Теория графов
2026-02-26 18:12 Diff
https://ru.hexlet.io/courses/graphs/lessons/coloring/theory_unit

В этом уроке мы разберем, что такое раскраска графов и как это относится к цифрам на вершинах. Также покажем примеры раскраски графов разных типов, так как в каждом случае этот процесс немного отличается.

Раскраска графов

Когда мы присваиваем вершинам графа метки — это называется раскраской графов.

Цвета — это целые положительные цифры. Графы нужно раскрашивать так, чтобы соседние вершины имели разные цвета. Еще стоит использовать как можно меньше цветов.

Вот несколько примеров раскраски графа:

Первый пример на схеме выше не совсем верный, потому что соседним вершинам присваивается один и тот же цвет. Вторая раскраска лучше, так как удовлетворяет правилам, но в ней используется больше цветов, чем нужно. Третья раскраска — правильная. Она удовлетворяет правилам и использует как можно меньше цветов.

В этих графах невозможно использовать меньше трех цветов, так как треугольники содержат три вершины, которые являются соседями.

Хроматическое число графа G, которое обозначается chi(G) — это минимальное количество цветов, необходимое для правильной раскраски графа.

Чтобы обозначить, о каком графе идет речь, мы будем сокращенно обозначать chi(G) как chi. Рассмотрим раскраску графов на просто классе графов — путях.

Раскраска путей

Вот несколько оптимальных вариантов раскраски путей:

В общем случае chi(P_n) = 2 для каждого n ≥ 2.

Рассмотрим другие примеры:

Четные и нечетные циклы ведут себя по-разному. У нечетных всегда хроматическое число три, а у четных — хроматическое число два.

Теперь рассмотрим, как раскрашивают полные графы.

Раскраска полных графов

У нас есть следующие полные графы с уже помеченными вершинами:

Поскольку в полном графе каждая вершина смежна с любой другой вершиной, мы не можем повторить ни одного цвета. Таким образом, chi(Kn ) = n.

Раскраска двудольных графов

Рассмотрим следующие примеры:

На графиках видно, что соседние вершины раскрашены в один цвет. В случае с двудольными графами такое возможно, так как применяется правило партитного множества — независимое множество, между вершинами которого нет ребер. Поэтому мы можем окрасить все его вершины в один цвет.

Для двух партитных множеств нужно два цвета. И это относится к любому двудольному графу, а не только к полному.

Любой граф с хотя бы одним ребром является двудольным, когда он двухцветный. Поскольку деревья двудольные, мы теперь знаем, что все нетривиальные деревья имеют хроматическое число 2.

Объединения и стыковки

Мы пришли к такой формуле:

chi(GcupH) = max(chi(G),chi(H))

Это связано с тем, что между копиями G и H в объединении нет ребер. Поэтому мы можем раскрасить каждый граф отдельно, и не беспокоиться:

Мы также имеем chi(G vee H) = chi(G) + chi(H) — каждая вершина G смежна с каждой вершиной H. Поэтому ни один цвет, который используется на G, не может быть использован на H и наоборот.

Обратите внимание на второй граф на схеме выше. Чтобы получить правильную раскраску G vee H, мы можем раскрасить G и H отдельно, а затем заменить каждый цвет c из H на c + chi(G).

Декартово произведение

Декартово произведение немного сложнее. Результат chi(G H) = max(chi(G),chi(H)), что совпадает с результатом для объединения.

Рассмотрим пример: C5 C4. Ниже выделена конкретная вершина:

Выделенная вершина — это часть сразу двух графов (C5 и C4). Нам нужно убедиться, что ее раскраска работает в отношении обоих графов. Мы можем представить C5 и C4 как состоящий из пяти копий C4 со связями между копиями, которые определяются связями C5.

Нам нужно раскрасить каждую из пяти копий C4 по-своему и убедиться, что взаимодействия между копиями, которые определяются C5, соблюдены. Начнем с оптимальных раскрасок C4 и C5:

Хитрость в том, чтобы для каждой вершины взять ее цвет в C4, ее цвет в C5 и сложить их. При этом нужно уменьшить результат по модулю 3 и заменить все полученные нули тройками. В итоге раскраски для пяти копий выглядят следующим образом:

Такой способ гарантирует, что соседние вершины никогда не будут иметь одинаковый цвет. Этот же процесс работает и в общем случае:

  • Для графов G и H пусть будет m = max(chi(G),chi(H))
  • Раскрасим вершину (u, v) из GH цветом (cG(u)+cH (v)) mod m
  • Уточним, что в выражении выше cG(u) и cH (v) — это цвета в G и H соответственно

Произвольный граф

Вот еще один пример раскраски графа без очевидной структуры:

Может потребоваться некоторое усилие, чтобы придумать ответ к такой неочевидной структуре. Пройдем этот процес по шагам:

  • На графе много треугольников, поэтому нам нужно использовать как минимум три цвета
  • На графе справа выделен 5-цикл, для него требуется 3 цвета
  • Вершина в середине цикла смежна со всем циклом, поэтому мы не можем повторно использовать ни один из цветов цикла
  • Таким образом, требуется 4 цвета

Выводы

В этом уроке мы разобрали, что такое раскраска графов и как это относится к цифрам на вершинах. Мы показали, как раскрашивать графы разных типов. В каждом случае этот процесс немного отличается, при этом везде соблюдается правило соседних вершин.