y, z) — это (x - y = z) Тогда ∀x;∀y;∃z;P(x, y, z), где x, y, z — вещественные числа

Расшифруем и подробно опишем:

  • Для всех вещественных чисел x;y существует вещественное число z такое, что x - y = z — True
  • Тогда ∀z;∃x;∃y;P(x, y, z) в области: вещественные числа
  • А также существует вещественное число z, при котором для всех вещественных чисел (x;y) выражение x - y = z — False

Подставим числа и проверим:

  • x=3, y=7, z=-4. Тогда P(3,7,-4): 3-7=-4. Это действительно True.
  • x=1, y=2, z=0. Тогда P(1,2,0): 1-2=0. Что даёт False.

Математика во многом похожа на обычные языки, но отличается от них правилами манипулирования. Это значит, что как только высказывание переводится в математическую форму, им можно манипулировать в соответствии с определенными правилами. Далее в курсе мы изучим эти правила еще подробнее.